Гіпотеза Берча — Свіннертона-Дайера описує множину раціональних розв'язків рівнянь, які визначають еліптичною кривою. Це є відкритою проблемою у теорії чисел і широко визнана як одна з найскладніших математичних проблем. Гіпотеза була вибрана в якості однієї з семи проблем тисячоліття, включених Математичним інститутом Клея до списку задач за які запропонована премію в розмірі 1 000 000 доларів за перше правильне доведення. Гіпотеза названа на честь математиків Браяна Берча[en] та Пітера Свіннертона-Даєра[en], які сформулювали гіпотезу в першій половині 1960-х років за допомогою машинних обчислень. Станом на 2016 рік доведено лише окремі випадки гіпотези.
| Проблеми тисячоліття |
|---|
| Рівність класів P і NP |
| Гіпотеза Годжа |
| Гіпотеза Пуанкаре* |
| Гіпотеза Рімана |
| Квантова теорія Янга — Мілса |
| Рівняння Нав'є — Стокса |
| Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра |
| * доведені |
знаходиться в межах перших 100000 простих чисел. Шкала абсцис — ; шкала ординат знаходиться в логарифмічному масштабі. Гіпотеза передбачає, що графік повинен утворювати лінію нахилу, що дорівнює за рангом кривої, рівняння для якого він утворений. В разі ранг кривої дорівнює 1. Червоним кольором, для прикладу, намальована лінія з рангом кривизни 1.
У пошуках відповіді на питання — за яких умов діофантови рівняння у вигляді алгебраїчних рівнянь мають рішення в цілих і раціональних числах, Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Дайер на початку 1960-х років припустили, що ранг еліптичної кривої над рішень дорівнює порядку нуля дзета-функції Хассе — Вейля в точці . Більш детально, гіпотеза стверджує, що існує ненульовий межа, де значення залежить від тонких арифметичних інваріантів кривих.
Найважливішим частковим результатом станом на 2011 рік залишається доведене в 1977 році Джоном Коутс і Ендрю Уайлсом твердження, справедливе для великого класу еліптичних кривих про те, що якщо крива містить нескінченно багато раціональних точок, то .
Гіпотеза є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу еліптичних кривих.
Примітки ред.
- Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture [ 29 жовтня 2018 у Wayback Machine.] at Clay Mathematics Institute
Література ред.
- Коблиц Н. Введення в еліптичні криві і модулярні форми / під редакцією Ю. І. Маніна. — М. : Світ, 1988.
- Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. — М. : Світ, 1987.
| Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення. stubrefless |