Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних галузях математики — топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.
Визначення Редагувати
- Нехай — деяка множина, а - сім'я всіх його підмножин. Тоді є топологією, що називається дискретною топологією, а пара називається дискретним топологічним простором.
- Нехай - метричний простір, де метрика визначена так:
Тоді називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.
Зауваження Редагувати
Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.
Приклади Редагувати
- Нехай де , і - дискретна метрика на . Тоді - дискретний метричний, а отже і топологічний простір.
- Нехай и Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.
Властивості Редагувати
- Ця топологія є найсильнішою топологією на множині .
- Довільна підмножина є одночасно відкритою і замкненою.
- Кожна точка простору ізольована в .
- Кожне відображення з дискретного простору неперервне.
- Дискретна топологія породжується дискретною метрикою. Тому дискретний простір цілком нормальний.
- Одноточкові множини дискретного топологічного простору утворюють його базу.
- Дискретний простір сильно локально компактний, задовольняє першу аксіому зліченності та паракомпактний.
- Дискретний топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли він скінченний.
- Дискретний простір σ-компактний, ліндельофів, задовольняє другу аксіому зліченності і сепарабельний в тому й лише в тому разі, коли він не більш ніж зліченний. Скінчений дискретний простір має всі потужністні характеристики.
- Дискретний простір є повним метричним простором другої категорії.
- локально зв’язний і локально лінійно зв’язний. Якщо містить більше однієї точки, то він не зв’язний, а отже не лінійно зв’язний і не дугово зв’язний.
- Дискретна топологія породжується дискретною рівномірністю, яка складається з усіх підмножин декартового квадрату , що містять його діагональ. Ця діагональ є базою цієї рівномірності.
- Будь-які два дискретні топологічні простори, що мають однакову потужність гомеоморфні.
- Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору є не більше ніж зліченною.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.