Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

в якому коефіцієнти належать деякому кільцю . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операції

В можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

Тоді:

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний , і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

Властивості

• Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
• Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
• R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
• Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
• Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
• Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Генератриса

Посилання

• Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.