Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді, коли воно раціональне.
Розклад в ланцюговий дріб
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом , де
де позначає цілу частину числа .
Для раціонального числа цей розклад завершиться після одержання нульового для деякого n. У цьому випадку представляється скінченним ланцюговим дробом .
Для ірраціонального всі величини будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 | ||||
---|---|---|---|---|
STOP | ||||
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4] | ||||
Приклади розкладу
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
Якщо n ціле число більше одиниці,
Якщо також n парне:
при n = 1:
якщо n додатне число; також
якщо n > 1,
Властивості
- Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
- Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
- Наприклад:
- Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
- Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)
n-м наближеним дробом для ланцюгового дробу , називається скінченний ланцюговий дріб , значення якого можна подати .
- Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні — спадну. Обидві послідовності збігаються до x.
- Виконуються наступні рекурентні співвідношення:
Звідси випливає наступне твердження:
- наближений дріб є найкращим наближенням для серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує ;
Застосування
- при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.
- Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана числа пі.
- Алгоритми факторизації SQUFOF и .
- Характеристика ортогональних многочленів
- Характеристика стабільних многочленів
- використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.
Див. також
Джерела
- Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN . (укр.)
- В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)
- А. А. Бухштаб. Теория чисел. — Просвещение, 1966. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
- С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — 2009. — 138 с.
- И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Просвещение, 1965. — С. 253—254.
- Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М. : Наука, 1965.
- С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.
- Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants [ 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 [ 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Golden Age. Pages 97-140.
- G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421
- J. Widž. From the History of Continued Fractions [ 22 червня 2019 у Wayback Machine.] // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lancyugo vij drib abo neperervnij drib ce matematichnij viraz vidu a 0 a 1 a 2 a 3 a 0 1 a 1 1 a 2 1 a 3 displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 cdots a 0 cfrac 1 a 1 cfrac 1 a 2 cfrac 1 a 3 ldots de a0 ye cile chislo a vsi inshi an ye naturalnimi chislami Uzagalnenimi lancyugovimi drobami nazivayut virazi vidu a 0 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 displaystyle a 0 cfrac b 1 a 1 cfrac b 2 a 2 frac b 3 a 3 dots Bud yake dijsne chislo mozhe buti predstavlene lancyugovim drobom Chislo predstavlyayetsya skinchennim lancyugovim drobom todi j lishe todi koli vono racionalne Rozklad v lancyugovij dribBud yake dijsne chislo x displaystyle x mozhe buti predstavlene lancyugovim drobom a 0 a 1 a 2 a 3 displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 cdots de a 0 x x 0 x a 0 displaystyle a 0 lfloor x rfloor x 0 x a 0 a 1 1 x 0 x 1 1 x 0 a 1 displaystyle a 1 left lfloor frac 1 x 0 right rfloor x 1 frac 1 x 0 a 1 displaystyle dots a n 1 x n 1 x n 1 x n 1 a n displaystyle a n left lfloor frac 1 x n 1 right rfloor x n frac 1 x n 1 a n displaystyle dots de x displaystyle lfloor x rfloor poznachaye cilu chastinu chisla x displaystyle x Dlya racionalnogo chisla x displaystyle x cej rozklad zavershitsya pislya oderzhannya nulovogo x n displaystyle x n dlya deyakogo n U comu vipadku x displaystyle x predstavlyayetsya skinchennim lancyugovim drobom x a 0 a 1 a n displaystyle x a 0 a 1 cdots a n Dlya irracionalnogo x displaystyle x vsi velichini x n displaystyle x n budut nenulovimi i proces rozkladu mozhna prodovzhuvati neskinchenno Priklad obchislennya lancyugovogo drobu dlya chisla 3 245 podano v tablici Obchislennya lancyugovogo drobu dlya chisla 3 245 3 displaystyle 3 3 245 3 49 200 3 displaystyle 3 245 left 3 tfrac 49 200 right 3 0 245 49 200 displaystyle 0 245 left tfrac 49 200 right 1 0 245 200 49 displaystyle 1 0 245 left tfrac 200 49 right 4 082 4 4 49 displaystyle 4 082 left 4 tfrac 4 49 right 4 displaystyle 4 4 082 4 4 49 4 displaystyle 4 082 left 4 tfrac 4 49 right 4 0 082 4 49 displaystyle 0 082 left tfrac 4 49 right 1 0 082 49 4 displaystyle 1 0 082 left tfrac 49 4 right 12 250 12 1 4 displaystyle 12 250 left 12 tfrac 1 4 right 12 displaystyle 12 12 250 12 1 4 12 displaystyle 12 250 left 12 tfrac 1 4 right 12 0 250 1 4 displaystyle 0 250 left tfrac 1 4 right 1 0 250 4 1 displaystyle 1 0 250 left tfrac 4 1 right 4 000 displaystyle 4 000 4 displaystyle 4 4 000 4 displaystyle 4 000 4 0 000 displaystyle 0 000 STOP lancyugovij drib dlya chisla 3 245 rivnij 3 4 12 4 3 245 3 1 4 1 12 1 4 displaystyle 3 245 3 cfrac 1 4 cfrac 1 12 cfrac 1 4 Prikladi rozkladup 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3 1 14 2 1 1 2 2 2 2 1 84 displaystyle pi 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3 1 14 2 1 1 2 2 2 2 1 84 cdots yaksho prote vikoristovuvati uzagalneni lancyugovi drobi to otrimayemo pevni zakonomirnosti p 3 1 2 6 3 2 6 5 2 6 7 2 6 9 2 6 11 2 6 13 2 6 15 2 6 4 1 1 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 9 5 2 11 6 2 13 7 2 15 displaystyle pi 3 cfrac 1 2 6 cfrac 3 2 6 cfrac 5 2 6 cfrac 7 2 6 cfrac 9 2 6 cfrac 11 2 6 cfrac 13 2 6 cfrac 15 2 6 ddots cfrac 4 1 cfrac 1 2 3 cfrac 2 2 5 cfrac 3 2 7 cfrac 4 2 9 cfrac 5 2 11 cfrac 6 2 13 cfrac 7 2 15 ddots e exp 1 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 10 1 1 12 1 1 displaystyle e exp 1 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 10 1 1 12 1 1 dots Yaksho n cile chislo bilshe odinici exp 1 n 1 n 1 1 1 3 n 1 1 1 5 n 1 1 1 7 n 1 1 1 displaystyle exp 1 n 1 n 1 1 1 3n 1 1 1 5n 1 1 1 7n 1 1 1 dots Yaksho takozh n parne exp 2 n 1 n 1 2 6 n 5 n 1 2 1 1 3 n k n 1 2 6 n 2 k 1 3 n k 5 n 1 2 1 1 displaystyle exp 2 n 1 n 1 2 6n 5n 1 2 1 1 dots 3nk n 1 2 6n 2k 1 3nk 5n 1 2 1 1 dots pri n 1 e 2 exp 2 7 2 1 1 3 18 5 1 1 6 30 8 1 1 9 42 11 1 1 3 k 12 k 6 3 k 2 1 1 displaystyle e 2 exp 2 7 2 1 1 3 18 5 1 1 6 30 8 1 1 9 42 11 1 1 dots 3k 12k 6 3k 2 1 1 dots tanh 1 n 0 n 3 n 5 n 7 n 9 n 11 n 13 n 15 n 17 n 19 n displaystyle tanh 1 n 0 n 3n 5n 7n 9n 11n 13n 15n 17n 19n dots yaksho n dodatne chislo takozh tan 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 displaystyle tan 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 dots yaksho n gt 1 tan 1 n 0 n 1 1 3 n 2 1 5 n 2 1 7 n 2 1 displaystyle tan 1 n 0 n 1 1 3n 2 1 5n 2 1 7n 2 1 dots VlastivostiBud yake racionalne chislo mozhe buti predstavlene v vidi skinchennogo lancyugovogo drobu dvoma sposobami bilsh dovgij z yakih zavzhdi zakinchuyetsya odiniceyu a korotshij vidriznyayetsya vid nogo tim sho ostannoyi odinici nemaye a element pered odiniceyu na 1 bilshij Napriklad 9 4 2 3 1 2 4 displaystyle 9 4 2 3 1 2 4 dd Teorema Lagranzha Chislo mozhna podati u viglyadi neskinchennogo periodichnogo linijnogo drobu todi j lishe todi koli vono ye irracionalnim rozv yazkom kvadratnogo rivnyannya z cilimi koeficiyentami Napriklad 2 1 2 2 2 2 displaystyle sqrt 2 1 2 2 2 2 dots zolotij podil ϕ 1 1 1 1 displaystyle phi 1 1 1 1 dots dd Dlya inshih ne kvadratichnih algebrayichnih chisel harakter rozkladu ne vidomij Dlya majzhe vsih dijsnih chisel x serednye geometrichne koeficiyentiv rozkladu chisla v lancyugovij drib rivnij konstanti Hinchina K 2 6854520010 n m nablizhenim drobom dlya lancyugovogo drobu x a 0 a 1 a 2 a 3 displaystyle x a 0 a 1 a 2 a 3 cdots nazivayetsya skinchennij lancyugovij drib a 0 a 1 a n displaystyle a 0 a 1 cdots a n znachennya yakogo mozhna podati p n q n displaystyle frac p n q n Parni nablizheni drobi utvoryuyut zrostayuchu poslidovnist a neparni spadnu Obidvi poslidovnosti zbigayutsya do x Vikonuyutsya nastupni rekurentni spivvidnoshennya p 1 1 p 0 a 0 p n a n p n 1 p n 2 displaystyle p 1 1 quad p 0 a 0 quad p n a n p n 1 p n 2 q 1 0 q 0 1 q n a n q n 1 q n 2 displaystyle q 1 0 quad q 0 1 quad q n a n q n 1 q n 2 p n q n 1 q n p n 1 1 n 1 displaystyle p n q n 1 q n p n 1 1 n 1 x p n q n lt 1 q n 2 displaystyle left x frac p n q n right lt frac 1 q n 2 Zvidsi viplivaye nastupne tverdzhennya nablizhenij drib p n q n displaystyle frac p n q n ye najkrashim nablizhennyam dlya x displaystyle x sered vsih drobiv znamennik yakih ne perevishuye q n displaystyle q n Zastosuvannyapri rozrobci sonyachnogo kalendarya neobhidno znajti racionalne nablizhennya dlya chisla 365 2421988 Za dopomogoyu lancyugovih drobiv oderzhuyetsya poslidovnist 1 4 7 29 8 33 31 128 132 545 displaystyle frac 1 4 frac 7 29 frac 8 33 frac 31 128 frac 132 545 cdots Pershij z cih drobiv ye osnovoyu yulianskogo kalendarya Dovedennya irracionalnosti chisel Napriklad za dopomogoyu lancyugovih drobiv dovedena irracionalnist dzeta funkciyi Rimana z 3 displaystyle zeta 3 chisla pi Algoritmi faktorizaciyi SQUFOF i Harakteristika ortogonalnih mnogochleniv Harakteristika stabilnih mnogochleniv vikoristovuye lancyugovi drobi dlya obchislennya vlasnih znachen velikih rozridzhenih matric Div takozh Gipoteza ZarembiDiv takozhObmezheni nepovni chastkiDzherelaDrozd Yu A 1997 Teoriya algebrichnih chisel PDF Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 82 ISBN 966 594 019 8 ukr V I Arnold Cepnye drobi M MCNMO 2000 T 14 40 s Biblioteka Matematicheskoe prosveshenie A A Buhshtab Teoriya chisel Prosveshenie 1966 384 s I M Vinogradov Osnovy teorii chisel Gos izd tehniko teoreticheskoj literatury 1952 180 s S N Gladkovskij Analiz uslovno periodicheskih cepnyh drobej ch 1 2009 138 s I Ya Depman Istoriya arifmetiki Posobie dlya uchitelej Prosveshenie 1965 S 253 254 G Devenport Vysshaya Arifmetika M Nauka 1965 S V Sizyj Lekcii po teorii chisel Ekaterinburg Uralskij gosudarstvennyj universitet im A M Gorkogo 1999 A Ya Hinchin Cepnye drobi M GIFML 1960 Claude Brezinski History of continued fractions and Pade approximants 22 chervnya 2019 u Wayback Machine Berlin Springer Verlag 1991 VIII 551 pages Chapter 4 22 chervnya 2019 u Wayback Machine Golden Age Pages 97 140 G Blanch Numerical Evaluation of Continued Fractions SIAM Review Vol 6 No 4 Oct 1964 pp 383 421 J Widz From the History of Continued Fractions 22 chervnya 2019 u Wayback Machine WDS 09 Proceedings of Contributed Papers Part I 176 181 2009