Кільце головних ідеалів — асоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві є (головними), тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де . Кільце головних ідеалів без (дільників нуля) називається областю головних ідеалів.
Приклади
- Кільце (цілих чисел);
- Кільце многочленів F[х] над полем F;
- Довільне (евклідове кільце) є (областю головних ідеалів). Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце
є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.
Властивості
- (Комутативне) кільце головних ідеалів є (прямою сумою) областей головних ідеалів і кілець головних ідеалів, що мають єдиний (простий ідеал), що є (нільпотентним).
- Якщо R — область головних ідеалів, то два ненульові елементи a, b кільця R мають найбільший спільний лівий дільник (a, b) і (найменше спільне праве кратне) [а, b], які визначаються як елементи, що задовольняють рівності:
- Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.
- Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники ((факторіальним кільцем)).
- Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть (максимальні ідеали) кільця).
- Довільне кільце головних ідеалів є (кільцем Нетер).
Модулі над кільцем головних ідеалів
Підмодуль N вільного (модуля) М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси
і
, що
, де
і
— є повним (тобто
) дільником елементів
при j < i.
Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів , де
і
— повний дільник
при
. Ця теорема узагальнює основну теорему про (скінченнопороджені абелеві групи). Елементи
, з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.
Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів , де
. Елементи
, визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то
або
, де
- незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників (лінійних перетворень) (скінченновимірних) векторних просторів.
Див. також
- (Кільце Безу)
- (Область головних ідеалів)
Джерела
- (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
- Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
- Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет