www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диферентний ідеал У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деяки

Диферентний ідеал

У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

Означення ред.

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих , для яких

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо — дві адитивні підгрупи, то . Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал у групі дробових ідеалів.

Ідеал називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається . цьому випадку використовується позначення .

Якщо — дробовий ідеал кільця B то теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал .

Приклад ред.

Нехай , де — число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

Властивості ред.

  • Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
  • Якщо при тих же позначеннях, що і вище  — відносний диферентний ідеал і  — диферентний ідеал дробового ідеалу то .
  • Диферентний ідеал породжується елементами виду , де і  — похідна мінімального многочлена елемента над полем K. Зокрема тоді і тільки тоді коли є головним ідеалом породженим елементом .
  • Якщо є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то
  • Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді , де позначає локалізацію кільця за множиною S.
  • , де позначає відносний дискримінант розширення B/A, а  — норму ідеалу.
  • У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
  • При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу кільця B позначимо  — поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом . У цьому випадку є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо . Тоді є справедливою рівність:

Диферент і розгалуження простих ідеалів ред.

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу кільця B поле лишків є досконалим.

Нехай тепер — простий ідеал кільця A. Тоді , де — прості ідеали кільця B, що містять (їх кількість є скінченною), а називаються індексами розгалуження ідеалів . Якщо то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент . До того ж якщо характеристика поля не ділить , то найбільшим степенем на який ділиться є . В іншому випадку ділиться на вищий степінь ідеалу .

Див. також ред.

Література ред.

  • Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991). Algebraic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001. 
  • Hecke, Erich (1981). Lectures on the theory of algebraic numbers. Graduate Texts in Mathematics 77. New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90595-2. Zbl 0504.12001. 
  • Koch, Helmut (2000). Number Theory: Algebraic Numbers and Functions. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 9780821820544. 
  • Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
  • Narkiewicz, Władysław (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (вид. 2nd, substantially revised and extended). Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers. ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045. 
  • Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics 67. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016. 
  • Weiss, Edwin (1976). Algebraic Number Theory (вид. 2nd unaltered). Chelsea Publishin. ISBN 0-8284-0293-0. Zbl 0348.12101. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U algebrayichnij teoriyi chisel i abstraktnij algebri diferentnim idealom abo diferentoyu nazivayetsya deyakij ideal pov yazanij iz rozshirennyam dedekindovih kilec Diferentnij ideal pov yazanij iz ponyattyami diskriminanta i normi idealu i ye vazhlivim zokrema dlya doslidzhennya rozgaluzhennya prostih idealiv Zmist 1 Oznachennya 2 Priklad 3 Vlastivosti 4 Diferent i rozgaluzhennya prostih idealiv 5 Div takozh 6 LiteraturaOznachennya red Nehaj A dedekindove kilce K jogo pole chastok L skinchenne separabelne rozshirennya polya K B cile zamikannya kilcya A v L Nehaj L deyaka aditivna pidgrupa polya E Dlya neyi mozhna vvesti dopovnyuyuchu mnozhinu L shodo slidu yak sukupnist vsih tih x E displaystyle x in E nbsp dlya yakih L x E Tr E K x L A displaystyle L x in E mid operatorname Tr E K xL subset A nbsp L ye aditivnoyu pidgrupoyu u E Yaksho L M displaystyle L subset M nbsp dvi aditivni pidgrupi to M L displaystyle M subset L nbsp Yaksho Al L to takozh AL L Zokrema yaksho L B to B ye drobovim idealom kilcya B Oskilki B ye dedekindovim kilcem dlya drobovogo idealu B isnuye obernenij drobovij ideal B 1 displaystyle B 1 nbsp u grupi drobovih idealiv Ideal d E K d B A B 1 displaystyle delta E K delta B A B 1 nbsp nazivayetsya diferentnim idealom abo diferentoyu rozshirennya B A Diferentnij ideal ye zvichajnim idealom kilcya B U algebrichnij teoriyi chisel cej ideal takozh nazivayetsya vidnosnim diferentnim idealom Absolyutnim diferentnim idealom chislovogo polya K nazivayetsya d K Q displaystyle delta K mathbb Q nbsp comu vipadku vikoristovuyetsya poznachennya d K displaystyle delta K nbsp Yaksho m displaystyle mathfrak m nbsp drobovij ideal kilcya B to m displaystyle mathfrak m nbsp tezh ye aditivnoyu pidgrupoyu i diferentnim idealom cogo drobovogo idealu nazivayetsya drobovij ideal d E K m m 1 displaystyle delta E K mathfrak m mathfrak m 1 nbsp Priklad red Nehaj K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp de d Z displaystyle d in mathbb Z nbsp chislo vilne vid kvadrativ Todi dlya absolyutnogo diferentnogo ideala d Q d 2 d d 1 mod 4 d d 1 mod 4 displaystyle delta mathbb Q sqrt d begin cases 2 sqrt d amp d not equiv 1 mod 4 sqrt d amp d equiv 1 mod 4 end cases nbsp Vlastivosti red Diferentnij ideal rozshirennya B A ye zvichajnim idealom kilcya B Diferenta dovilnogo drobovogo idealu tezh ye drobovim idealom Yaksho pri tih zhe poznachennyah sho i vishe d E K displaystyle delta E K nbsp vidnosnij diferentnij ideal i d E K m displaystyle delta E K mathfrak m nbsp diferentnij ideal drobovogo idealu m displaystyle mathfrak m nbsp to d E K m m d E K displaystyle delta E K mathfrak m mathfrak m delta E K nbsp Diferentnij ideal porodzhuyetsya elementami vidu F x displaystyle F x nbsp de x B displaystyle x in B nbsp i F x displaystyle F x nbsp pohidna minimalnogo mnogochlena elementa x displaystyle x nbsp nad polem K Zokrema B A x displaystyle B A x nbsp todi i tilki todi koli d E K displaystyle delta E K nbsp ye golovnim idealom porodzhenim elementom F x displaystyle F x nbsp Yaksho D E K displaystyle D E K nbsp ye skinchennimi separabelnimi rozshirennyami z vlastivostyami yak i vishe tod D K d D E d E K displaystyle delta D K delta D E delta E K nbsp Nehaj S multiplikativna sistema u kilci A Todi d S 1 B S 1 A S 1 d B A displaystyle delta S 1 B S 1 A S 1 delta B A nbsp de S 1 displaystyle S 1 cdot nbsp poznachaye lokalizaciyu kilcya za mnozhinoyu S D B A N B A d B A displaystyle D B A N B A delta B A nbsp de D B A displaystyle D B A nbsp poznachaye vidnosnij diskriminant rozshirennya B A a N B A displaystyle N B A cdot nbsp normu idealu U vipadku chislovih poliv klas vidnosnogo diferenta zavzhdi ye kvadratom u grupi klasiv idealiv U zagalnomu vipadku ce ne tak Napriklad Frelih i Tejt znajshli priklad skinchennogo seperabelnogo rozshirennya funkcionalnih poliv odniyeyi zminnoyi dlya yakogo vidnosnij diferent ne ye kvadratom Pri tih zhe poznachennyah sho i vishe i dlya kozhnogo prostogo idealu p displaystyle mathfrak p nbsp kilcya B poznachimo B v p displaystyle B v mathfrak p nbsp popovnennya kilcya B shodo normuvannya za idealom p displaystyle mathfrak p nbsp U comu vipadku q p A displaystyle mathfrak q mathfrak p cap A nbsp ye prostim idealom kilcya A i popovnennya za cim idealom poznachimo A v q displaystyle A v mathfrak q nbsp Todi ye spravedlivoyu rivnist d E F p d B v p A v q displaystyle delta E F prod mathfrak p delta B v mathfrak p A v mathfrak q nbsp Dobutok u pravij chastini maye zmist oskilki dlya vsih prostih idealiv okrim skinchennoyi kilkosti d B v p A v q B displaystyle delta B v mathfrak p A v mathfrak q B nbsp Diferent i rozgaluzhennya prostih idealiv red Nehaj A dedekindove kilce K jogo pole chastok L skinchenne separabelne rozshirennya polya K B cile zamikannya kilcya A v L Pripustimo takozh sho dlya bud yakogo prostogo idealu B displaystyle mathfrak B nbsp kilcya B pole lishkiv B B displaystyle B mathfrak B nbsp ye doskonalim Nehaj teper p displaystyle mathfrak p nbsp prostij ideal kilcya A Todi p B B i e i displaystyle mathfrak p B prod mathfrak B i e i nbsp de B i displaystyle mathfrak B i nbsp prosti ideali kilcya B sho mistyat p displaystyle mathfrak p nbsp yih kilkist ye skinchennoyu a e i displaystyle e i nbsp nazivayutsya indeksami rozgaluzhennya idealiv B i displaystyle mathfrak B i nbsp Yaksho e i gt 1 displaystyle e i gt 1 nbsp to kazhut sho vidpovidnij ideal rozgaluzhuyetsya Rozgaluzhennya ye tisno pov yazani iz diferentami A same prostij ideal B i displaystyle mathfrak B i nbsp rozgaluzhuyetsya todi i tilki todi koli vin dilit diferent d B A displaystyle delta B A nbsp Do togo zh yaksho harakteristika polya B B i displaystyle B mathfrak B i nbsp ne dilit e i displaystyle e i nbsp to najbilshim stepenem B i displaystyle mathfrak B i nbsp na yakij dilitsya d B A displaystyle delta B A nbsp ye e i 1 displaystyle e i 1 nbsp V inshomu vipadku d B A displaystyle delta B A nbsp dilitsya na vishij stepin idealu B i displaystyle mathfrak B i nbsp Div takozh red Diskriminant teoriya poliv Norma idealuLiteratura red Frohlich Albrecht Taylor Martin 1991 Algebraic number theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27 Cambridge University Press ISBN 0 521 36664 X Zbl 0744 11001 Hecke Erich 1981 Lectures on the theory of algebraic numbers Graduate Texts in Mathematics 77 New York Heidelberg Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 90595 2 Zbl 0504 12001 Koch Helmut 2000 Number Theory Algebraic Numbers and Functions Graduate Studies in Mathematics American Mathematical Society ISBN 9780821820544 Lang Serge 1994 Algebraic Number Theory Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 94225 4 Narkiewicz Wladyslaw 1990 Elementary and analytic theory of algebraic numbers vid 2nd substantially revised and extended Springer Verlag PWN Polish Scientific Publishers ISBN 3 540 51250 0 Zbl 0717 11045 Serre Jean Pierre 1979 Local Fields Graduate Texts in Mathematics 67 Springer Verlag ISBN 0 387 90424 7 Zbl 0423 12016 Weiss Edwin 1976 Algebraic Number Theory vid 2nd unaltered Chelsea Publishin ISBN 0 8284 0293 0 Zbl 0348 12101 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferentnij ideal amp oldid 30815319