Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються (кільця), поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє (правилу добутку). Природний приклад диференціального поля — поле (раціональних функцій) однієї комплексної змінної , операції диференціювання відповідає диференціювання по .
Диференціальні кільця
Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий (ендоморфізм) ((диференціювання))
що задовольняє правило
для будь-яких . В (некомутативному) кільці правило
може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо
— множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд
де - відображення пари
у пару
.
Властивості
- Якщо x1, x2, … ,xn ∈ A тоді виконується:
- У випадку (комутативного кільця) з попереднього випливає
- Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a-1 справедлива рівність:
. Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді:
.
- Якщо кільце має одиницю то
.
- Нехай
і т. д. Тоді:
- Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з
випливає
. За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному (фактор-кільцю). Гомоморфізм
називається диференціальним, якщо для довільного
виконується рівність
, де
— диференціювання відповідно в кільцях R і R'.
- Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.
Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.
Диференціальні поля
Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі
оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути (дистрибутивно) щодо додавання:
Полем констант диференціального поля називається
.
Диференціальні алгебри
Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких і
:
У безіндексній формі запису, якщо - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то
Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких і
:
і
Диференціювання в алгебрі Лі
Диференціювання (алгебри Лі) — лінійне відображення
, що задовольняє правилу Лейбніца:
Для будь-якого — диференціювання на
, що виходить з (тотожності Якобі). Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.
Приклади
Якщо — алгебра з одиницею, то
, оскільки
. Наприклад, в диференціальних полях (характеристики) 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.
Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.
У полі існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю
: з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по
. Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що
У диференціальному полі немає розв'язку (диференціального рівняння)
, але можна розширити його до поля, що містить функцію
, що має розв'язок цього рівняння.
Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається . Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої (потужності)) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в (диференціальної теорії Галуа).
Природні приклади диференціювань — (часткові похідні), (похідні Лі), і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.
Кільце псевдодиференціальних операторів
Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця (псевдодиференціальних операторів) над ними:
Множення в цьому кільці визначається як
Тут — (біноміальний коефіцієнт). Відзначимо тотожність
наступне
і
Градуйоване диференціювання
Нехай — (градуйована алгебра)
— однорідне лінійне відображення
.
називається однорідною похідною, якщо
,
при дії на однорідні елементи
. Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим
.
Якщо , визначення збігається із звичайним диференціюванням.
Якщо , то
, для непарних
. Такі ендоморфізми називаються антипохідними.
Приклади антипохідних — (зовнішня) і (внутрішня) похідна (диференціальних форм).
Градуйовані похідні (тобто -градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.
Література
- Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет