Ne plutati z faktor kilcem Faktoria lne kilce oblast cilisnosti R displaystyle R v yakij kozhen neoborotnij element a displaystyle a predstavlyayetsya u viglyadi dobutku nezvidnih elementiv a p 1 p n n 1 displaystyle a p 1 cdot dots cdot p n n geq 1 prichomu danij rozklad yedinij v tomu sensi sho yaksho p 1 p n q 1 q m displaystyle p 1 cdot dots cdot p n q 1 cdot dots cdot q m to m n displaystyle m n i pislya perenumeraciyi mayemo p i u i q i displaystyle p i u i q i dlya vsih i displaystyle i de u i displaystyle u i oborotnij element kilcya R displaystyle R taki elementi nazivayutsya asocijovanimi Sami elementi p i displaystyle p i mozhut buti tezh asocijovanimi i navit rivnimi Zmist 1 Prikladi 2 Vlastivosti 3 Nekomutativnij vipadok 3 1 Priklad 4 Primitki 5 DzherelaPrikladi RedaguvatiBud yake kilce golovnih idealiv zokrema Evklidove kilce ye faktorialnim kilcem Zokrema takim prikladom ye kilce cilih chisel Dovilne pole ye ochevidno faktorialnim kilcem oskilki v nomu nemaye neoborotnih elementiv Formalni stepenevi ryadi K X 1 X n displaystyle K X 1 dots X n nbsp nad polem K displaystyle K nbsp utvoryuyut faktorialne kilce Kilce Z 5 displaystyle mathbb Z sqrt 5 nbsp vsih kompleksnih chisel vidu a i b 5 displaystyle a ib sqrt 5 nbsp de a i b cili chisla ne ye faktorialnim Napriklad 6 2 3 1 i 5 1 i 5 displaystyle 6 2 cdot 3 left 1 i sqrt 5 right left 1 i sqrt 5 right nbsp Chisla 2 3 1 i 5 displaystyle 1 i sqrt 5 nbsp i 1 i 5 displaystyle 1 i sqrt 5 nbsp ne ye asocijovani i ye nezvidnimi Zgidno teoremi Auslandera Buhsbauma kozhne regulyarne lokalne kilce ye faktorialnim Vlastivosti RedaguvatiDovilnij nezvidnij element faktorialnogo kilcya ye prostim Nehaj p displaystyle p nbsp nezvidnij element faktorialnogo kilcya D displaystyle D nbsp Todi p displaystyle p nbsp ye neoborotnim Yaksho a b p 0 displaystyle ab in p smallsetminus 0 nbsp todi a b c p displaystyle ab cp nbsp de c D displaystyle c in D nbsp Elementi a b c displaystyle a b c nbsp mozhna zapisati yak dobutki nezvidnih elementiv a p 1 p l b q 1 q m c r 1 r n displaystyle displaystyle a p 1 cdots p l quad b q 1 cdots q m quad c r 1 cdots r n nbsp dd Todi p 1 p l q 1 q m r 1 r n p displaystyle displaystyle p 1 cdots p l q 1 cdots q m r 1 cdots r n p nbsp Oskilki D displaystyle D nbsp ye faktorialnim kilcem to kozhen element u dobutku sprava ye rivnim dobutku odnogo iz l m displaystyle l m nbsp nezvidnih elementiv z livoyi storoni tobto p i displaystyle p i nbsp abo q j displaystyle q j nbsp i oborotnogo elementa Vidpovidno abo a p displaystyle a in p nbsp abo b p displaystyle b in p nbsp Tobto p displaystyle p nbsp ye prostim idealom D displaystyle D nbsp i p displaystyle p nbsp ye prostim elementom dd Yaksho R ye faktorialnim kilcem to i kilce mnogochleniv R x ye faktorialnim Zvidsi viplivaye sho i kilce R x1 xn ye faktorialnim Kilce R ye faktorialnim todi i tilki todi koli dovilnij jogo prostij ideal mistit prostij element Yaksho u oblasti cilisnosti D displaystyle D nbsp isnuye mnozhina prostih elementiv a i i E displaystyle a i i in E nbsp takih sho kozhen element iz D displaystyle D nbsp ye dobutkom deyakih elementiv a i displaystyle a i nbsp i oborotnogo elementa to D displaystyle D nbsp ye faktorialnim kilcem Oskilki D displaystyle D nbsp ye oblastyu cilisnosti to vsi a i displaystyle a i nbsp ye nezvidnimi elementami i kozhen nezvidnij element iz D displaystyle D nbsp ye dobutkom yakogos odnogo elementa a i displaystyle a i nbsp i oborotnogo elementa Z umovi kozhen element D displaystyle D nbsp ye dobutkom nezvidnih elementiv Yaksho p 1 p n q 1 q m displaystyle p 1 ldots p n q 1 ldots q m nbsp to kozhen z p j displaystyle p j nbsp ye dobutkom yakogos iz a i displaystyle a i nbsp i oborotnogo elementa Oskilki a i displaystyle a i nbsp ye prostim elementom sho dilit dobutok to a i displaystyle a i nbsp dilit yakijs iz q k displaystyle q k nbsp Ale q k a m u displaystyle q k a m u nbsp de u displaystyle u nbsp oborotnij element Tomu a i displaystyle a i nbsp dilit a m displaystyle a m nbsp Takozh a m u q k a i c displaystyle a m u q k a i c nbsp i tomu takozh a m displaystyle a m nbsp dilit a i displaystyle a i nbsp a m displaystyle a m nbsp ye prostim i maye diliti a i displaystyle a i nbsp abo c displaystyle c nbsp v ostannomu vipadku a i displaystyle a i nbsp buv bi oborotnim sho nemozhlivo Tomu a i displaystyle a i nbsp i a m displaystyle a m nbsp a tomu p j displaystyle p j nbsp i q k displaystyle q k nbsp vidriznyayutsya lishe dobutkom na oborotnij element Skorochuyuchi i prodovzhuyuchi proces otrimuyemo sho D displaystyle D nbsp ye faktorialnim kilcem dd Lokalizaciya faktorialnogo kilcya po dovilnij multiplikativnij sistemi ye faktorialnim kilcem Nehaj a D displaystyle a in D nbsp nezvidnij element faktorialnogo kilcya Yaksho a D S displaystyle aD cap S emptyset nbsp to a S 1 D displaystyle aS 1 D nbsp ye prostim idealom u S 1 D displaystyle S 1 D nbsp a tomu a 1 S 1 D displaystyle a 1 in S 1 D nbsp ye prostim elementom Iz poperednogo dostatno dovesti sho kozhen nenulovij element S 1 D displaystyle S 1 D nbsp ye dobutkom takih elementiv i oborotnogo elementa Spershu zauvazhimo sho yaksho a D S displaystyle aD cap S neq emptyset nbsp to a 1 S 1 D displaystyle a 1 in S 1 D nbsp ye oborotnim elementom Yaksho a d t S displaystyle ad t in S nbsp to obernenim elementom bude d t displaystyle d t nbsp Nehaj b s S 1 D displaystyle b s in S 1 D nbsp Yaksho b a 1 a n displaystyle b a 1 ldots a n nbsp ye rozkladom b u dobutok nezvidnih elementiv to b 1 a 1 1 a n 1 displaystyle b 1 a 1 1 ldots a n 1 nbsp ye rozkladom b 1 u dobutok nezvidnih i oborotnih elementiv Todi b s a 1 1 a n 1 1 s displaystyle b s a 1 1 ldots a n 1 cdot 1 s nbsp daye neobhidnij rezultat oskilki 1 s ye oborotnim elementom dd Teorema Nagati Nehaj D displaystyle D nbsp ye oblastyu cilisnosti a i i E displaystyle a i i in E nbsp deyaka mnozhina prostih elementiv i S multiplikativna mnozhina elementami yakoyi ye skinchenni dobutki skinchennih kilkostej elementiv a i displaystyle a i nbsp dobutok pustoyi mnozhini vvazhayetsya rivnim 1 Nehaj a i displaystyle a i nbsp zadovolnyayut umovu dlya kozhnogo elementa b D displaystyle b in D nbsp isnuyut s S b D displaystyle s in S b in D nbsp dlya yakih b sb i b ne nalezhit zhodnomu iz golovnih idealiv a i displaystyle a i nbsp Todi yaksho lokalizaciya S 1 D displaystyle S 1 D nbsp to i D displaystyle D nbsp ye faktorialnim kilcem Vkazana umova zokrema vikonuyetsya dlya vsih neterovih kilec abo kilec vsi nenulovi elementi yakih ye dobutkami nezvidnih elementiv Nekomutativnij vipadok RedaguvatiHoch termin Faktorialne kilce vikoristovuyetsya perevazhno dlya komutativnih kilec podane vishe oznachennya mozhna uzagalniti dlya nekomutativnogo vipadku Nehaj R deyake kilce sho ne maye dilnikiv nulya Dane kilce nazivayetsya faktorialnim yaksho dovilnij neoborotnij element a predstavlyayetsya u viglyadi dobutku nezvidnih elementiv a p1 pn n 1 prichomu danij rozklad yedinij v tomu sensi sho yaksho p1 pn q1 qm to m n i pislya perenumeraciyi mayemo sho faktor kilcya R p i R displaystyle R p i R nbsp i R q i R displaystyle R q i R nbsp ye izomorfnimi 1 Priklad Redaguvati Mnozhina kvaternioniv a a0 a1i a2j a3k de a0 a1 a2 a3 cili chisla abo neparni cili chisla podileni na 2 ye nekomutativnim faktorialnim kilcem Primitki Redaguvati Sivaramakrishnan Certain number theoretic episodes in algebra st 245Dzherela RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Zarisskij O Samyuel P Kommutativnaya algebra Moskva IL 1963 T 1 373 s ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Bondarenko Ye V 2012 Teoriya kilec navchalnij posibnik Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 64 ukr Peskine Christian 2009 An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry Commutative Algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics Cambridge University Press ISBN 9780521108478 David Sharpe 1987 Rings and factorization Cambridge University Press ISBN 0 521 33718 6 R Sivaramakrishnan 2006 Certain number theoretic episodes in algebra CRC Press ISBN 0 8247 5895 1 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Faktorialne kilce amp oldid 39115747
