Брамагупта

|Батько= |Посада= |Діти= |Мати= |Дружина= |Чоловік=

Брамагупта
санскр. ब्रह्मगुप्त
Народився	598(0598) Бхілман, Індія
Помер	668(0668)
Місце проживання	Бхілман, тепер у штаті Раджастхан, Індія і Удджайн, тепер у штаті Мадх'я-Прадеш, Індія
Країна	Індія
Діяльність	математик, астроном
Галузь	математика, астрономія
Відомий завдяки:	«Перегляд системи Брами»
Батько	Jishnugupta^d
Висловлювання у Вікіцитатах  Брамагупта у Вікісховищі

Брамагу́пта (санскр. ब्रह्मगुप्त; 598 — 668) — давньоіндійський математик і астроном, який написав важливі роботи з математики та астрономії а саме: теоретичний трактат «Brāhmasphuṭasiddhānta» («Брахма-спхута-сіддханта», може перекладатись як «Удосконалене вчення Брахми» чи «Перегляд системи Брами»), завершений у 628-му році, та більш практичний текст «Khaṇḍakhādyaka» («Кхандакхадьяка»), який побачив світ у 665-му. Трактати написані у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків. Ці роботи справили значний вплив на розвиток астрономії у Візантії та ісламських країнах, поклавши початок використанню алгебраїчних методів для астрономічних обчислень.

Біографічні дані

Вважається, що Брамагупта народився у 598 році. Це випливає з книги «Брахма-спхута-сіддханта», у якій він повідомляє, що написав цей текст у тридцятирічному віці у 628 році (Śaka 550). Брамагупта народився у Бхілламалі (тепер місто Бхілман у штаті Раджастхан Північно-Західної Індії). У стародавні часи місто Бхілман було резиденцією влади Ґуджар. Його батьком був Джиснугупта. Він, ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бхілмані під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха, тому його нерідко називають Бхілламакарья (вчитель з Бхіллама). Брамагупта керував астрономічною обсерваторією в Удджайні. Обсерваторія, у якій також працював Варахаміхіра, була найкращою у тогочасній Індії.

Під час свого перебування в Бхілмані написав чотири твори з математики та астрономії. У 628 р. виклав четверту індуїстську астрономічну систему у віршованій формі у творі «Перегляд системи Брами» (Брахма-спхута-сіддханта). Дві його глави присвячені математиці, в тому числі арифметичній прогресії, доведенню різних геометричних теорем і розв'язанню квадратних рівнянь, які мають дійсні розв'язки. Решта 23 глави присвячені астрономії: у них описані фази Місяця, з'єднання планет, дані розрахунки щодо положень планет. Велика частина роботи присвячена затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет в гороскопі.

До нас дійшов лише твір Брамагупти «Перегляд системи Брахми» (628), значна частина якого присвячена арифметиці й алгебрі. У ньому викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких неозначених квадратних рівнянь виду ax²+c=y², метод розв'язування неозначених лінійних рівнянь виду ax+c=by з використанням методу послідовних дробів.

Внесок у математику

Арифметика

Уведення поняття нуля

В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання з числа самого числа. Він одним з перших встановив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні числа як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою:

• Ділення нуля на нуль є нулем;
• Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику;
• Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.

Тотожність Брамагупти

Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів саме є сумою двох квадратів, причому двояким чином.

Наприклад,

Геометрія

До доведення теореми Брамагупти

Теорема Брамагупти

Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини.

Формула Брамагупти

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює

Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:

де a, b, c — сторони трикутника, , та  — його висоти.

Задача Брамагупти

Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами. Одне з рішень використовує кола Аполлонія.

Алгебра

Розв'язування квадратних рівнянь

Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду . При цьому передбачалося, що в ньому усі коефіцієнти, крім можуть бути від'ємними. Сформульоване ученим правило за своєю суттю збігається із сучасним.

Інтерполяційна формула Брамагупти

У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях. Формула дає оцінку значення функції f при значенні її аргумента a + xh (при h > 0 та −1 ≤ x ≤ 1), коли її значення уже відоме у точках a − h, a та a + h. Вона записується так:

де Δ — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто

Внесок в астрономію

Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти Брахма-спхута-сіддханта. Халіф Аль-Мансур (712—775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канків, який викладав індійську систему астрономії на основі Брахма-спхута-сіддханта. На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти на арабську мову.

Астрономічні подання Брамагупти, викладені в Брахма-спхута-сіддханта, свідчать про високий рівень його досліджень та наукової прозорливості. Так, у сьомому розділі праці, яка називається «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць знаходиться далі від Землі, ніж Сонце.

7.1. Якби Місяць був вище Сонця, то її ближня до Сонця половина завжди була б освітлена.

7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою.

7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] збільшується у напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.

— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.

Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і може бути обчислена виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.

Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, з'єднань, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта піддав критиці уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б з землі») Брамагупта відповів:

«Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від землі».

— Брамагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив:

«Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води-текти.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Твори

«Брахма-спхута-сіддханта»

Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628), містить 25 розділів:

1. Про стан земної кулі і форму неба та землі.
2. Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
3. Про складання таблиці світил.
4. Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
5. Про те, як світила з'являються через промення Сонця і як вони ховаються за ними.
6. Про те, як показується молодий місяць, і про його два роги.
7. Про затемнення Місяця.
8. Про затемнення Сонця.
9. Про тіні Місяця.
10. Про з'єднання та протистоянні світил.
11. Про широти світил.
12. Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
13. Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
14. Про уточнення середнього положення світил.
15. Про виправлення таблиці світил.
16. Про точне дослідженні трьох проблем.
17. Про відхилення затемнень.
18. Про точне визначення появи молодого місяця і його двох рогів.
19. Про метод «Куттак».
20. Про розрахунки у розмірах віршів та метриці.
21. Про кола та інструменти.
22. Про чотири виміри часу — по Сонцю, по сходу, по Місяцю і по місячним станціям.
23. Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах з цього предмету.
24. Про докази, що не використовують математику.

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена арабською у 771 році математиком і філософом Ібрахімом аль-Фазарі. Переклад, який було виконано у вигляді таблиць — Зіджа — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндхінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважається, що переклад останньої у XI століття латинською відіграв вирішальну роль в поширенні позиційної системи числення.

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена китайськими математиками VII—IX ст. (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених. У 1817 році дві математичні глави були перекладені англійською Генрі Томасом Колбруком.

«Кхандакхадьяка»

Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії. Вона містить 8 глав. У цій роботі Брамагупта уточнив й спростив низку методик астрономічних розрахунків, користуючись багато у чому системою, запропонованою Аріабхатою. Крім цього, вона включає інтерполяційну формулу для обчислення синусів. У VIII столітті «Кхандакхадьяка» була перекладена арабською під назвою «Арканд».

Коментарі до Кхандакхадьяки були написані у 864, 966, 1040, 1180 роках, деякі з них не збереглись. Сама книга була надрукована в Калькутті у 1925 та 1941 роках. Переклад англійською зробив Сенгупта (англ. Prabodh Chandra Sengupta) у 1934 році.

Див. також

• Тотожність Брамагупти — Фібоначчі
• Інтерполяційна формула Брамагупти
• Теорема Брамагупти
• Формула Брамагупти
• Індійська астрономія

Примітки

1. Sachau, Edward C. (2013). . Routledge. с. 156. ISBN 978-1-136-38357-1. Архів оригіналу за 5 грудня 2021. Процитовано 15 грудня 2021. 
2. Pas L. v. Genealogics.org — 2003.
   d:Track:Q19847329d:Track:Q19847326
3. Pearce Ian. Brahmagupta, and the influence on Arabia. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 15 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013. 
4. Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, с. xxxv-xxxvi.
5. . Encyclopedia of World Biography. 2006. Архів оригіналу за 21 вересня 2016. Процитовано 20 серпня 2013. 
6. J J O'Connor and E F Robertson. Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 15 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013. 
7. Plofker, 2007, с. 418—419.
8. . Complete Dictionary of Scientific Biography. Архів оригіналу за 21 вересня 2016. Процитовано 20 серпня 2013. 
9. Plofker, 2007, с. 428—434.
10. Michael John Bradley The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Publisher Infobase Publishing, 2006. — P 70, 85. — ISBN 0816054231
11. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, в 2-х ч. — М.: Наука, 1986.
12. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
13. Joseph, George G. (2000). [https://books.google.co.uk/books?id=c-xT0KNJp0cC The Crest of the Peacock]. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 285-286. ISBN 0-691-00659-8. .
14. Brahmagupta, and the influence on Arabia [ 2013-07-02 у Wayback Machine.]. Retrieved 23 December 2007.
15. Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
16. Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (2 листопада 2006). . Cambridge University Press. с. 302–303. ISBN 978-0-521-02887-5. Архів оригіналу за 14 квітня 2021. Процитовано 15 грудня 2021. 
17. van Bladel, Kevin (28 листопада 2014). . У Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland. Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone. BRILL. с. 257–294. ISBN 978-90-04-28171-4. Архів оригіналу за 14 квітня 2021. Процитовано 15 грудня 2021. 
18. Takao Hayashi. Brahmagupta. Британська енциклопедія. Архів оригіналу за 16 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013. 
19. Katz V. J., Imhausen A. История человечества. — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII-XVI века. — P. 410-412. (рос.)

Джерела

• Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p. (англ.)
• Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J. — Princeton University Press, 2007. — 685 p. (англ.)
• Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. / Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31. — С. 57-70.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М. : Наука, 1977. — 187 с.
• Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М. : Физматгиз, 1961.
• Gupta, Radha Charan (2008). . У Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (Springer): 162–163. ISBN 978-1-4020-4559-2, ISBN 1-4020-4425-9. Архів оригіналу за 6 березня 2017. Процитовано 6 травня 2017. 
• O'Leary, De Lacy (2001) [first published 1948]. How Greek Science Passed to the Arabs (вид. 2nd). Goodword Books. ISBN 8187570245. 
• Plofker, Kim (2007). . The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9. Архів оригіналу за 12 вересня 2017. Процитовано 6 травня 2017. 
• Stillwell, John (2004). (вид. Second). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1. Архів оригіналу за 12 вересня 2017. Процитовано 6 травня 2017. 
• Hockey, Thomas, ред. (2007). Brahmagupta. Biographical Encyclopedia of Astronomers. Springer Science & Business Media. с. 165. ISBN 0387304002. 
• Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971). . New Delhi: Indian National Academy of Science. с. 95–97. Архів оригіналу за 8 грудня 2015. Процитовано 22 лютого 2019. 
• Bhattacharyya, R. K. (2011). . У B. S. Yadav; Man Mohan. Ancient Indian Leaps into Mathematics. Springer Science & Business Media. с. 185–192. ISBN 978-0-8176-4695-0. Архів оригіналу за 30 березня 2019. Процитовано 6 травня 2017. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. 
• Cooke, Roger (1997). . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3. Архів оригіналу за 12 вересня 2017. Процитовано 6 травня 2017. 
• Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). — М. : Изд. МГУ, 1989. — 349 с..
• Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1985. — С. 133-136.

Посилання

• Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta [ 16 липня 2011 у Wayback Machine.] edited by Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966. English introduction, Sanskrit text, Sanskrit and Hindi commentaries (PDF)
• Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara [ 30 березня 2019 у Wayback Machine.], translated by Henry Thomas Colebrooke.
• Brahmagupta Brahma-Sphuta-Siddhanta [ 8 жовтня 2011 у Wayback Machine.]. - New Delhi, 1966.