www.wikidata.uk-ua.nina.az

Локально компактний простір В топології локально компактний простір топологічний простір що в деякому околі кожної своєї

Локально компактний простір

В топології локально компактний простір — топологічний простір, що в деякому околі кожної своєї точки «подібний» до деякого компактного простору. Найчастіше в означенні локально компактного простору вимагається щоб довільна його точка мала компактний окіл.

Деякі автори при означенні вимагають сильніші властивості: існування замкнутого компактного околу чи бази околів з компактних множин. У випадку гаусдорфового простору всі ці вимоги є еквівалентними.

Приклади Редагувати

Приклади локально компактних просторів:

Простори, що не є локально компактними:

  • Простір як топологічний підпростір площини.

Властивості Редагувати

  • У локально компактному гаусдорфовому просторі для будь-якої компактної підмножини її компактні околи утворюють базу околів множини . Зокрема для кожної точки її компактні околи (які існують за означенням локальної компактності) утворюють базу околів точки.
  • Локально компактний гаусдорфів простір є цілком регулярним. Більше того для кожної компактної підмножини локально компактного простору і її відкритого околу існує неперервна функція така, що і також а носій функції є компактною підмножиною , зокрема Цілковита регулярність є частковим випадком цього твердження у випадку якщо є одноточковою підмножиною.
  • Замкнутий підпростір локально компактного простору є теж локально компактним.
  • Для довільного гаусдорфового простору локально компактний підпростір є локально замкнутим (тобто замкнутою підмножиною деякої відкритої підмножини X; еквівалентно якщо він є рівний перетину деякої відкритої і замкнутої множин або різницею замкнутих підмножин). Навпаки для локально компактного гаусдорфового простору довільний локально замкнутий підпростір є локально компактним.
  • З попереднього випливає, що щільна підмножина локально компактного гаусдорфового простору є локально компактною тоді і тільки тоді, коли вона є відкритою.
  • Добуток топологічних просторів є локально компактним тоді і тільки тоді, коли всі ці простори є локально компактними і всі вони, можливо за винятком скінченної кількості є компактні.
  • Факторпростір локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим. Навпаки, будь-який компактно породжений гаусдорфів простір є факторпростором деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V topologiyi lokalno kompaktnij prostir topologichnij prostir sho v deyakomu okoli kozhnoyi svoyeyi tochki podibnij do deyakogo kompaktnogo prostoru Najchastishe v oznachenni lokalno kompaktnogo prostoru vimagayetsya shob dovilna jogo tochka mala kompaktnij okil Deyaki avtori pri oznachenni vimagayut silnishi vlastivosti isnuvannya zamknutogo kompaktnogo okolu chi bazi okoliv z kompaktnih mnozhin U vipadku gausdorfovogo prostoru vsi ci vimogi ye ekvivalentnimi Zmist 1 Prikladi 2 Vlastivosti 3 Div takozh 4 DzherelaPrikladi RedaguvatiPrikladi lokalno kompaktnih prostoriv Zamknutij interval 0 1 displaystyle 0 1 nbsp mnozhina Kantora i zagalom dovilnij kompaktnij prostir Prostir dijsnih chisel R displaystyle mathbb R nbsp i zagalom evklidovi prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp Dovilnij diskretnij prostir Prostori sho ne ye lokalno kompaktnimi Prostir racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q nbsp z indukovanoyu topologiyeyu R displaystyle mathbb R nbsp Prostir Bera N N displaystyle mathbb N mathbb N nbsp Prostir irracionalnih chisel R Q displaystyle mathbb R setminus mathbb Q nbsp yak pidprostir prostoru R displaystyle mathbb R nbsp Prostir 0 0 x y R 2 y gt 0 displaystyle 0 0 cup x y in mathbb R 2 y gt 0 nbsp yak topologichnij pidprostir ploshini Vlastivosti RedaguvatiU lokalno kompaktnomu gausdorfovomu prostori X displaystyle X nbsp dlya bud yakoyi kompaktnoyi pidmnozhini E displaystyle E nbsp yiyi kompaktni okoli utvoryuyut bazu okoliv mnozhini E displaystyle E nbsp Zokrema dlya kozhnoyi tochki yiyi kompaktni okoli yaki isnuyut za oznachennyam lokalnoyi kompaktnosti utvoryuyut bazu okoliv tochki Yaksho prostir X displaystyle X nbsp ye kompaktnim i U displaystyle U nbsp ye deyakim vidkritim okolom mnozhini E displaystyle E nbsp to dopovnennya T X U displaystyle T X setminus U nbsp ye kompaktnoyu mnozhinoyu yak zamknuta pidmnozhina kompaktnogo prostoru Oskilki E displaystyle E nbsp i T displaystyle T nbsp ye kompaktnimi pidmnozhinami gausdorfovogo prostoru sho ne peretinayutsya to isnuyut takozh vidkriti okoli V E displaystyle V supset E nbsp i W T displaystyle W supset T nbsp iz porozhnim peretinom Oskilki V displaystyle V nbsp ye pidmnozhinoyu zamknutoyi mnozhini X W displaystyle X setminus W nbsp to i yiyi zamikannya V X W displaystyle bar V subset X setminus W nbsp Ale takozh X W U displaystyle X setminus W subset U nbsp tozh i V U displaystyle bar V subset U nbsp i takozh V displaystyle bar V nbsp ye kompaktnoyu yak zamknuta pidmnozhina kompaktnogo prostoru Tobto kozhen vidkritij okil E displaystyle E nbsp mistit kompaktnij okil ciyeyi mnozhini sho j dovodit te sho kompaktni okoli utvoryuyut bazis okoliv mnozhini E displaystyle E nbsp U zagalnomu vipadku dlya lokalno kompaktnih prostoriv dlya kozhnoyi tochki x E displaystyle x in E nbsp isnuye kompaktnij okil N x displaystyle N x nbsp sho mistit vidkritij okil U x displaystyle U x nbsp ciyeyi tochki Vidkriti okoli U x displaystyle U x nbsp utvoryuyut pokrittya kompaktnoyi mnozhini E displaystyle E nbsp i tomu isnuye skinchenne pidpokrittya U x 1 U x n displaystyle U x 1 ldots U x n nbsp Todi dlya vidpovidnih kompaktnih okoliv ob yednannya N N x 1 N x n displaystyle N N x 1 cup ldots cup N x n nbsp ye kompaktnim okolom E displaystyle E nbsp Todi dlya bud yakogo vidkritogo okolu V displaystyle V nbsp mnozhini E displaystyle E nbsp mnozhina V N displaystyle V cap N nbsp ye vidkritim okolom E displaystyle E nbsp u kompaktnomu prostori N displaystyle N nbsp Tomu iz poperednogo viplivaye isnuvannya kompaktnoyi u N displaystyle N nbsp a tomu j u X displaystyle X nbsp mnozhini K displaystyle K nbsp dlya yakoyi E K V N V displaystyle E subset K subset V cap N subset V nbsp tobto dovilnij vidkritij okil kompaktnoyi mnozhini znovu zh mistit kompaktnij okil dd Lokalno kompaktnij gausdorfiv prostir ye cilkom regulyarnim Bilshe togo dlya kozhnoyi kompaktnoyi pidmnozhini K displaystyle K nbsp lokalno kompaktnogo prostoru X displaystyle X nbsp i yiyi vidkritogo okolu U displaystyle U nbsp isnuye neperervna funkciya f X R displaystyle f X to mathbb R nbsp taka sho 0 f x 1 x X displaystyle 0 leqslant f x leqslant 1 forall x in X nbsp i takozh f x 1 y K displaystyle f x 1 forall y in K nbsp a nosij funkciyi ye kompaktnoyu pidmnozhinoyu U displaystyle U nbsp zokrema f x 0 y U displaystyle f x 0 forall y not in U nbsp Cilkovita regulyarnist ye chastkovim vipadkom cogo tverdzhennya u vipadku yaksho K displaystyle K nbsp ye odnotochkovoyu pidmnozhinoyu Zamknutij pidprostir E displaystyle E nbsp lokalno kompaktnogo prostoru X displaystyle X nbsp ye tezh lokalno kompaktnim Za oznachennyam dlya kozhnoyi tochki x E displaystyle x in E nbsp isnuye kompaktnij okil K displaystyle K nbsp u prostori X displaystyle X nbsp Ale todi E K displaystyle E cap K nbsp ye zamknutoyu pidmnozhinoyu kompaktnogo prostoru K displaystyle K nbsp i tomu tezh ye kompaktnoyu pidmnozhinoyu prostoru K displaystyle K nbsp a tomu prostoru X displaystyle X nbsp i prostoru E displaystyle E nbsp Tobto kozhna tochka x E displaystyle x in E nbsp maye kompaktnij okil u E displaystyle E nbsp i cej pidprostir tezh ye lokalno kompaktnim dd Dlya dovilnogo gausdorfovogo prostoru X displaystyle X nbsp lokalno kompaktnij pidprostir ye lokalno zamknutim tobto zamknutoyu pidmnozhinoyu deyakoyi vidkritoyi pidmnozhini X ekvivalentno yaksho vin ye rivnij peretinu deyakoyi vidkritoyi i zamknutoyi mnozhin abo rizniceyu zamknutih pidmnozhin Navpaki dlya lokalno kompaktnogo gausdorfovogo prostoru dovilnij lokalno zamknutij pidprostir ye lokalno kompaktnim Yaksho E displaystyle E nbsp ye lokalno kompaktnim pidprostorom gausdorfovogo prostoru X displaystyle X nbsp to dlya kozhnoyi tochki x E displaystyle x in E nbsp isnuye kompaktna pidmnozhina K x E displaystyle K x subset E nbsp i vidkrita pidmnozhina U x X displaystyle U x subset X nbsp dlya yakih x U x E K x displaystyle x in U x cap E subset K x nbsp ce i oznachaye v danomu vipadku sho K x displaystyle K x nbsp ye kompaktnim okolom u prostori E displaystyle E nbsp Ob yednannya mnozhin U x E U x displaystyle U cup x in E U x nbsp ye vidkritim okolom E displaystyle E nbsp i dostatno dovesti sho E displaystyle E nbsp ye zamknutoyu pidmnozhinoyu U displaystyle U nbsp Nehaj y U E displaystyle y in U setminus E nbsp Todi y U x displaystyle y in U x nbsp dlya deyakogo x E displaystyle x in E nbsp i y i K x displaystyle K x nbsp ye dvoma kompaktnimi pidmnozhinami U displaystyle U nbsp iz porozhnim peretinom Oskilki prostir ye gausdorfovim zvidsi viplivaye isnuvannya vidkritih okoliv y U y displaystyle y subset U y nbsp i K x U K x displaystyle K x subset U K x nbsp iz porozhnim peretinom Ochevidno mozhna vibrati takozh U y U x displaystyle U y subset U x nbsp i u comu vipadku U y E displaystyle U y subset E emptyset nbsp Otzhe dlya kozhnoyi tochki y U E displaystyle y in U setminus E nbsp isnuye vidkritij okil u U displaystyle U nbsp ciyeyi tochki sho ne peretinayetsya z E displaystyle E nbsp Tobto E displaystyle E nbsp ye zamknutoyu pidmnozhinoyu vidkritoyi mnozhini U displaystyle U nbsp Navpaki yaksho X displaystyle X nbsp ye lokalno kompaktnim gausdorfovim prostorom E displaystyle E nbsp ye zamknutoyu pidmnozhinoyu deyakoyi vidkritoyi mnozhini U X displaystyle U subset X nbsp i x E displaystyle x in E nbsp to iz poperednogo isnuye kompaktnij okil x K x U displaystyle x in K x subset U nbsp Mnozhina K x displaystyle K x nbsp ye zamknutoyu u U displaystyle U nbsp yak kompaktna pidmnozhina gausdorfovogo prostoru U displaystyle U nbsp Vidpovidno K x E displaystyle K x cap E nbsp ye zamknutoyu pidmnozhinoyu u K x displaystyle K x nbsp i tomu kompaktnoyu Vidpovidno K x E displaystyle K x cap E nbsp ye kompaktnim okolom x u E dd Z poperednogo viplivaye sho shilna pidmnozhina lokalno kompaktnogo gausdorfovogo prostoru ye lokalno kompaktnoyu todi i tilki todi koli vona ye vidkritoyu Odnotochkova kompaktifikaciya topologichnogo prostoru X displaystyle X nbsp ye gausdorfovoyu todi i tilki todi koli X displaystyle X nbsp ye lokalno kompaktnim gausdorfovim prostorom Dobutok topologichnih prostoriv ye lokalno kompaktnim todi i tilki todi koli vsi ci prostori ye lokalno kompaktnimi i vsi voni mozhlivo za vinyatkom skinchennoyi kilkosti ye kompaktni Obraz lokalno kompaktnogo prostoru pri syur yektivnomu neperervnomu vidkritomu vidobrazhenni ye lokalno kompaktnim Faktorprostir lokalno kompaktnogo gausdorfovogo prostoru ye kompaktno porodzhenim Navpaki bud yakij kompaktno porodzhenij gausdorfiv prostir ye faktorprostorom deyakogo lokalno kompaktnogo gausdorfovogo prostoru Div takozh RedaguvatiKompaktnij prostirDzherela RedaguvatiBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Kelley John 1975 General Topology Springer ISBN 0 387 90125 6 Munkres James 1999 Topology 2nd ed Prentice Hall ISBN 0 13 181629 2 Steen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 1978 Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978 ed Berlin New York Springer Verlag MR507446 ISBN 978 0 486 68735 3 Willard Stephen 1970 General Topology Addison Wesley ISBN 0 486 43479 6 Dover edition Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lokalno kompaktnij prostir amp oldid 38190945