www.wikidata.uk-ua.nina.az

Альтернативна алгебра Альтернати вна а лгебра алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною проте вимагаєть

Альтернативна алгебра

Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності:

для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності.

Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля).

Асоціатор ред.

З використанням асоціатора

тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд

для будь-яких елементів і Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що

Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:

де — перестановка елементів — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.

Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:

звідки відразу слідує третя тотожність.

Властивості ред.

  • Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи альтернативної алгебри є асоціативними (тобто ) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.
  • Тотожності Муфанг:
  • Також виконуються тотожності:
  • Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.

Література ред.

  • Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
  • Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Alternati vna a lgebra algebra v yakij operaciya mnozhennya mozhe buti ne asociativnoyu prote vimagayetsya desho slabsha umova alternativnosti x x y x x y displaystyle x xy xx y y x x y x x displaystyle yx x y xx dlya vsih h i u v algebri Kozhna asociativna algebra ochevidno alternativna prote isnuyut i neasociativni alternativni algebri prikladom yakih ye oktonioni Sedenioni ye prikladom algebri v yakij ne vikonuyetsya umova alternativnosti Absolyutno identichno viznachayetsya ponyattya alternativnogo kilcya i vidpovidno tila i polya Asociator red Z vikoristannyam asociatora x y z x y z x y z displaystyle x y z xy z x yz nbsp totozhnosti sho viznachayut alternativnu algebru prijmut viglyad x x y 0 displaystyle x x y 0 nbsp y x x 0 displaystyle y x x 0 nbsp dlya bud yakih elementiv x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp Zvidsi cherez polilinijnist asociatora neskladno oderzhati sho x y z y x z 0 displaystyle x y z y x z 0 nbsp x y z x z y 0 displaystyle x y z x z y 0 nbsp Takim chinom v alternativnij algebri asociator ye alternativnoyu operaciyeyu x y z s g n s s x s y s z displaystyle x y z mathrm sgn sigma sigma x sigma y sigma z nbsp de s displaystyle sigma nbsp perestanovka elementiv x y z displaystyle x y z nbsp s g n s displaystyle mathrm sgn sigma nbsp parnist ciyeyi perestanovki Virnim ye i obernene tverdzhennya yaksho asociator alternativnij to kilce alternativno Same cherez zv yazok z alternativnistyu asociatora alternativni kilcya oderzhali taku nazvu Analogichno mozhna pokazati sho dlya alternativnosti asociatora dosit vikonannya bud yakih dvoh z nastupnoyi totozhnosti x x y x x y displaystyle x xy xx y nbsp y x x y x x displaystyle yx x y xx nbsp x y x x y x displaystyle xy x x yx nbsp zvidki vidrazu sliduye tretya totozhnist Vlastivosti red Teorema Artina tverdit sho pidalgebra porodzhena dovilnimi dvoma elementami alternativnoyi algebri ye asociativnoyu Virnim ye i obernene tverdzhennya Takozh yaksho tri elementi x y z displaystyle x y z nbsp alternativnoyi algebri ye asociativnimi tobto x y z 0 displaystyle x y z 0 nbsp to algebra porodzhena cimi elementami ye asociativnoyu Totozhnosti Mufang a x a y a x a y displaystyle a x ay axa y nbsp x a y a x a y a displaystyle xa y a x aya nbsp a x y a a x y a displaystyle ax ya a xy a nbsp vikonuyutsya v dovilnij alternativnij algebri Takozh vikonuyutsya totozhnosti x y z t y x z t y z t x x y z t x y z t displaystyle xy z t y x z t y z t x x y z t x y z t nbsp x y 4 z t x y x y 2 z t x y 2 z t x y 0 displaystyle x y 4 z t x y x y 2 z t x y 2 z t x y 0 nbsp de x y dva argumenti poznachaye komutator elementiv x i y x y xy yx V alternativnij algebri z odiniceyu multiplikativni oberneni elementi yaksho voni isnuyut yedini Dlya dovilnogo oborotnogo elementa x displaystyle x nbsp i bud yakogo y displaystyle y nbsp vikonuyetsya rivnist y x 1 x y displaystyle y x 1 xy nbsp Ekvivalentno dlya vsih takih x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp asociator x 1 x y displaystyle x 1 x y nbsp rivnij nulyu Yaksho x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp oborotni to x y displaystyle xy nbsp tezh ye oborotnim i x y 1 y 1 x 1 displaystyle xy 1 y 1 x 1 nbsp Tomu mnozhina oborotnih elementiv ye zamknutoyu shodo mnozhennya i utvoryuye lupu Mufang Bagato vlastivostej alternativnogo kilcya algebri vidriznyayutsya vid vlastivostej asociativnogo kilcya algebri v analogichnih situaciyah Tak yaksho R ye alternativnim kilcem algebroyu a A i B jogo pravi ideali to yih dobutok AB mozhe ne buti pravim idealom navit yaksho A dvostoronnij ideal v R ale dobutok dvostoronnih idealiv alternativnogo kilcya algebri ye jogo dvostoronnim idealom Literatura red Zhevlakov K A Slinko A M Shestakov I P Shirshov A I Kolca blizkie k associativnym M Nauka 1978 433 str Schafer Richard D 1995 An Introduction to Nonassociative Algebras New York Dover Publications ISBN 0 486 68813 5 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Alternativna algebra amp oldid 35919946