www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ірраціональні числа позначення для множини I displaystyle mathbb I це всі дійсні числа що не є раціональними I R Q displ

Ірраціональні числа

Ірраціональні числа (позначення для множини — ) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: , — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел (, ), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Математична константа пі (π) є ірраціональним числом.
Число є ірраціональним числом.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда[джерело?], виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чисел Редагувати

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

  • , що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
  • , що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
  • , що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
  • , скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих», тобто повторюється нескінчену кількість разів;
  • , ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді», тобто повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади Редагувати

Квадратні корені Редагувати

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

Приклади Редагувати

Філософське значення Редагувати

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості Редагувати

Топологічні властивості Редагувати

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини — дужки замість верхньої риски.
  2. Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знаку можуть стояти самі нулі (), відкиданням яких отримують скінченні дроби.
  3. Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що .

Література Редагувати

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Irracionalni chisla poznachennya dlya mnozhini I displaystyle mathbb I ce vsi dijsni chisla sho ne ye racionalnimi I R Q displaystyle mathbb I mathbb R setminus mathbb Q tobto ne mozhut buti zapisani yak vidnoshennya cilih chisel z n displaystyle frac z n z Z displaystyle z in mathbb Z n N displaystyle n in mathbb N a lishe neskinchennimi neperiodichnimi desyatkovimi drobami Matematichna konstanta pi p ye irracionalnim chislom Chislo 2 displaystyle scriptstyle sqrt 2 ye irracionalnim chislom Upershe I ch postali v geometriyi pid chas vivchennya dovzhin vidrizkiv pifagorcyami yaki yak stverdzhuye legenda dzherelo viyavili nespivmirnist z odinicyami vimiryuvannya deyakih geometrichnih velichin Oskilki ce superechilo yihnij filosofiyi cilkom pobudovanij na naturalnih chislah vidkrittya yaknajsuvorishe prihovuvali navit pokaravshi na smert odnogo zi svoyih brativ Gippasa Metapontskogo yakij za riznimi dzherelami chi to pershim znajshov chi to rozgolosiv cej fakt Zmist 1 Vidminnosti zapisuvannya dijsnih chisel 1 1 Prikladi 1 1 1 Kvadratni koreni 1 1 2 Prikladi 2 Filosofske znachennya 3 Vlastivosti 3 1 Topologichni vlastivosti UNIQ postMath 00000018 QINU 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaVidminnosti zapisuvannya dijsnih chisel RedaguvatiDesyatkovij drib bud yakogo racionalnogo chisla maye periodichno povtoryuvanu chastinu zokrema ce mozhut buti nuli yak u skinchennih drobiv i cilih chisel n d 1 3 3 displaystyle frac 1 3 overline 3 nbsp 1 sho oznachaye nul cilih i tri v periodi dovzhina periodu odin tobto 3 displaystyle 3 nbsp povtoryuyetsya neskinchenu kilkist raziv 22 7 3 142857 displaystyle frac 22 7 3 overline 142857 nbsp sho oznachaye tri cilih i sto sorok dvi tisyachi visimsot p yatdesyat sim u periodi dovzhina periodu shist tobto 142857 displaystyle 142857 nbsp povtoryuyetsya neskinchenu kilkist raziv 265 132 2 00 75 displaystyle frac 265 132 2 00 overline 75 nbsp sho oznachaye dvi cilih nul sotih i simdesyat p yat u periodi dovzhina periodu dva tobto 75 displaystyle 75 nbsp povtoryuyetsya neskinchenu kilkist raziv 5 2 2 5 2 5 0 displaystyle frac 5 2 2 5 equiv 2 5 overline 0 nbsp skinchennij drib dvi cilih p yat desyatih 2 tobto 0 displaystyle 0 nbsp povtoryuyetsya neskinchenu kilkist raziv 3 1 3 2 9 displaystyle frac 3 1 3 equiv 2 overline 9 nbsp cile chislo tri ekvivalentne dvom cilim i dev yat u periodi 3 tobto 9 displaystyle 9 nbsp povtoryuyetsya neskinchenu kilkist raziv Periodichnist drobu mozhna vvazhati kriteriyem prinalezhnosti chisla do mnozhini racionalnih chisel Rozkladannya I ch u desyatkovij drib ne poznachayetsya takoyu periodichnistyu Napriklad vidomo sho chislo pi irracionalne ta navit transcendentne tomu hocha v jogo desyatkovomu zapisi okremi cifri ta yih kombinaciyi povtoryuyutsya ne isnuye grupi cifr yaka b neskinchenno povtoryuvalasya utvoryuyuchi period Inshij sposib zapisuvannya dodatnih dijsnih chisel za dopomogoyu lancyugovih drobiv Vidminnist polyagaye v tomu sho lancyugovi drobi racionalnih chisel skinchenni a I ch neskinchenni hocha dlya kvadratichnih irracionalnostej lancyugovij drib periodichnij Prikladi Redaguvati Kvadratni koreni Redaguvati Kvadratnij korin z dvoh ce pershe chislo irracionalnist yakogo bulo dovedeno Inshim vidomim irracionalnim chislom ye zolotij peretin Kvadratni koreni usih naturalnih chisel yaki ne ye kvadratnimi chislami ye irracionalnimi Prikladi Redaguvati 355 113 3 1 7 1 16 displaystyle frac 355 113 3 cfrac 1 7 cfrac 1 16 nbsp skinchennij 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 displaystyle sqrt 2 1 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 ldots 1 2 2 2 ldots 1 2 nbsp z periodom dovzhini odin 3 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 displaystyle sqrt 3 1 cfrac 1 1 cfrac 1 2 cfrac 1 1 cfrac 1 2 ldots 1 1 2 1 2 ldots 1 1 2 nbsp z periodom dovzhini dva p 3 1 7 1 15 1 1 1 292 3 7 15 1 292 1 1 1 2 displaystyle pi 3 cfrac 1 7 cfrac 1 15 cfrac 1 1 cfrac 1 292 ldots 3 7 15 1 292 1 1 1 2 ldots nbsp A001203 v enciklopediyi cilih poslidovnostej Arhivovano 5 bereznya 2007 u Wayback Machine neperiodichnij Filosofske znachennya RedaguvatiPro isnuvannya nespivmirnih vidrizkiv znali vzhe drevni matematiki yim bula vidoma napriklad nespivmirnist diagonali ta storoni kvadrata sho rivnosilno irracionalnosti chisla 2 displaystyle sqrt 2 nbsp pershe znajdene I ch Pifagorove tverdzhennya sho vsi rechi ye chisla vidobrazhalo metafizichni uyavlennya starodavnih grekiv pro Vsesvit yak misce garmoniyi yaku vlasne mozhna opisati vidnoshennyami naturalnih chisel Tak poyednannya dvoh zvukiv vidnoshennya chastot yakih ye racionalnim chislom daye priyemne dlya vuha zvuchannya Z yasuvannya togo sho 2 1 414 2135 displaystyle sqrt 2 approx 1 4142135 nbsp ne ye racionalnim chislom prizvelo do glibokoyi krizi davnogreckoyi matematiki yaka polyagala v usvidomleni faktu isnuvannya matematichnih velichin yaki ne mozhlivo vidobraziti chislami a lishe cherez geometrichni pobudovi Yak naslidok davnogrecka matematika vidmovilasya vid algebrayichnogo pidhodu na korist geometrichnogo Vlastivosti RedaguvatiBud yake dijsne chislo mozhna zapisati neskinchennim desyatkovim drobom prote tilki I ch zapisuyut neperiodichnimi desyatkovimi drobami Suma dvoh dodatnih I ch mozhe buti racionalnim chislom Kozhne I ch viznachaye takij pereriz Dedekinda u mnozhini racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q nbsp dlya yakogo v nizhnomu klasi nemaye najbilshogo a u verhnomu najmenshogo chisla Kozhne I ch ye abo algebrayichnim abo transcendentnim Kozhne dijsne transcendentne irracionalnim Mnozhina I ch skriz shilna na chislovij pryamij tobto mizh bud yakimi dvoma dijsnimi chislami ye I ch i navit neskinchenno bagato Poryadok na mnozhini I ch izomorfnij poryadku na mnozhini dijsnih transcendentnih chisel Mnozhina I ch ye nezlichennoyu drugoyi kategoriyi Topologichni vlastivosti R Q displaystyle mathbb R setminus mathbb Q nbsp Redaguvati ye pidprostorom evklidovogo prostoru R displaystyle mathbb R nbsp ye Gd mnozhinoyu ale ne Fs mnozhinoyu v R displaystyle mathbb R nbsp faktichno R Q a Q R a displaystyle mathbb R setminus mathbb Q bigcap alpha in mathbb Q mathbb R setminus alpha nbsp ye metrichnim prostorom cilkom normalnim i parakompaktnim ye povnim prostorom drugoyi kategoriyi ye separabelnim prostorom zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti ne ye lokalno kompaktnim i s lokalno kompaktnim ye cilkom vidokremlenim ye shilnim u sobi ne ye rozsiyanim ye nulvimirnim Div takozh RedaguvatiMira irracionalnostiPrimitki Redaguvati Tut vikoristano anglijsku sistemu zapisuvannya drobiv bez nuliv U postradyanskih krayinah dlya rozdilennya ciloyi chastini vid drobnoyi vikoristovuyut komu zamist krapki a dlya poznachennya povtoryuvanoyi chastini duzhki zamist verhnoyi riski Desyatkovi drobi ye neskinchennimi za pobudovoyu tomu zrozumilo sho pislya pevnogo desyatkovogo znaku mozhut stoyati sami nuli a 0 a 1 a n 000 displaystyle a 0 a 1 a n 000 nbsp vidkidannyam yakih otrimuyut skinchenni drobi Mozhemo zapisati yak neskinchennij periodichnij drib oskilki z oznachennya mayemo sho 2 9 10 9 100 3 displaystyle 2 frac 9 10 frac 9 100 3 nbsp Dokladnishe 0 9 Literatura Redaguvati1 Steen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 1978 Counterexamples in Topology vid Dover reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 486 68735 3 MR 507446 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Irracionalni chisla amp oldid 39326342