www.wikidata.uk-ua.nina.az

Поле Галуа Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів Додавання Множення 0 1 0 10 0 displaystyle 0 1 displaystyl

Поле Галуа

Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів
Додавання Множення
+ 0 1 × 0 1
0
1

Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.

Найменше поле Галуа містить лише два елементи: та , арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила . Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.

Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення , кільця многочленів , тощо.

Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа , кільце залишків  — це скінчене поле з елементів, яке позначається . Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами , які додаються і множаться «за модулем ». Будь-яке скінчене поле містить елементів і однозначно задається своєю характеристикою і степенем .

Класифікація Редагувати

Будь-яке скінчене поле має просту характеристику , тому воно містить в собі просте підполе . З аксіом поля випливає, що являє собою скінченновимірний векторний простір над розмірності .

Довільний елемент задається своїми координатами відносно певного базису, які належать до . Таким чином, поле складається з елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого і натурального . існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з елементів, яке має характеристику і позначається .

Властивості Редагувати

Циклічність мультиплікативної групи Редагувати

Ненульові елементи поля утворюють групу щодо операції множення, яка називається мультиплікативною групою поля і позначається . Ця група є циклічною, тобто вона має породжуючий елемент, а всі інші елементи отримуються піднесенням до степеня породжуючого.

Породжуючий елемент називається також примітивним елементом поля . Поле містить примітивних елементів, де  — Функція Ейлера.

Інші властивості Редагувати

  • Кожен елемент поля задовольняє рівності .
  • Поле містить в собі як підполе тоді і тільки тоді, коли є дільником .
  • Якщо  — незвідний многочлен степеня , то поле містить будь-який його корінь , причому множина усіх його коренів має вигляд . Таким чином, є полем розкладу многочлена над полем .
  • Для кожного скінченного поля та натурального числа добуток усіх нормованих незвідних над многочленів, степінь яких ділить , дорівнює . Зокрема, сума степенів таких многочленів дорівнює .
  • Число нормованих многочленів степеня , незвідних над полем визначається за формулою де  — Функція Мебіуса. Це твердження випливає з формули після застосування формули обертання Мебіуса.

Приклади Редагувати

Поле з двох елементів Редагувати

Поле складається з двох елементів, але воно може бути задано різними способами залежно від вибору елементів і визначення операцій додавання та множення на них:

  • Як множина з двох чисел «» і «», на якій операції додавання та множення визначені як додавання та множення чисел з приведенням результату по модулю :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
+ F T
F F T
T T F
× F T
F F F
T F T

Ці поля ізоморфні, тобто фактично це два різні способи задання одного й того ж поля.

Поле з трьох елементів Редагувати

Поле . Додавання та множення визначені як додавання та множення чисел по модулю . Таблиці операцій мають вигляд:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Поле з чотирьох елементів Редагувати

Поле можна задати як множину (де  — корінь многочлена , тобто ). Таблиці операцій мають вигляд:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
1 0
× 0 1
0 0 0 0 0
1 0 1
0 1
0 1

Поле з дев'яти елементів Редагувати

Щоб задати поле достатньо знайти нормований многочлен степеня , незвідний над . Такими многочленами є:

Для полем є (якщо замість взяти інший многочлен, то буде нове поле, ізоморфне старому). В наведених нижче таблиця символ означає клас еквівалентності многочлена у фактор-кільці , який задовольняє рівнянню .

Таблиця додавання в визначається, виходячи з відношення :

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
0 1 2
1 2 0
2 0 1
0 1 2
1 2 0
2 0 1

Таблиця множення в визначається з співвідношення :

× 0 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
0 2 1
0 1 2
0 1 2
0 1 2
0 2 1
0 2 1

Можна перевірити, що елемент має порядок і є примітивним. Елемент не є примітивним, так як (іншими словами, многочлен не є примітивним[en]).

Мультиплікативна група поля з 16 елементів Редагувати

Коли поле задається з допомогою неприводимого многочлена , елементи розширення задаються наборами коефіцієнтів многочлена, який отримується в залишку при діленні на , записаними в порядку зростання степенів. Мультиплікативна група породжується елементом , який записується як (0, 1, 0, 0).

Многочлен Степінь
(0, 1, 0, 0)
(0, 0, 1, 0)
(0, 0, 0, 1)
(1, 1, 0, 0)
(0, 1, 1, 0)
(0, 0, 1, 1)
(1, 1, 0, 1)
(1, 0, 1, 0)
(0, 1, 0, 1)
(1, 1, 1, 0)
(0, 1, 1, 1)
(1, 1, 1, 1)
(1, 0, 1, 1)
(1, 0, 0, 1)
(1, 0, 0, 0)

Історія вивчення Редагувати

Початки теорії скінченних полів беруть початок із XVII і XVIII століть. Над цією темою працювали такі вчені, як П'єр Ферма, Леонард Ейлер, Жозеф-Луї Лагранж та Адрієн-Марі Лежандр, яких можна вважати засновниками теорії скінченних полів простого порядку. Однак великий інтерес представляє загальна теорія скінченних полів, що бере свій початок з робіт Гауса та Галуа. До деякого часу ця теорія знаходила застосування лише в алгебрі та теорії чисел, проте згодом були знайдені нові точки дотику з алгебричною геометрією, комбінаторикою та теорією кодування.

Внесок Галуа Редагувати

Еварист Галуа

У 1830 році вісімнадцятирічний Еварист Галуа опублікував працю, яка поклала основу загальної теорії скінченних полів. У цій праці Галуа (у зв'язку з дослідженнями перестановок та алгебраїчних рівнянь) запровадив уявний корінь порівняння , де  — довільний многочлен степеня , незвідний по модулю . Після цього розглядається загальний вираз , де  — деякі цілі числа по модулю . Якщо надавати цим числам різні значення, вираз набуватиме значень. Далі Галуа показав, що ці значення утворюють поле й мультиплікативна група цього поля є циклічною. Таким чином, із цієї праці почались фундаментальні дослідження загальної теорії скінченних полів. На відміну від попередників, які досліджували лише поля , Галуа вивчав уже поля , які назвали полями Галуа на його честь.

Насправді, першу працю в цій галузі написав Гаусс приблизно 1797 року, однак за його життя дослідження не було видано. Імовірно, його проігнорував редактор творів Гаусса, тому опублікували цю працю тільки в посмертному виданні 1863 року.

Подальший розвиток Редагувати

У 1893 році математик Еліаким Мур[en] довів теорему про класифікацію скінченних полів, яка стверджує, що будь-яке скінченне поле є полем Галуа, тобто будь-яке поле з елементів ізоморфне полю класів залишків многочленів з коефіцієнтами з по модулю незвідного многочлена степеня . Того ж року першу спробу аксіоматичного підходу до теорії скінченних полів зробив Генріх Мартін Вебер[en], який намагався поєднати в своїй праці визначення, які виникли в різних розділах математики, зокрема, і визначення скінченного поля. Далі у 1905 році Джозеф Веддерберн[en] довів теорему Веддерберна про те, що будь-яке скінченне тіло — комутативне, тобто, є полем. Сучасне аксіоматичне визначення поля (зі скінченними полями як окремим випадком) належить Ернсту Стейніцу[en] і викладено в його праці 1910 року.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М. : МЗ Пресс, 2007. — С. 151.
  2. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 69-70.
  3. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 66.
  4. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 68.
  5. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 71.
  6. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 119.
  7. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 121.
  8. Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И., Владимиров С. М. Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.
  9. ↑ Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6.
  10. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М. : МЗ Пресс, 2007. — С. 152.
  11. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 10.
  12. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 5.
  13. Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
  14. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М. : ИЛ, 1963. — С. 102.
  15. Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — ISBN 978-0-8176-4684-4.
  16. G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
  17. Moore, Eliakim Hastings. Архівована копія. — Chicago Congr. Papers, 1896. — С. 208-242. з джерела 19 листопада 2015. Процитовано 2016-05-26.
  18. H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521—549
  19. Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137,‎ 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М. : Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  • Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М. : МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 прим. — ISBN 5-94073-101-5.
  • Ernst Steinitz. Algebraische Theorie der Körper. — Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1910. — Т. 137. — С. 167—309.
  • W. Diffie and M.E. Hellman. New Directions in Cryptography. — 1976.
  • Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Arifmetichni operaciyi u poli Galua z dvoh elementiv Dodavannya Mnozhennya 0 1 0 10 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 0 displaystyle 0 0 displaystyle 0 1 1 displaystyle 1 0 displaystyle 0 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 Skinchenne pole abo pole Galua na chest Evarista Galua pole yake skladayetsya zi skinchennoyi mnozhini elementiv Najmenshe pole Galua G F 2 F 2 displaystyle GF 2 mathbb F 2 mistit lishe dva elementi 0 displaystyle 0 ta 1 displaystyle 1 arifmetichni operaciyi nad yakimi povodyatsya majzhe yak zvichajno za vinyatkom pravila 1 1 0 displaystyle 1 1 0 Ce pole shiroko zastosuyetsya v diskretnij matematici komp yuternih naukah i teoriyi koduvannya Ideya zastosuvannya polya F 2 displaystyle mathbb F 2 polyagaye v tomu sho docilno rozglyadati poslidovnosti z nuliv j odinic yak elementi deyakoyi algebrayichnoyi strukturi vektornogo prostoru nad cim polem rozshirennya F 2 n displaystyle mathbb F 2 n kilcya mnogochleniv F 2 t displaystyle mathbb F 2 t tosho Algebrayichni operaciyi v cij strukturi privodyat do nizki vazhlivih konstrukcij v oznachenih galuzyah napriklad skinchenih proektivnih ploshin kodiv Rida Myulera i kodiv Goppa Zasnovani na teoriyi skinchenih poliv algoritmi perevirki na prostotu i faktorizaciyi cilih chisel vidigrayut vazhlivu rol u suchasnij prikladnij teoriyi chisel Dlya bud yakogo prostogo chisla p displaystyle p kilce zalishkiv mod p displaystyle operatorname mod p ce skinchene pole z p displaystyle p elementiv yake poznachayetsya G F p F p Z p Z displaystyle GF p mathbb F p mathbb Z p mathbb Z Elementi cogo polya mozhut buti predstavleni cilimi chislami 0 1 p 1 displaystyle 0 1 ldots p 1 yaki dodayutsya i mnozhatsya za modulem p displaystyle p Bud yake skinchene pole mistit p n displaystyle p n elementiv i odnoznachno zadayetsya svoyeyu harakteristikoyu p displaystyle p i stepenem n displaystyle n Zmist 1 Klasifikaciya 2 Vlastivosti 2 1 Ciklichnist multiplikativnoyi grupi 2 2 Inshi vlastivosti 3 Prikladi 3 1 Pole z dvoh elementiv 3 2 Pole z troh elementiv 3 3 Pole z chotiroh elementiv 3 4 Pole z dev yati elementiv 3 5 Multiplikativna grupa polya z 16 elementiv 4 Istoriya vivchennya 4 1 Vnesok Galua 4 2 Podalshij rozvitok 5 Div takozh 6 Primitki 7 DzherelaKlasifikaciya RedaguvatiBud yake skinchene pole K displaystyle mathbf K nbsp maye prostu harakteristiku p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp tomu vono mistit v sobi proste pidpole F p displaystyle mathbb F p nbsp Z aksiom polya viplivaye sho K displaystyle mathbf K nbsp yavlyaye soboyu skinchennovimirnij vektornij prostir nad F p displaystyle mathbb F p nbsp rozmirnosti n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Dovilnij element K displaystyle mathbf K nbsp zadayetsya svoyimi n displaystyle n nbsp koordinatami vidnosno pevnogo bazisu yaki nalezhat do F p displaystyle mathbb F p nbsp Takim chinom pole K displaystyle mathbf K nbsp skladayetsya z q p n displaystyle q p n nbsp elementiv Viyavlyayetsya sho i navpaki dlya danih prostogo p displaystyle p nbsp i naturalnogo n 1 displaystyle n geq 1 nbsp isnuye yedine ne vrahovuyuchi avtomorfizmiv pole Galua z q p n displaystyle q p n nbsp elementiv yake maye harakteristiku p displaystyle p nbsp i poznachayetsya G F q F q F p n displaystyle GF q mathbb F q mathbb F p n nbsp Vlastivosti RedaguvatiCiklichnist multiplikativnoyi grupi Redaguvati Nenulovi elementi polya F q displaystyle mathbb F q nbsp utvoryuyut grupu shodo operaciyi mnozhennya yaka nazivayetsya multiplikativnoyu grupoyu polya i poznachayetsya F q displaystyle mathbb F q nbsp Cya grupa ye ciklichnoyu tobto vona maye porodzhuyuchij element a vsi inshi elementi otrimuyutsya pidnesennyam do stepenya porodzhuyuchogo 1 Porodzhuyuchij element F q displaystyle mathbb F q nbsp nazivayetsya takozh primitivnim elementom polya F q displaystyle mathbb F q nbsp Pole F q displaystyle mathbb F q nbsp mistit f q 1 displaystyle varphi q 1 nbsp primitivnih elementiv de f displaystyle varphi nbsp Funkciya Ejlera 2 Inshi vlastivosti Redaguvati Kozhen element polya F q displaystyle mathbb F q nbsp zadovolnyaye rivnosti a q a displaystyle a q a nbsp 3 Pole F p n displaystyle mathbb F p n nbsp mistit v sobi yak pidpole F p k displaystyle mathbb F p k nbsp todi i tilki todi koli k displaystyle k nbsp ye dilnikom n displaystyle n nbsp 4 Yaksho f F q x displaystyle f in mathbb F q x nbsp nezvidnij mnogochlen stepenya m displaystyle m nbsp to pole F q m displaystyle mathbb F q m nbsp mistit bud yakij jogo korin a displaystyle alpha nbsp prichomu mnozhina usih jogo koreniv maye viglyad a a q a q m 1 displaystyle alpha alpha q ldots alpha q m 1 nbsp Takim chinom F q m displaystyle mathbb F q m nbsp ye polem rozkladu mnogochlena f displaystyle f nbsp nad polem F q displaystyle mathbb F q nbsp 5 Dlya kozhnogo skinchennogo polya F q displaystyle mathbb F q nbsp ta naturalnogo chisla n displaystyle n nbsp dobutok usih normovanih nezvidnih nad F q displaystyle mathbb F q nbsp mnogochleniv stepin yakih dilit n displaystyle n nbsp dorivnyuye x q n x displaystyle x q n x nbsp Zokrema suma stepeniv takih mnogochleniv dorivnyuye q n displaystyle q n nbsp 6 Chislo N q n displaystyle N q n nbsp normovanih mnogochleniv stepenya n displaystyle n nbsp nezvidnih nad polem F q displaystyle mathbb F q nbsp viznachayetsya za formuloyu N q n 1 n d n m d q n d displaystyle N q n frac 1 n sum d n mu d q frac n d nbsp de m displaystyle mu nbsp Funkciya Mebiusa Ce tverdzhennya viplivaye z formuli q n d n d N q d displaystyle q n sum d n dN q d nbsp pislya zastosuvannya formuli obertannya Mebiusa 7 Prikladi RedaguvatiPole z dvoh elementiv Redaguvati Pole F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp skladayetsya z dvoh elementiv ale vono mozhe buti zadano riznimi sposobami zalezhno vid viboru elementiv i viznachennya operacij dodavannya ta mnozhennya na nih 8 Yak mnozhina z dvoh chisel 0 displaystyle 0 nbsp i 1 displaystyle 1 nbsp na yakij operaciyi dodavannya ta mnozhennya viznacheni yak dodavannya ta mnozhennya chisel z privedennyam rezultatu po modulyu 2 displaystyle 2 nbsp 0 10 0 11 1 0 0 10 0 01 0 1Yak mnozhina z dvoh logichnih ob yektiv Hibnist F i Istina T na yakij operaciyi dodavannya ta mnozhennya viznacheno yak bulevi operaciyi viklyuchna diz yunkciya i kon yunkciya vidpovidno F TF F TT T F F TF F FT F TCi polya izomorfni tobto faktichno ce dva rizni sposobi zadannya odnogo j togo zh polya Pole z troh elementiv Redaguvati Pole F 3 0 1 2 displaystyle mathbb F 3 0 1 2 nbsp Dodavannya ta mnozhennya viznacheni yak dodavannya ta mnozhennya chisel po modulyu 3 displaystyle 3 nbsp Tablici operacij F 3 displaystyle mathbb F 3 nbsp mayut viglyad 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1Pole z chotiroh elementiv Redaguvati Pole F 4 displaystyle mathbb F 4 nbsp mozhna zadati yak mnozhinu 0 1 a a 1 displaystyle 0 1 alpha alpha 1 nbsp de a displaystyle alpha nbsp korin mnogochlena f x x 2 x 1 displaystyle f x x 2 x 1 nbsp tobto a 2 a 1 a 1 displaystyle alpha 2 alpha 1 alpha 1 nbsp Tablici operacij F 4 displaystyle mathbb F 4 nbsp mayut viglyad 9 0 1 a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 0 0 1 a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 1 1 0 a 1 displaystyle alpha 1 nbsp a displaystyle alpha nbsp a displaystyle alpha nbsp a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 0 1a 1 displaystyle alpha 1 nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp a displaystyle alpha nbsp 1 0 0 1 a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 0 0 0 0 01 0 1 a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp a displaystyle alpha nbsp 0 a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 1a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 0 a 1 displaystyle alpha 1 nbsp 1 a displaystyle alpha nbsp Pole z dev yati elementiv Redaguvati Shob zadati pole F 9 G F 3 2 displaystyle mathbb F 9 mathrm GF 3 2 nbsp dostatno znajti normovanij mnogochlen stepenya 2 displaystyle 2 nbsp nezvidnij nad F 3 displaystyle mathbb F 3 nbsp Takimi mnogochlenami ye x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp x 2 x 2 displaystyle x 2 x 2 nbsp x 2 2 x 2 displaystyle x 2 2x 2 nbsp Dlya x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp polem ye F 9 Z 3 x x 2 1 displaystyle mathbb F 9 mathbb Z 3 x x 2 1 nbsp yaksho zamist x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp vzyati inshij mnogochlen to bude nove pole izomorfne staromu V navedenih nizhche tablicya simvol i displaystyle i nbsp oznachaye klas ekvivalentnosti mnogochlena x displaystyle x nbsp u faktor kilci Z 3 x x 2 1 displaystyle mathbb Z 3 x x 2 1 nbsp yakij zadovolnyaye rivnyannyu i 2 1 0 displaystyle i 2 1 0 nbsp Tablicya dodavannya v F 9 displaystyle mathbb F 9 nbsp viznachayetsya vihodyachi z vidnoshennya 1 1 1 0 displaystyle 1 1 1 0 nbsp 0 1 2 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 0 0 1 2 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 1 1 2 0 i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 2 0 1 i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i displaystyle i nbsp i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 0 1 2i 1 displaystyle i 1 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 1 2 0i 2 displaystyle i 2 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 0 12 i displaystyle 2i nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 0 1 2 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 1 2 0 i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 0 1 i 2 displaystyle i 2 nbsp i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp Tablicya mnozhennya v F 9 displaystyle mathbb F 9 nbsp viznachayetsya z spivvidnoshennya i 2 1 displaystyle i 2 1 nbsp 0 1 2 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 0 2 1 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i displaystyle i nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i displaystyle i nbsp 0 i displaystyle i nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 1 i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 0 i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 1 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i displaystyle i nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 0 i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 1 i displaystyle i nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i displaystyle 2i nbsp 22 i displaystyle 2i nbsp 0 2 i displaystyle 2i nbsp i displaystyle i nbsp 1 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp 0 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 2 i displaystyle 2i nbsp 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp i displaystyle i nbsp 12 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp 0 2 i 2 displaystyle 2i 2 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp 2 i 1 displaystyle 2i 1 nbsp i displaystyle i nbsp 2 i 2 displaystyle i 2 nbsp 1 2 i displaystyle 2i nbsp Mozhna pereviriti sho element i 1 displaystyle i 1 nbsp maye poryadok 8 displaystyle 8 nbsp i ye primitivnim Element i displaystyle i nbsp ne ye primitivnim tak yak i 4 1 displaystyle i 4 1 nbsp inshimi slovami mnogochlen x 2 1 F 3 x displaystyle x 2 1 in mathbb F 3 x nbsp ne ye primitivnim en 9 Multiplikativna grupa polya z 16 elementiv Redaguvati Koli pole F 16 G F 2 4 displaystyle mathbb F 16 mathrm GF 2 4 nbsp zadayetsya z dopomogoyu neprivodimogo mnogochlena x 4 x 1 displaystyle x 4 x 1 nbsp elementi rozshirennya zadayutsya naborami koeficiyentiv mnogochlena yakij otrimuyetsya v zalishku pri dilenni na x 4 x 1 displaystyle x 4 x 1 nbsp zapisanimi v poryadku zrostannya stepeniv Multiplikativna grupa porodzhuyetsya elementom a x displaystyle alpha x nbsp yakij zapisuyetsya yak 0 1 0 0 10 Mnogochlen Stepin a displaystyle alpha nbsp 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 nbsp a displaystyle alpha nbsp 0 1 0 0 a 2 displaystyle alpha 2 nbsp 0 0 1 0 a 3 displaystyle alpha 3 nbsp 0 0 0 1 1 a displaystyle 1 alpha nbsp a 4 displaystyle alpha 4 nbsp 1 1 0 0 a a 2 displaystyle alpha alpha 2 nbsp a 5 displaystyle alpha 5 nbsp 0 1 1 0 a 2 a 3 displaystyle alpha 2 alpha 3 nbsp a 6 displaystyle alpha 6 nbsp 0 0 1 1 a 3 a 1 a 3 a 4 displaystyle alpha 3 alpha 1 alpha 3 alpha 4 nbsp a 7 displaystyle alpha 7 nbsp 1 1 0 1 1 a 2 a 1 a 2 a displaystyle 1 alpha 2 alpha 1 alpha 2 alpha nbsp a 8 displaystyle alpha 8 nbsp 1 0 1 0 a a 3 displaystyle alpha alpha 3 nbsp a 9 displaystyle alpha 9 nbsp 0 1 0 1 a 2 1 a a 2 a 4 displaystyle alpha 2 1 alpha alpha 2 alpha 4 nbsp a 10 displaystyle alpha 10 nbsp 1 1 1 0 a a 2 a 3 displaystyle alpha alpha 2 alpha 3 nbsp a 11 displaystyle alpha 11 nbsp 0 1 1 1 1 a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 displaystyle 1 alpha alpha 2 alpha 3 alpha 2 alpha 3 alpha 4 nbsp a 12 displaystyle alpha 12 nbsp 1 1 1 1 1 a 2 a 3 a a 2 a 3 a 4 displaystyle 1 alpha 2 alpha 3 alpha alpha 2 alpha 3 alpha 4 nbsp a 13 displaystyle alpha 13 nbsp 1 0 1 1 1 a 3 a a 3 a 4 displaystyle 1 alpha 3 alpha alpha 3 alpha 4 nbsp a 14 displaystyle alpha 14 nbsp 1 0 0 1 1 a a 4 displaystyle 1 alpha alpha 4 nbsp a 15 displaystyle alpha 15 nbsp 1 0 0 0 Istoriya vivchennya RedaguvatiPochatki teoriyi skinchennih poliv berut pochatok iz XVII i XVIII stolit Nad ciyeyu temoyu pracyuvali taki vcheni yak P yer Ferma Leonard Ejler Zhozef Luyi Lagranzh ta Adriyen Mari Lezhandr yakih mozhna vvazhati zasnovnikami teoriyi skinchennih poliv prostogo poryadku Odnak velikij interes predstavlyaye zagalna teoriya skinchennih poliv sho bere svij pochatok z robit Gausa ta Galua 11 Do deyakogo chasu cya teoriya znahodila zastosuvannya lishe v algebri ta teoriyi chisel prote zgodom buli znajdeni novi tochki dotiku z algebrichnoyu geometriyeyu kombinatorikoyu ta teoriyeyu koduvannya 12 Vnesok Galua Redaguvati nbsp Evarist GaluaU 1830 roci visimnadcyatirichnij Evarist Galua opublikuvav pracyu 13 yaka poklala osnovu zagalnoyi teoriyi skinchennih poliv U cij praci Galua u zv yazku z doslidzhennyami perestanovok ta algebrayichnih rivnyan 14 zaprovadiv uyavnij korin porivnyannya F x 0 mod p displaystyle F x equiv 0 pmod p nbsp de F x displaystyle F x nbsp dovilnij mnogochlen stepenya n displaystyle nu nbsp nezvidnij po modulyu p displaystyle p nbsp Pislya cogo rozglyadayetsya zagalnij viraz A a 0 a 1 i a 2 i 2 a n 1 i n 1 displaystyle A a 0 a 1 i a 2 i 2 a nu 1 i nu 1 nbsp de a 0 a 1 a n 1 displaystyle a 0 a 1 a nu 1 nbsp deyaki cili chisla po modulyu p displaystyle p nbsp Yaksho nadavati cim chislam rizni znachennya viraz A displaystyle A nbsp nabuvatime p n displaystyle p nu nbsp znachen Dali Galua pokazav sho ci znachennya utvoryuyut pole j multiplikativna grupa cogo polya ye ciklichnoyu Takim chinom iz ciyeyi praci pochalis fundamentalni doslidzhennya zagalnoyi teoriyi skinchennih poliv Na vidminu vid poperednikiv yaki doslidzhuvali lishe polya F p displaystyle mathbb F p nbsp Galua vivchav uzhe polya F p n displaystyle mathbb F p n nbsp yaki nazvali polyami Galua na jogo chest 15 Naspravdi pershu pracyu v cij galuzi napisav Gauss priblizno 1797 roku odnak za jogo zhittya doslidzhennya ne bulo vidano Imovirno jogo proignoruvav redaktor tvoriv Gaussa tomu opublikuvali cyu pracyu tilki v posmertnomu vidanni 1863 roku 16 Podalshij rozvitok Redaguvati U 1893 roci matematik Eliakim Mur en doviv teoremu pro klasifikaciyu skinchennih poliv yaka stverdzhuye sho bud yake skinchenne pole ye polem Galua tobto bud yake pole z p n displaystyle p n nbsp elementiv izomorfne polyu klasiv zalishkiv mnogochleniv z koeficiyentami z F p displaystyle mathbb F p nbsp po modulyu nezvidnogo mnogochlena stepenya n displaystyle n nbsp 17 Togo zh roku pershu sprobu aksiomatichnogo pidhodu do teoriyi skinchennih poliv zrobiv Genrih Martin Veber en yakij namagavsya poyednati v svoyij praci viznachennya yaki vinikli v riznih rozdilah matematiki zokrema i viznachennya skinchennogo polya 18 Dali u 1905 roci Dzhozef Vedderbern en doviv teoremu Vedderberna pro te sho bud yake skinchenne tilo komutativne tobto ye polem Suchasne aksiomatichne viznachennya polya zi skinchennimi polyami yak okremim vipadkom nalezhit Ernstu Stejnicu en i vikladeno v jogo praci 1910 roku 19 Div takozh RedaguvatiPobudova PeliPrimitki Redaguvati Yu I Zhuravlev Yu A Flerov M N Vyalyj Diskretnyj analiz Osnovy vysshej algebry M MZ Press 2007 S 151 Lidl Niderrajter 1998 s 69 70 Lidl Niderrajter 1998 s 66 Lidl Niderrajter 1998 s 68 Lidl Niderrajter 1998 s 71 Lidl Niderrajter 1998 s 119 Lidl Niderrajter 1998 s 121 Gabidulin E M Ksheveckij A S Kolybelnikov A I Vladimirov S M Zashita informacii Uchebnoe posobie Versiya ot 22 noyabrya 2015 goda S 249 a b Mullen Gary L Panario Daniel Handbook of Finite Fields CRC Press 2013 ISBN 978 1 4398 7378 6 Yu I Zhuravlev Yu A Flerov M N Vyalyj Diskretnyj analiz Osnovy vysshej algebry M MZ Press 2007 S 152 Lidl Niderrajter 1998 s 10 Lidl Niderrajter 1998 s 5 Evariste Galois 1830 Sur la theorie des nombres Bulletin des sciences mathematiques de M Ferussac 13 pp 428 435 1830 Burbaki N Ocherki po istorii matematiki M IL 1963 S 102 Israel Kleiner A History of Abstract Algebra Birkhauser 2007 S 70 ISBN 978 0 8176 4684 4 G Frei The Unpublished Section Eight On the Way to Function Fields over a Finite Field Goldstein Schappacher Schwermer 2007 S 159 198 Moore Eliakim Hastings Arhivovana kopiya Chicago Congr Papers 1896 S 208 242 Arhivovano z dzherela 19 listopada 2015 Procitovano 2016 05 26 H Weber Die allgemeinen Grundlagen der Galois schen Gleichungstheorie Mathematische Annalen vol 43 1893 p 521 549 Ernst Steinitz Algebraische Theorie der Korper Journal fur die reine und angewandte Mathematik vol 137 1910 p 167 309 ISSN 0075 4102 Dzherela RedaguvatiVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Lidl R Niderrajter G Konechnye polya V 2 h tt M Mir 1998 430 s ISBN 5 03 000065 8 Zhuravlev Yu I Flerov Yu A Vyalyj M N Diskretnyj analiz Osnovy vysshej algebry 2 e izd M MZ Press 2007 224 s 1000 prim ISBN 5 94073 101 5 Ernst Steinitz Algebraische Theorie der Korper Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1910 T 137 S 167 309 W Diffie and M E Hellman New Directions in Cryptography 1976 Israel Kleiner A History of Abstract Algebra Birkhauser 2007 ISBN 978 0 8176 4684 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pole Galua amp oldid 40564768