www.wikidata.uk-ua.nina.az

Переріз Дедекінда це конструкція з математичного аналізу запропонована Ріхардом Дедекіндом за допомогою якої надається м

Переріз Дедекінда

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Визначення

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина B — верхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

  • A непорожня,
  • А не становить всю множину раціональних чисел,
  • А замкнута знизу, тобто якщо та то
  • А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого знайдеться

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

Приклади

Дійсному числу відповідає наступний дедекіндовий переріз: та . Інтуїтивно можна представити, що для визначення , ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше , та всі числа, що правіше ; тобто, є точною нижньою гранню множини

Див. також

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pereriz Dedekinda ce konstrukciya z matematichnogo analizu zaproponovana Rihardom Dedekindom za dopomogoyu yakoyi nadayetsya matematichno stroge viznachennya dijsnih chisel Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Div takozh 4 DzherelaViznachennya RedaguvatiPereriz Dedekinda ce rozbittya mnozhini usih racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q na dvi neporozhni pidmnozhini A ta B iz vlastivostyami sho A ne maye najbilshogo elementa i bud yake chislo z mnozhini A menshe vid bud kogo chisla z mnozhini B Mnozhina A nazivayetsya nizhnim klasom pererizu a mnozhina B verhnim klasom pererizu Bud yake racionalne chislo x prizvodit do pereriza Dedekinda u yakomu A a Q a lt x B b Q b x displaystyle A a in mathbb Q a lt x quad B b in mathbb Q b geq x Oskilki mnozhina B povnistyu viznachena mnozhinoyu A a same B Q A viznachennya pereriza Dedekinda chasto nadayetsya v terminah nizhnogo klasu Takim chinom pereriz Dedekinda ce mnozhina A racionalnih chisel iz vlastivostyami A neporozhnya A displaystyle A neq emptyset A ne stanovit vsyu mnozhinu racionalnih chisel A Q displaystyle A neq mathbb Q A zamknuta znizu tobto yaksho a A displaystyle a in A ta c lt a displaystyle c lt a to c A displaystyle c in A A ne maye najbilshogo elementa tobto dlya bud yakogo a A displaystyle a in A znajdetsya c A c gt a displaystyle c in A c gt a Pererizi Dedekinda utvoryuyut mnozhinu R na yakij mozhut buti viznacheni operaciyi dodavannya ta mnozhennya a takozh ponyattya poryadku Takim chinom mnozhina R peretvoryuyetsya na uporyadkovane pole dijsnih chisel Yaksho u verhnomu klasi ye najmenshe chislo to takij pereriz vidpovidaye racionalnomu chislu u suprotivnomu vipadku irracionalnomu chislu Prikladi RedaguvatiDijsnomu chislu 2 displaystyle sqrt 2 vidpovidaye nastupnij dedekindovij pereriz A a Q a 0 a 2 lt 2 displaystyle A a in mathbb Q a leqslant 0 lor a 2 lt 2 ta B b Q b gt 0 b 2 2 displaystyle B b in mathbb Q b gt 0 land b 2 geqslant 2 Intuyitivno mozhna predstaviti sho dlya viznachennya 2 displaystyle sqrt 2 mi rozdilili mnozhinu racionalnih chisel na dvi chastini vsi chisla sho livishe 2 displaystyle sqrt 2 ta vsi chisla sho pravishe 2 displaystyle sqrt 2 tobto 2 displaystyle sqrt 2 ye tochnoyu nizhnoyu grannyu mnozhini B displaystyle B Div takozh RedaguvatiAksioma DedekindaDzherela RedaguvatiAleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1000 s ukr Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1962 T 1 607 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pereriz Dedekinda amp oldid 39885165