www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кільце Дедекінда область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ід

Кільце Дедекінда

Кільце Дедекінда — область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.

Приклади Редагувати

Еквівалентні означення Редагувати

Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.

  1. R є кільцем Нетер,
  2. кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
  3. R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.
  • Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.
  • Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.

Властивості Редагувати

  • Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів Ii і елементів xi кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли , для .
  • Для будь-якої мультиплікативної підмножини у кільці Дедекінда локалізація теж є кільцем Дедекінда.
  • Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
  • Фактор-кільце кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
  • Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді й лише тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів.
  • Нехай — кільце Дедекінда, — його ненульовий ідеал і — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент , що елементи породжують . Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
  • Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Фактор-група цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна . Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.

Модулі над кільцем Дедекінда Редагувати

Для кілець Дедекінда існує структурна теорема скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.

Нехай — кільце Дедекінда і — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів , що для деякого . Тоді , де — модуль без кручень.

Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.

Для модуля кручень , де для ідеалів виконуються включення . Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.

Для модулів без кручень , де — ідеал кільця і

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kilce Dedekinda oblast cilisnosti R v yakij kozhen nenulovij vlasnij ideal predstavlyayetsya u viglyadi dobutku prostih idealiv Rozklad u dobutok prostih idealiv pri comu ye yedinim z tochnistyu do poryadku mnozhnikiv Svoyu nazvu ci kilcya oderzhali vid imeni Riharda Dedekinda yakij yih vivchav u 70 ih rokah 19 stolittya Pri comu oznachenni polya ye trivialnimi prikladami kilec Dedekinda Zvazhayuchi na yih vidminnist vid inshih vidiv kilec Dedekinda inodi v oznachenni vimagayetsya shob kilce Dedekinda ne bulo polem Zmist 1 Prikladi 2 Ekvivalentni oznachennya 3 Vlastivosti 4 Moduli nad kilcem Dedekinda 5 Div takozh 6 Posilannya 7 LiteraturaPrikladi RedaguvatiKozhna oblast golovnih idealiv ye kilcem Dedekinda Yaksho R ye kilcem Dedekinda L skinchenne algebrayichne rozshirennya jogo polya chastok to cile zamikannya R kilcya R v L znovu bude kilcem Dedekinda Dedekindovimi ye kilce cilih algebrayichnih chisel i maksimalni poryadki poliv algebrayichnih chisel tobto cili zamikannya kilcya cilih chisel v skinchennih algebrayichnih rozshirennyah polya racionalnih chisel Ekvivalentni oznachennya RedaguvatiNizhche navedeno kilka ekvivalentnih oznachen v yakih takozh opisuyutsya osnovni vlastivosti kilec Dedekinda Komutativna oblast cilisnosti ye kilcem Dedekinda todi i tilki todi koliR ye kilcem Neter kozhen vlasnij prostij ideal kilcya R maksimalnij R cilozamknute kilce tobto rivne svoyemu cilomu zamikannyu v poli chastok Inshimi slovami kilce Dedekinda ye neterovim normalnim kilcem rozmirnist Krulya yakogo rivna odinici Kilce R ye kilcem Dedekinda todi i tilki todi koli napivgrupa drobovih idealiv cogo kilcya ye grupoyu Kozhen drobovij ideal kilcya Dedekinda R mozhna yedinim sposobom zapisati u viglyadi dobutku stepeniv dodatnih abo vid yemnih prostih idealiv kilcya R Kilce Dedekinda R mozhna oharakterizuvati takozh yak kilce Krulya rozmirnosti odin Kilcem Dedekinda nazivayetsya neterova oblast cilisnosti dlya yakoyi vsi lokalizaciyi po prostih idealah ye kilcyami diskretnogo normuvannya Kilcem Dedekinda nazivayetsya oblast cilisnosti dlya yakoyi lokalizaciya po kozhnomu maksimalnomu idealu ye kilcem diskretnogo normuvannya i kozhen nenulovij element nalezhit lishe skinchennij kilkosti prostih idealiv Kilcem Dedekinda nazivayetsya oblast cilisnosti R kozhen ideal yakoyi ye proektivnim modulem nad R Vlastivosti RedaguvatiDlya kilcya Dedekinda R vikonuyetsya tak zvana kitajska teorema pro zalishki dlya danogo skinchennogo naboru idealiv Ii i elementiv xi kilcya R i 1 2 n sistema porivnyan x x i mod I i displaystyle x equiv x i pmod I i nbsp maye rozv yazok x R displaystyle x in R nbsp todi i tilki todi koli x i x j mod I i I j displaystyle x i equiv x j pmod I i I j nbsp dlya i j displaystyle i neq j nbsp Dlya bud yakoyi multiplikativnoyi pidmnozhini S displaystyle S nbsp u kilci Dedekinda R displaystyle R nbsp lokalizaciya R S displaystyle R S nbsp tezh ye kilcem Dedekinda Kilce Dedekinda sho maye lishe skinchennu kilkist prostih idealiv ye kilcem golovnih idealiv Faktor kilce kilcya Dedekinda za bud yakim nenulovim idealom ye kilcem golovnih idealiv Kilce Dedekinda ye faktorialnim kilcem todi j lishe todi koli vono ye kilcem golovnih idealiv Nehaj R displaystyle R nbsp kilce Dedekinda I displaystyle I nbsp jogo nenulovij ideal i a I displaystyle a in I nbsp dovilnij element idealu Todi isnuye takij element b I displaystyle b in I nbsp sho elementi a b displaystyle a b nbsp porodzhuyut I displaystyle I nbsp Zokrema kozhen ideal kilcya Dedekinda porodzhuyetsya shonajbilshe dvoma elementami Drobovi ideali kilec Dedekinda utvoryuyut grupu Faktor grupa ciyeyi grupi po pidgrupi golovnih drobovih idealiv nazivayetsya grupoyu klasiv idealiv U 1966 roci Kleborn doviv sho dlya kozhnoyi abelevoyi grupi G displaystyle G nbsp isnuye kilce Dedekinda grupa klasiv idealiv yakogo izomorfna G displaystyle G nbsp Lidam Grin pokazav sho take kilce mozhna zavzhdi otrimati yak cile zamikannya kilcya golovnih idealiv u kvadratichnomu rozshirenni jogo polya chastok Moduli nad kilcem Dedekinda RedaguvatiDlya kilec Dedekinda isnuye strukturna teorema skinchennoporodzhenih moduliv yaka ye blizkoyu do takoyi teoremi dlya kilec golovnih idealiv Nehaj R displaystyle R nbsp kilce Dedekinda i M displaystyle M nbsp skinchennoporodzhenij modul nad nim Nehaj T M displaystyle T subset M nbsp poznachaye pidmodul kruchennya tobto pidmodul takih elementiv m M displaystyle m in M nbsp sho r m 0 displaystyle rm 0 nbsp dlya deyakogo 0 r R displaystyle 0 neq r in R nbsp Todi M T P displaystyle M T oplus P nbsp de P displaystyle P nbsp modul bez kruchen Tomu dlya klasifikaciyi skinchennoporodzhenih moduliv dostatno klasifikuvati vsi taki moduli kruchen i moduli bez kruchen Dlya modulya kruchen T R I 1 R I n displaystyle T cong R I 1 oplus ldots oplus R I n nbsp de dlya idealiv vikonuyutsya vklyuchennya I i I i 1 displaystyle I i supseteq I i 1 nbsp Cej rozklad ye yedinim z tochnistyu do izomorfizmu Dlya moduliv bez kruchen P R n I displaystyle P cong R n oplus I nbsp de I displaystyle I nbsp ideal kilcya i R n I R m J n m I J displaystyle R n oplus I cong R m oplus J iff n m land I cong J nbsp Div takozh RedaguvatiOblast Pryufera Diferentnij idealPosilannya RedaguvatiTeoriya algebrichnih chisel Konspekt lekcij KNU Arhivovano 17 sichnya 2015 u Wayback Machine Literatura RedaguvatiBorevich 3 I Shafarevich I R Teoriya chisel 2 e izd Moskva 1972 ros Burbaki N Kommutativnaya algebra Moskva Mir 1971 S 707 Elementi matematiki ros Zarisskij O Samyuel P Kommutativnaya algebra Moskva IL 1963 T 1 373 s ros Kurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kilce Dedekinda amp oldid 34820938