Мінімальний многочлен (теорія полів)

Про мінімальний многочлен матриці див. Мінімальний многочлен матриці.

В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля і елемента з Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів від змінної з коефіцієнтами в Для елемента нехай буде множиною всіх многочленів таких, що Елемент називається коренем або нулем кожного многочлена в Ми так називаємо множину бо це ідеал Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого є в кожному бо Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в тоді називається алгебраїчним елементом над і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом найменшого степеня в многочлен. Це і є мінімальний многочлен для щодо Він унікальний і незвідний над Якщо єдиним членом є нульовий многочлен, тоді називають трансцендентним елементом над і воно не має мінімального многочлена щодо

Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли є алгебраїчним з мінімальним многочленом найменше поле, яке містить і і ізоморфне до фактор-кільця де є ідеалом утвореним Мінімальні многочлени також використовуються для означення спряжених елементів.

Приклади

Якщо F = Q, E = R, α = √2, тоді мінімальний многочлен для α це a(x) = x² − 2. Базове поле F важливо тим, що воно визначає можливі коефіцієнти для a(x). Наприклад, якщо взяти F = R, тоді мінімальним многочленом для α = √2 є a(x) = x − √2.

Якщо α = √2 + √3, тоді мінімальний многочлен в Q[x] це a(x) = x⁴ − 10x² + 1 = (x − √2 − √3)(x + √2 − √3)(x − √2 + √3)(x + √2 + √3).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Мінімальний многочлен алгебраїчного числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Мінімальний многочлен на PlanetMath.(англ.)