База околів у точці і система околів — базові поняття у (загальній топології), за допомогою яких можна дати означення (топологічного простору), еквівалентні стандартним означенням за допомогою (відкритих множин). За допомогою систем чи баз околів дається означення (неперервної) у точці функції.
Означення
Нехай — (топологічний простір) і . Множина всіх (околів) (не обов'язково (відкритих)) точки називається системою околів у точці . Для неї використовується позначення
Множина (околів) точки називається базою околів у точці або фундаментальною системою околів точки якщо:
.
У подібний спосіб також можна дати означення систем і баз околів довільної підмножини топологічного простору.
Приклади
- Система околів точки є також базою околів у цій точці.
- Якщо є (дискретним простором), то (одноелементна множина) є базою околів у . Якщо є (антидискретним простором), то є базою околів у .
- Якщо є (метричним простором) з метрикою і для точки і числа позначимо , то тоді сім'я є базою околів у .
Властивості
Тут, як і у статті (Окіл), околом точки називається множина, що містить (відкриту множину), елементом якої є дана точка, тобто околи не обов'язково є відкритими множинами.
- Нехай є системою околів топологічного простору . Тоді виконуються такі властивості:
- Для кожного , і для кожного .
- Якщо і то також .
- Якщо , то існує , такий що для кожної точки .
- (Перетин) (скінченної) кількості елементів теж є елементом .
- Перші дві властивості випливають із означення околу точки, четверта із того, що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною (і з того факту, що за означенням кожен окіл містить відкритий окіл). У третій властивості за множину можна взяти довільний окіл, який існує за означенням. Властивість одержується з того факту, що відкрита множина є околом всіх своїх точок і тому довільна множина, що її містить теж є околом всіх її точок.
- Навпаки, припустимо, що є (непустою множиною) і є системою сімей підмножин , що задовольняють властивості 1 - 4. Нехай — сім'я всіх підмножин , таких що для всіх . Тоді є топологією на і є системою околів для цієї топології. Топологія називається топологією породженою системою околів . Таким чином система околів може бути одним із способів задання топології на множині.
- Очевидно, що пуста множина і весь простір належать . Для довільної сім'ї множин із їх (об'єднання) містить кожну із цих множин і тому, згідно другої властивості, є околом всіх своїх точок. Тобто об'єднання довільної сім'ї множин із теж належить . Для скінченної сім'ї множин із кожна з цих множин є околом кожної з точок їх перетину і тому для кожної з цих точок перетин множин є околом (згідно четвертої властивості). Тому перетин скінченної сім'ї підмножин з теж належить і тому є топологією.
- Згідно другої властивості кожен окіл точки належить . Навпаки нехай і — множина точок , для яких . Очевидно що і . Доведемо, що множина є відкритою у топології . Нехай . Тоді згідно властивості 3 існує така множина , що для всіх . Тоді з означення маємо, що і оскільки то з другої властивості також . Оскільки точка була довільною, то є околом всіх своїх точок, тобто відкритою множиною у топології .
- Аналогічно топологію можна задавати за допомогою бази околів, як сім'ю підмножин , що задовольняють властивості (які виконуються для баз околів):
- Для кожного , і для кожного .
- Якщо , то існує , така що для кожної точки існує .
- Перетин скінченної кількості елементів містить деякий елемент .
Кардинальні функції
З поняттям бази околів пов'язані наступні поняття:
- Характер точки у топологічного простору найменша можлива (потужність) бази околів у цій точці. Характер точки позначається .
- Характер простору за означенням рівний
.
Див. також
- (База топології)
- (Окіл)
- (Топологічний простір)
Джерела
- (Бурбакі Н.) Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — ((Елементи математики))(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет