www.wikidata.uk-ua.nina.az

Локальне кільце кільце з одиницею що має єдиний максимальний ідеал Якщо R комутативне локальне кільце з максимальним іде

Локальне кільце

Локальне кільце — кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R — комутативне локальне кільце з максимальним ідеалом , то фактор-кільце є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Означення Редагувати

кільце R (асоціативне з одиницею) називається локальним кільцем якщо воно задовольняє одній із еквівалентних умов:

  • R має єдиний максимальний лівий ідеал.
  • R має єдиний максимальний правий ідеал.
  • 1 ≠ 0 і сума двох необоротних елементів у R є необоротним елементом.
  • 1 ≠ 0 і для довільного елемента x або x або 1 − x є оборотним елементом.
  • Якщо скінченна сума є оборотним елементом, то хоча б один із доданків є оборотним елементом (звідси зокрема 1 ≠ 0).

При виконанні цих умов єдиний максимальний правий ідеал є рівним єдиному максимальному лівому і є рівним радикалу Джекобсона. Для комутативних кілець поняття лівих і правих ідеалів не відрізняються.

Приклади Редагувати

Локалізація Редагувати

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізація.

Нехай R — комутативне кільце, а  — простий ідеал в R. Кільце , яке складається з дробів виду , де , є локальним і називається локалізацією кільця R в . Максимальним ідеалом кільця є ідеал , а поле лишків ототожнюється з полем часток фактор-кільця що є областю цілісності.

Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу.

Властивості Редагувати

Властивість комутативного кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець (відповідно модулів або алгебри ) для всіх простих ідеалів кільця R.

Степені максимального ідеалу комутативного локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або -адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є гаусдорфовою (теорема Круля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Будь-яке фактор-кільце локального кільця також є локальним.

Будь-який проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Кільця Нетер Редагувати

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця.

  • Тонше, кількісне дослідження локального кільця R пов'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця . Нехай  — розмірність векторного простору над полем лишків ; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом від n, який називається многочленом Гільберта — Самюеля локального кільця R.
  • Формальний ряд

є раціональною функцією вигляду де  — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню .

  • Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця.
  • d(R) є рівним найменшому числу елементів , для яких фактор-кільце є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал , то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем.
  • Регулярність R еквівалентна тому, що .
  • Для d-вимірного регулярного кільця R

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Lokalne kilce kilce z odiniceyu sho maye yedinij maksimalnij ideal Yaksho R komutativne lokalne kilce z maksimalnim idealom m displaystyle mathfrak m to faktor kilce R m displaystyle R mathfrak m ye polem i nazivayetsya polem lishkiv lokalnogo kilcya R Zmist 1 Oznachennya 2 Prikladi 3 Lokalizaciya 4 Vlastivosti 4 1 Kilcya Neter 5 Div takozh 6 Posilannya 7 LiteraturaOznachennya Redaguvatikilce R asociativne z odiniceyu nazivayetsya lokalnim kilcem yaksho vono zadovolnyaye odnij iz ekvivalentnih umov R maye yedinij maksimalnij livij ideal R maye yedinij maksimalnij pravij ideal 1 0 i suma dvoh neoborotnih elementiv u R ye neoborotnim elementom 1 0 i dlya dovilnogo elementa x abo x abo 1 x ye oborotnim elementom Yaksho skinchenna suma ye oborotnim elementom to hocha b odin iz dodankiv ye oborotnim elementom zvidsi zokrema 1 0 Pri vikonanni cih umov yedinij maksimalnij pravij ideal ye rivnim yedinomu maksimalnomu livomu i ye rivnim radikalu Dzhekobsona Dlya komutativnih kilec ponyattya livih i pravih idealiv ne vidriznyayutsya Prikladi RedaguvatiBud yake pole abo kilce normuvannya ye lokalnim Lokalnim ye takozh kilce formalnih stepenevih ryadiv k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n nbsp nad polem k abo nad bud yakim lokalnim kilcem Navpaki kilce mnogochleniv k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n nbsp ne ye lokalnim kilcem Nehaj X topologichnij prostir diferencijovnij mnogovid analitichnij prostir abo algebrayichnij mnogovid a x tochka v X Nehaj R kilce rostkiv v tochci x neperervnih funkcij vidpovidno diferencijovnih analitichnih abo regulyarnih funkcij todi R lokalne kilce maksimalnij ideal yakogo skladayetsya z rostkiv funkcij sho prijmayut znachennya 0 v tochci x Lokalizaciya RedaguvatiDokladnishe Lokalizaciya kilcyaDo lokalnogo kilcya privodyat deyaki zagalni konstrukciyi v teoriyi kilec najvazhlivishoyu z yakih ye lokalizaciya Nehaj R komutativne kilce a p displaystyle mathfrak p nbsp prostij ideal v R Kilce R p displaystyle R mathfrak p nbsp yake skladayetsya z drobiv vidu r s displaystyle frac r s nbsp de r R s R p displaystyle r in R s in R setminus mathfrak p nbsp ye lokalnim i nazivayetsya lokalizaciyeyu kilcya R v p displaystyle mathfrak p nbsp Maksimalnim idealom kilcya R p displaystyle R mathfrak p nbsp ye ideal p R p displaystyle mathfrak p R mathfrak p nbsp a pole lishkiv R p displaystyle R mathfrak p nbsp ototozhnyuyetsya z polem chastok faktor kilcya R p displaystyle R mathfrak p nbsp sho ye oblastyu cilisnosti Inshi konstrukciyi sho privodyat do lokalnogo kilcya genzelizaciya abo popovnennya kilcya shodo deyakogo maksimalnogo idealu Vlastivosti RedaguvatiVlastivist komutativnogo kilcya R abo R modulya M abo R algebri V nazivayetsya lokalnoyu vlastivistyu yaksho vikonannya yiyi dlya R abo M abo V ekvivalentno vikonannyu yiyi dlya kilec R p displaystyle R mathfrak p nbsp vidpovidno moduliv M R R p displaystyle M bigotimes R R mathfrak p nbsp abo algebri B R R p displaystyle B bigotimes R R mathfrak p nbsp dlya vsih prostih idealiv p displaystyle mathfrak p nbsp kilcya R Stepeni m n displaystyle mathfrak m n nbsp maksimalnogo idealu m displaystyle mathfrak m nbsp komutativnogo lokalnogo kilcya R viznachayut bazis okoliv nulya tak zvanoyi topologiyi lokalnogo kilcya abo m displaystyle mathfrak m nbsp adichnoyi topologiyi Dlya lokalnogo kilcya Neter cya topologiya ye gausdorfovoyu teorema Krulya a dovilnij jogo ideal ye zamknutim Bud yake faktor kilce lokalnogo kilcya takozh ye lokalnim Bud yakij proektivnij modul nad lokalnim kilcem ye vilnim Kilcya Neter Redaguvati Dali rozglyadayutsya tilki neterovi lokalni kilcya Lokalne kilce nazivayetsya povnim lokalnim kilcem yaksho vono ye povnim shodo m displaystyle mathfrak m nbsp adichnoyi topologiyi v comu vipadku R lim R m n displaystyle R lim R mathfrak m n nbsp U povnomu lokalnomu kilci m displaystyle mathfrak m nbsp adichna topologiya ye slabshoyu za bud yaku inshu gausdorfovu topologiyu teorema Shevalle Bud yake povne lokalne kilce ye faktor kilcem kilcya S X 1 X n displaystyle S X 1 ldots X n nbsp formalnih stepenevih ryadiv de S pole abo povne kilce diskretnogo normuvannya Tonshe kilkisne doslidzhennya lokalnogo kilcya R pov yazano iz zastosuvannyam ponyattya priyednanogo gradujovanogo kilcya G r R n 0 m n m n 1 displaystyle Gr R bigoplus n geqslant 0 mathfrak m n mathfrak m n 1 nbsp Nehaj H R n displaystyle H R n nbsp rozmirnist vektornogo prostoru m n m n 1 displaystyle mathfrak m n mathfrak m n 1 nbsp nad polem lishkiv R m displaystyle R mathfrak m nbsp yak funkciya cilogo argumentu n vona nazivayetsya funkciyeyu Gilberta Samyuelya abo harakteristichnoyu funkciyeyu lokalnogo kilcya Pri velikih n cya funkciya zbigayetsya z deyakim mnogochlenom H R n displaystyle bar H R n nbsp vid n yakij nazivayetsya mnogochlenom Gilberta Samyuelya lokalnogo kilcya R Formalnij ryadP R t n 0 H R n t n displaystyle P R t sum n geqslant 0 H R n cdot t n nbsp ye racionalnoyu funkciyeyu viglyadu f t 1 t d R displaystyle f t 1 t d R nbsp de f t Z t displaystyle f t in mathbb Z t nbsp mnogochlen a d A 1 rivne stepenyu H R displaystyle bar H R nbsp Cile chislo d R zbigayetsya z rozmirnistyu Krulya dim R kilcya R i ye odnim z vazhlivih invariantiv kilcya d R ye rivnim najmenshomu chislu elementiv r 1 r d R displaystyle r 1 ldots r d in R nbsp dlya yakih faktor kilce R r 1 r d displaystyle R r 1 ldots r d nbsp ye kilcem Artina Yaksho ci elementi mozhna vibrati tak shob voni porodzhuvali maksimalnij ideal m displaystyle mathfrak m nbsp to lokalne kilce R nazivayetsya regulyarnim lokalnim kilcem Regulyarnist R ekvivalentna tomu sho d i m m m 2 d i m R displaystyle dim mathfrak m mathfrak m 2 dimR nbsp Dlya d vimirnogo regulyarnogo kilcya RH R n n d 1 d 1 displaystyle H R n n d 1 choose d 1 nbsp Analogichna teoriya buduyetsya dlya napivlokalnih kilec tobto kilec sho mayut skinchenne chislo maksimalnih idealiv Rol maksimalnogo idealu dlya nih pri comu vidigraye radikal Dzhekobsona Div takozh RedaguvatiLokalizaciya kilcya Regulyarne lokalne kilcePosilannya RedaguvatiRegular Local Rings Arhivovano 24 travnya 2010 u Wayback Machine Literatura RedaguvatiAtya M Makdonald I Vvedenie v kommutativnuyu algebru Moskva Mir 1972 160 s ros Zarisskij O Samyuel P Kommutativnaya algebra Moskva IL 1963 T 2 438 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lokalne kilce amp oldid 34832754