Проблема Воринга — запропонована у 1770 році Едвардом Ворингом проблема теорії чисел, що запитує чи для кожного натурального числа k існує пов'язане додатне ціле число s таке, що кожне натуральне число є сумою не більше, ніж s k-тих степенів натуральних чисел (наприклад, кожне число є сумою не більше 4 квадратів, або 9 кубів, або 19 четвертих степенів і т.д.). Ствердна відповідь, відома як теорема Гільберта-Воринга, була доведена Гільбертом в 1909 році. Проблема Воринга має свою власну MSC-класифікацію, 11P05, "Проблема Воринга та варіанти".
Число g(k) ред.
Для кожного k, позначимо через g(k) мінімальне число k-тих степенів, необхідних для подання всіх цілих чисел. Очевидно, що g(1) = 1. Прості міркування показують, що 7 вимагає 4 квадрати, 23 вимагає 9 кубів, і 79 вимагає 19 четвертих степенів; ці приклади показують, що g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, а g(4) ≥ 19. Воринга припустив, що ці значення були дійсно найкращі з можливих.
У 1770 році Лагранж довів теорему про чотири квадрати згідно з якою, кожне натуральне число є сумою не більше чотирьох квадратів, а, оскільки, трьох квадратів не вистачає, ця теорема встановила, що g(2) = 4. Таку гіпотезу висловлював ще в 1621 році Клодом Баше (Claude Gaspard Bachet de Méziriac); Ферма стверджував, що знає доведення, але не опублікував його.
Протягом багатьох років, використовують все більш витончені і складні методи доведення, були встановлені різні оцінки. Наприклад, Ліувілль показав, що g(4) не перевищує 53. Гарді та Літлвуд показали, що досить великі числа є сумою не більше 19 четвертих степенів.
Те, що g(3) = 9 було встановлено між 1909 та 1912 роками Віферихом та Кемпнером (A. J. Kempner), у 1986 році Баласубраманян (Ramachandran Balasubramanian), Дресс (F. Dress) та J.-M. Deshouillers показали, що g(4) = 19
Ейлер припустив, що, позначаючи через [x] і {x} цілу та дробової частини x відповідно, g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2.. Пізніші роботи Діксона (Leonard Eugene Dickson), Нівена та інших уточнили цю ідею.
Число G(k) ред.
| Границі |
|---|
| 4 ≤ G(2) ≤ 4 |
| 4 ≤ G(3) ≤ 7 |
| 16 ≤ G(4) ≤ 16 |
| 6 ≤ G(5) ≤ 17 |
| 9 ≤ G(6) ≤ 21 |
| 8 ≤ G(7) ≤ 33 |
| 32 ≤ G(8) ≤ 42 |
| 13 ≤ G(9) ≤ 50 |
| 12 ≤ G(10) ≤ 59 |
| 12 ≤ G(11) ≤ 67 |
| 16 ≤ G(12) ≤ 76 |
| 14 ≤ G(13) ≤ 84 |
| 15 ≤ G(14) ≤ 92 |
| 16 ≤ G(15) ≤ 100 |
| 64 ≤ G(16) ≤ 109 |
| 18 ≤ G(17) ≤ 117 |
| 27 ≤ G(18) ≤ 125 |
| 20 ≤ G(19) ≤ 134 |
| 25 ≤ G(20) ≤ 142 |
Починаючи з робіт Гарді та Літлвуда, більша увага ніж g(k) приділяється числу G(k), яке визначається як найменше число s таке, що кожне достатньо велике ціле (тобто кожне ціле число, більше деякої константи) може бути представлено у вигляді суми не більше ніж s k-тих степенів додатних цілих. Очевидно, що G(k) ≤ g(k). Оскільки квадрати цілих чисел конгруентні 0,1 або 4 за модулем 8, то жодне число x ≡ 7 (mod 8) не може бути представлене сумою менш ніж чотирьох квадратів, тобто, G(2)=4.
У 1939 році Девенпорт (Harold Davenport) показав, що G(4)=16. Для інших k значення G(k) є невідоме, але встановлені нижня та верхні границі:
Див. також ред.
Примітки ред.
- D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Mathematische Annalen, 67, стор. 281-300 (1909)
- Dickson, Leonard Eugene (1920). Chapter VIII. History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington.
- Wieferich, Arthur (1909). Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. Mathematische Annalen 66: 95–101. doi:10.1007/BF01450913.[недоступне посилання з квітня 2019]
- Kempner, Aubrey (1912). Bemerkungen zum Waringschen Problem. Mathematische Annalen 72: 387–399. doi:10.1007/BF01456723.[недоступне посилання з квітня 2019]
- Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. (French. English summary) [Waring's problem for biquadrates. I. Sketch of the solution] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
- Припущення Ейлера - Wolfram MathWorld
- Niven, Ivan M. (1944). An unsolved case of the Waring problem. American Journal of Mathematics 66 (1): 137–143. doi:10.2307/2371901.