Нормування (алгебра)

В абстрактній алгебрі, а також алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії, нормування є певною мірою мультиплікативності. Поняття є узагальненням зокрема порядку кореня многочлена, порядку нуля чи полюса в комплексному аналізі і порядку подільності на просте число в арифметиці.

Визначення

Нормуванням комутативного кільця з одиницею із значеннями в лінійно впорядкованій абелевій групі з приєднаним нескінченним елементом називається відображення , що задовольняє таким вимогам:

•  ;
•  ;
• .

Приєднаний нескінченний елемент задовольняє умови і для всіх .

Якщо A є полем, то v є гомоморфізмом групи (A*, ×) в групу (G, +) і образ v(A*) є підгрупою групи G. Обмеживши розгляд лише цією підгрупою можна вважати v сюр'єкцією. Якщо A не є полем, то, образ v(A*) є моноїдом в групі G.

Якщо то нормування називається дискретним.

Пов'язані визначення

Нормування v і v' на кільці A називаються еквівалентними, якщо існує ізоморфізм впорядкованих моноїдів:

Якщо розглядати нормування на полі K то множина елементів R, що визначена як є підкільцем поля K і називається кільцем нормування v в полі K. Кільце нормування завжди є локальним кільцем. Підмножина M поля K, визначена як є максимальним ідеалом кільця R. Він називається ідеалом нормування v. Фактор-кільце , що є полем, називається полем лишків нормування v.

Нехай в полі K задані нормування v і v' . Кільця цих нормувань, що розглядаються як підкільця поля K, тоді і тільки тоді збігаються, коли ці нормування еквівалентні. Таким чином, опис всіх (з точністю до еквівалентності) нормувань поля K зводиться до опису всіх таких підкілець, які можуть бути для цього поля кільцями нормування.

Приклади

• Нормування кільця, яке визначається формулою:

називається невласним, або тривіальним нормуванням. Для скінченних полів це нормування є єдиним.

• Будь-яке кільце з неархімедовим абсолютним значенням може бути перетворено в нормоване кільце, якщо в моноїді значень перейти від мультиплікативного запису до адитивного і замінити впорядкованість на інверсну. Елемент 0 при цьому природно позначити символом . Зворотний перехід від кільця з нормуванням до кільця з неархімедовим абсолютним значенням також можливий.
• Якщо в кільці було задано неархімедове абсолютне значення, із значеннями в множині додатних дійсних чисел то нормування можна визначити формулою:

• Нехай K є полем, K[X] — кільце многочленів з коефіцієнтами з поля K і a — елемент поля K. Порядок кореня многочлена в точці a визначає нормування:

• Подібним чином можна визначити нормування і на множині K(X) раціональних функцій з коефіцієнтами з поля K :

• Для простого числа p можна визначити p-адичне нормування:

Властивості

Якщо A є комутативним кільцем з одиницею на якому визначено нормування v, то :

•  ;
•  ;
•  ;
• A є областю цілісності;
• Нормування w в єдиний спосіб можна продовжити на поле часток кільця A :

• Для будь-якої лінійно впорядкованої абелевої групи існує нормування деякого поля, група значень якого ізоморфна .

Топологія нормування поля

Нехай , нормування поля K і , де . Сукупність усіх утворює фундаментальну систему околів нуля топології поля K, що називається топологією визначеною нормуванням v. Ця топологія є гаусдорфовою і незв'язною. Топологія, індукована на кільці нормування R, як правило, відрізняється від топології локального кільця. Для нетривіального нормування поля K топологія нормування є локально компактною тоді і тільки тоді, коли нормування v є дискретним, кільце нормування повним, а поле лишків нормування v є скінченним; кільце R при цьому буде компактним.

Поповнення K' поля K щодо топології v є полем. Нормування v неперервно продовжується до нормування , і топологія поповнення K' збігається з топологією цього нормування. Кільце нормування є поповненням кільця нормування .

Нормування v і v' поля K називаються незалежними, якщо їх топології нормування є різними. Це еквівалентно тому, що їх кільця нормувань спільно породжують поле K.

Справедлива теорема апроксимації для нормування: нехай — незалежні нормування, і тоді знайдеться такий елемент , що для всіх i.

Продовження нормувань

Якщо v' — нормування поля L, а K — підполе L, то обмеження нормування v' на поле K є нормуванням поля K, а його група значень G — підгрупою групи G'. v' називається при цьому продовженням нормування v .

Навпаки, якщо v — нормування, a L — розширення поля K, то завжди існує нормування поля L, що продовжує v . Індекс підгрупи G в групі G' називається індексом розгалуження нормування v' щодо v і позначається . Поле лишків нормування v ототожнюється з підполем поля лишків , степінь розширення позначається і називається степенем лишків нормування v' щодо v . Продовження v' нормування v називається безпосереднім, якщо . Нехай L — розширення поля K, а — множина всіх продовжень нормування v на L. Якщо L — скінченне розширення поля K степеня n, то множина всіх продовжень v є скінченною, і

В ряді випадків цю нерівність можна замінити на рівність, наприклад коли v є дискретним нормуванням і або K є повним, або L є сепарабельним над K. Якщо L — нормальне розширення K, то продовження v на L переводяться K-автоморфізмами L, зокрема якщо L — радикальне розширення K, то v має єдине продовження.

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Кільце дискретного нормування
• Кільце нормування
• Локальне кільце

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Valuation. Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Джерела

• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Cohn, P. M. (1991). Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4. CRC Press. ISBN 9780412361906. 
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.