Квантовий комп'ютер

Квáнтовий комп'ю́тер — фізичний обчислювальний пристрій, функціонування якого ґрунтується на принципах квантової механіки, зокрема, принципі суперпозиції та явищі квантової заплутаності.

3 кубіти квантового регістра проти 3 бітів звичайного.

Загальний опис

Квантовий комп'ютер відрізняється від звичайного транзисторного комп'ютера зокрема тим, що класичний комп'ютер оперує даними, закодованими у двійкових розрядах (бітах), кожен з яких завжди перебуває в одному з двох станів (0 або 1), коли квантовий комп'ютер використовує квантові біти (кубіти), які можуть знаходитися у суперпозиції станів. Інформатико-теоретичною моделлю такого обчислювального пристрою є квантова машина Тюрінга, або універсальний квантовий комп'ютер, яка була розроблена Девідом Дойчем у 1985 році. Квантовий комп'ютер має низку спільних ознак із недетермінованим та ймовірнісним комп'ютерами, але ці пристрої не є тотожними. Вважається, що вперше ідею використання принципів квантової механіки для виконання обчислень висловили Манін Юрій Іванович у книзі «Обчислювальне і необчислювальне» у 1980 році та Річард Фейнман у лекції на Першій конференції з фізики обчислень у МТІ в 1981 році, хоча пропозиції використання напівцілих спінів як найпростіших обчислювальних елементів лунали і раніше.

Теоретично квантовий комп'ютер здатний розв'язувати певні задачі набагато швидше, ніж звичайні комп'ютери, наприклад, задачу факторизації цілих чисел або ефективного моделювання квантової системи багатьох тіл. Існує низка квантових алгоритмів^[en], наприклад, алгоритм Шора, алгоритм Саймона^[en] та інші, виконання яких займає набагато менше часу, ніж виконання будь-якого ймовірнісного класичного алгоритму. Однак, за наявності великого об'єму обчислювальних ресурсів класичний комп'ютер здатен моделювати будь-який квантовий алгоритм, якщо він не порушує тезу Черча — Тюрінга.

Останнім часом дослідження в галузі квантових обчислень є одним з пріоритетів фінансування науки у світі. У грудні 2018 року президент Трамп підписав закон про Національну квантову ініціативу (National Quantum Initiative Act), який дозволяє протягом п'яти років інвестувати 1,2 мільярда доларів на дослідження в галузі квантових обчислень. Китай вже спрямував на зазначені дослідження мільярди доларів. Євросоюз має наміри виділити 1 млрд. доларів протягом наступних десяти років. Індія також передбачає фінансувати дослідження у цій сфері.

Теоретичні засади

Кубіти

Представлення кубіта за допомоги сфери Блоха.

У класичному комп'ютері для оперування інформацією використовуються елементарні двійкові розряди — біти. Фізична реалізація біта ґрунтується на тому принципі, що потенціал напруги може бути або вище певного рівня (це відповідатиме значенню біта 1) або нижче (0).

У квантовому комп'ютері інформація також, як правило, представляється за допомоги двійкових елементів. Як такі елементи використовуються фізичні системи з двома можливими станами, що описуються в квантовій механіці за допомогою двовимірного комплексного простору. Для опису подібної системи використовують позначення Дірака, де першому станові відповідає квантовомеханічний вектор стану , а другому — інший вектор . Роль подібної квантової системи із двома станами може грати зокрема спін електрона, який має дві можливі конфігурації — «спін вгору» і «спін вниз». В подібному ключі можуть бути використані енергетичні рівні атомів або молекул, або напрямок струму в кільцевому надпровіднику.

Такий елемент, що використовується для представлення інформації в квантовому комп'ютері, дістав окрему назву квантовий біт (англ. quantum bit, qubit), або скорочено кубіт, що підкреслює його квантовомеханічну природу. Важливою властивістю кубіта є можливість накладання декількох станів, або їх суперпозиція. Це означає, що кубіт необов'язково знаходиться саме у стані або , як це має місце для бітів у класичному комп'ютері. Стан кубіта може бути представлений довільним вектором у вищезазначеному двовимірному комплексному просторі:

за тим самим принципом, як в оптиці описуються дві когерентні хвилі, що накладаються одна на одну. Таким чином, існує принципова різниця між кубітом та класичним ймовірнісним бітом (тобто, таким класичним бітом, що набуває випадково одне зі значень 0 або 1). В оптиці це еквівалентно різниці між некогерентними та когерентними хвилями: у першому випадку додаються інтенсивності хвиль, у другому — амплітуди (як це відбувається, наприклад, у голографії). a і b є довільними комплексними числами, на які без обмеження загальності накладаються умови нормування:

З математичної точки зору, числа та дорівнюють ймовірностям отримання відповідно значення 0 або 1 при вимірюванні кубіта, що знаходиться у стані . Однак, як вже було зазначено, не можна інтерпретувати кубіт як такий, що завжди знаходиться із певною ймовірністю виключно у стані або , і ні в якому іншому: така поведінка відповідає класичному ймовірнісному бітові і може бути змодельована на класичному комп'ютері, що випадково генерує результат 0 або 1 (тобто, використовуючи генератор випадкових чисел). З точки зору теоретичної фізики, подібний класичний ймовірнісний біт підкоряється законам статистичної фізики, тому, на відміну від квантовомеханічного випадку, його стан являє собою некогерентну суміш двох відповідних станів.

У свою чергу, стан кубіта являє собою когерентну суперпозицію двох відповідних станів:

де позначає дійсну частину комплексного числа,  — комплексно спряжене до a число,  — скалярний добуток векторів станів 0 і 1.

Квантовий регістр і квантова заплутаність

Як і у випадку класичних бітів, N кубітів можна об'єднати у квантовий регістр, причому стан такого квантового регістра описуватиметься за допомогою -вимірного гільбертова простору. Базисом цього простору природно обираються всі можливі комбінації тензорних добутків N однокубітових базисних векторів і . Наприклад, базисом для регістра, що складається з двох кубітів, буде набір з чотирьох векторів , , і . Довільний стан квантового регістра матиме вигляд суперпозиції всіх його базисних векторів:

де  — i-ий базисний вектор j-го кубіта, а  — комлексні числа, що відовідають компонентам уздовж відповідної комбінації однокубітових базисних векторів. Взагалі кажучи, у такому розкладі дозволені також суми та різниці станів декількох кубітів, на відміну від класичного регістра, де окремі біти з'являється лише у вигляді конкретного базисного стану, тобто, увесь класичний регістр являє собою просто набір з нулів та одиниць.

Важливою властивістю квантового регістра є той факт, що його стан не завжди є простою комбінацією незалежних один від одного станів окремих кубітів: зокрема, можна розглянути наступний стан двокубітового регістра (один зі станів Белла):

який не можна звести до простого тензорного добутку станів першого та другого кубіта. Те ж саме можна сказати й про інший подібний стан двох кубітів:

Про такі стани кажуть, що вони є сплутаними, а факт наявності таких станів носить назву квантової заплутаності (англ. quantum entanglement, нім. Quantenverschränkung).

Існування явища квантової заплутаності дає право говорити про те, що квантовий комп'ютер є набагато потужнішим за класичний, оскільки він здатен розв'язувати певні задачі набагато швидше, ніж це робить класичний комп'ютер. Наприклад, для зберігання N-бітового регістра класичний комп'ютер оперує N класичними бітами. Але аналогічний квантовий регістр описується вектором у -вимірному просторі, тому має бути задано комплексних коефіцієнтів. У цьому випадку дуже важливим є той факт, що за великих N значення є набагато більшим за N, тому часто принцип суперпозиції трактується як такий, що дозволяє зберігати в N-кубітовому регістрі одночасно всі чисел від 0 до . Однак це твердження вводить в оману: оскільки результатом вимірювання стану квантового регістра завжди є один з його можливих базисних станів, то з допомогою теореми Холево^[en] можна довести, що максимально доступна кількість інформації, яку можна добути з одного кубіта, дорівнює одному бітові, як і в класичному випадку. Утім, слушним є твердження, що потужність квантових паралельних обчислень за принципом суперпозиції виходить за рамки можливостей, що надають класичні паралельні обчислення.

Квантові вентилі

Квантовий вентиль CNOT — оборотний логічний елемент, що реалізує операцію «Контрольоване НЕ».

В класичному комп'ютері за допомогою логічних елементів (вентилів, англ. gates) можна виконувати елементарні операції над бітами, а комбінування вентилів дає можливість виконувати більш складні операції, наприклад, додавання двійкових чисел. Фізично логічні вентилі реалізовуються в класичному комп'ютері за допомогою певних пристроїв, зокрема транзисторів, а інформація в свою чергу передається у вигляді електричного сигналу, що проходить через ці пристрої.

Обчислення на квантовому комп'ютері принципово відрізняються від класичних: квантовий вентиль (англ. quantum gate) є не просто технічним пристроєм, а являє собою певну елементарну фізичну дію над одним або декількома кубітами. Конкретний вигляд цієї фізичної маніпуляції залежить передусім від фізичної природи кубіта: наприклад, спін електрона може змінити орієнтацію при накладанні магнітного поля, а атом — перейти у збуджений стан під впливом лазерного імпульса. Таким чином, квантові вентилі не являють собою окремі пристрої, а реалізуються як певні маніпуляції над квантовим регістром у необхідний проміжок часу, які зручно зображати у вигляді квантових схем при описі квантових алгоритмів.

З точки зору квантової механіки, квантовий вентиль є унітарним оператором , що діє на стан квантового регістра :

Таким чином, квантовий вентиль можна представити у вигляді унітарної матриці. Наприклад, квантовий вентиль, що змінює стан кубіта на протилежний (заперечення НЕ), буде представлений у випадку двовимірного простору наступною матрицею:

Більш складними є квантові вентилі, що змінюють стани двох та більше кубітів, як, наприклад, вентиль CNOT (контрольоване НЕ), що діє у просторі двох кубітів за правилом:     та , тобто, змінюючи стан другого кубіта на протилежний, якщо перший кубіт знаходиться у стані , і залишаючи його таким самим, якщо, навпаки, перший кубіт знаходиться у стані .

Для опису квантових алгоритмів часто використовується квантова схема, що може включати в себе безліч різних квантових вентилів, які застосовуються до квантового регістра в чіткій послідовності. Наприклад, такі алгоритми, як квантове перетворення Фур'є або алгоритм Шора можна наочно зобразити у вигляді схеми, що складається з послідовності простих квантових вентилів — операторів Адамара, операторів зсуву фази та інших. Тобто, математично квантова схема являє собою складне унітарне перетворення, матриця якого є добутком матриць окремих квантових вентилів, що входять до неї.

Передумови для створення

Наявна елементна база, побудована на «кремнієвих» технологіях, дозволить триматися на такому рівні зростання зовсім недовго. Основним зі встановлених природою обмежень є тепло, яке виділяє будь-який електроприлад. Яким би незначним не було тепло, при зменшенні розмірів «приладу» воно все одно буде перешкоджати, особливо, коли ці розміри вимірюються мікронами чи частками мікрон. Ідея використання в комп'ютерах ефекту надпровідності виникла давно, але до 80-х років залишалася не більш, як привабливою, екстравагантною ідеєю. Дослідження показали, що відсутність тепловиділення — не основна перевага надпровідникової комп'ютерної техніки; хоча саме вона і дозволяє в тисячу разів збільшити швидкодію і щільність запису інформації. Використовуючи квантові ефекти, які виникають при надпровідності, комп'ютер може оперувати кількабітовими «зразками». Електрон, який пробігає мережею такого комп'ютера, буде одночасно виконувати роль і «ключа», і носія інформації. Структура квантового комп'ютера, його логіка стануть геть іншими, а сам комп'ютер матиме більше можливостей. Лихарєв вважає, що потенційним ринком для таких комп'ютерів будуть не «персоналки» чи текстові процесори, а мережеві комп'ютерні пристрої типу робочої станції.

Реалізації квантового комп'ютера

Зразок процесора D-Wave Systems, який складається із 128 надпровідних логічних елементів.

Створені реально квантові комп'ютери досі оперували з дуже незначною кількістю кубітів. У 2007 році оголошене створення квантового комп'ютера із 16 кубітами.

В листопаді 2017 року компанія IBM представила прототип квантового комп'ютера з 50 кубіт. В представленому прототипі час когерентності кубіт (час, протягом якого вони можуть залишатись в стані суперпозиції та виконувати корисні обчислення) вдалось збільшити до 90 мікросекунд. Основна частина цього прототипу (його «ядро») було показане компанією на виставці CES 2018.

9 січня 2018 року на виставці CES 2018 компанія Intel представила чип квантового комп'ютера на 49 кубіт з назвою Tangle Lake. В процесорі використані надпровідні ланцюги, робоча температура яких дорівнює 20 мілікельвін.

Квантові комп'ютери на оптичних чипах

Вчені центру квантової фотоніки Бристольського університету створили кремнієвий чип, який можна буде використовувати для складних підрахунків та симуляцій з використанням квантових часток у найближчому майбутньому. Вчені вважають що їхній прилад проторює шлях до квантових комп'ютерів — потужного виду комп'ютерів, що використовують квантові біти, а не звичайні біти, що використовуються у сучасних комп'ютерах.

На відміну від звичайних бітів чи транзисторів, які можуть бути представлені одночасно лише в одній з двох форм (1 або 0), кубіт може існувати у кількох формах одночасно і, таким чином, може використовуватись для зберігання та обробки набагато більшого обсягу інформації у більшому ступені.

Технологія, створена у Бристолі використовує дві ідентичні часточки світла (фотони) які рухаються вздовж силіконового чипа в межах експерименту, відомого як рух квантів. Експеримент руху квантів з використанням одного фотону проводився і раніше і він підпадав під модель класичної фізики хвиль. Тим не менш, такого роду експеримент з використанням двох часток було проведено вперше, і результати їх важко переоцінити.

«З використання системи двох часток ми отримуємо можливість виконувати експонентно складніші обчислення ніж досі», говорить професор Джеремі О'Брайєн^[en]. «Це — початок досліджень у новій сфері квантової інформаційної науки, що прокладає шлях до квантових комп'ютерів, котрі допоможуть вирішити складніші наукові завдання.»

Перехід від використання одного фотону до двох не простий, оскільки дві частки мають бути ідентичними за всіма параметрами та через те, як частки взаємодіють та взаємопроникають. Аналогії такого роду взаємодії поза межами квантової фізики не існує.

«Тепер, коли ми маємо змогу напряму реалізувати та спостерігати рух двох фотонів перед нами відкривається шлях до приладів з використанням трьох- та багатьох фотонів і результати мають бути більш ніж просто вражаючими», каже професор О'Брайєн. «Щоразу як ми додаємо фотон, ми дістаємо змогу вирішувати по експоненті все складніші задачі, тобто якщо однофотонна система має 10 відсоткову ефективність, то двофотонна — 100 відсоткову, а трифотонна 1000 і т. д.»

Складність квантових обчислень

Очікуваний взаємозв'язок між класом BQP та іншими основними класами складності.

Клас складності задач, які можна ефективно розв'язати на квантовому комп'ютері, позначається BQP. Цей клас містить усі задачі, що можна розв'язати на квантовому комп'ютері за поліноміальний час за певної дозволеної обмеженої імовірності помилки (англ. bounded-error, quantum, polynomial). Оскільки квантові комп'ютери працюють лише за імовірнісними алгоритмами, то клас BQP є квантовим аналогом класу BPP — усі задачі, які можна розв'язати на класичному комп'ютері за поліноміальний час за певної дозволеної обеженої імовірності помилки (англ. bounded-error, probabilistic, polynomial). Кажуть, що квантовий комп'ютер може «розв'язати» задачу, якщо в результаті з високою ймовірністю отримується правильна відповідь. Якщо при цьому квантовий комп'ютер розв'язує задачу за поліноміальний час, то така задача належить класу BQP.

Клас BQP належить класові складності P# (або, точніше, приєднаному класові проблем вибору P^#P), який у свою чергу є підкласом PSPACE. Крім того, очікується, що BQP не перетинається з класом NP-повних задач і повністю містить клас P, однак це не доведено. Зокрема, задачі факторизації та дискретного логарифмування входять до класу BQP, і при цьому очікується, що вони входять до класу NP, але не належать класові BPP і, отже, класові P. Також очікується, що обидві задачі не є NP-повними. Існує поширена думка, що квантові комп'ютери можуть розв'язувати NP-повні задачі за поліноміальний час, але це твердження не доведене і, взагалі кажучи, вважається помилковим.

Хоча описаний квантовий комп'ютер може працювати швидше за класичний, він також не здатний розв'язувати задачі, які не можна розв'язати на класичному комп'ютері за наявності достатньої кількості пам'яті та часу (хоча цей об'єм ресурсів може бути недосяжним на практиці). Машина Тюрінга може імітувати квантовий комп'ютер, тому описаний квантовий комп'ютер ніколи не зможе розв'язати таку задачу, як, наприклад, проблему зупинки. Існування «стандартних» квантових комп'ютерів не спростовує тези Черча — Тюрінга. Припускалося, що теорії квантової гравітації, такі, як М-теорія та петльова квантова гравітація, дозволяють побудувати навіть швидші комп'ютери. Але в даний час визначення обчислення в квантовій гравітації є відкритою проблемою у зв'язку з проблемою часу: не існує очевидного способу описати, що для спостерігача означає ввести вхідні дані до комп'ютера, а потім отримати результат.

Мови програмування

Для програмування квантових комп'ютерів створені спеціалізовані мови програмування, які дозволяють запис квантового алгоритму з використанням конструкцій високого рівня. Завдання квантових мов не полягає у тому, щоб надати інструмент для програмістів, а в тому, щоб надати інструменти для дослідників, щоб зрозуміти краще, як працюють квантові обчислення і як формально доводити коректність квантових алгоритмів.

Можна виділити дві основні групи квантових мов програмування: імперативні квантові мови програмування і функційні квантові мови програмування. Найвідомішими представниками першої групи є QCL і LanQ.

Ведеться робота з розробки функційних мов програмування для квантових обчислень. Приклади включають QPL Селінджера, і Haskell-подібну мову QML, розроблену Алтенкірчом і Ґретажем. Квантові мови програмування високого рівня, засновані на лямбда-численні, були запропоновані ван Тондером, Селінджером і Валіроном Аріґі і Довеком.

Виклики, що стоять перед практичними квантовими обчисленнями

Див. також: Постквантова криптографія

28 березня 2022 року в журналі MIT Technology Review^[en] було опубліковано думку Sankar Das Sarma^[en], директора центра теорії конденсованої речовини при Університеті Меріленду, щодо викликів, що стоять перед практичними квантовими обчисленнями. Відповідно до Sankar Das Sarma, створення квантового комп'ютера, здатного вирішувати практичні задачі, наприклад розшифрування даних закодованих за допомогою криптографічного алгоріму RSA з використанням алгоритму Шора, потребує багато мільйонів, якщо не мільярдів кубітів, при цьому тільки десятки тисяч із них будуть використовуватися для обчислень - так звані логічні кубіти; решта знадобиться для виправлення помилок, компенсації декогеренції. Системи кубітів сьогодення є величезним науковим досягненням, але вони ще дуже далекі від можливості вирішувати практичні задачі.

Примітки

1. Deutsch D. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. R. Soc. Lond A. — 1985. — Vol. 400. — P. 97-117. (рос. переклад: Дойч Д. Квантовая теория, принцип Чёрча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 1999. — Т. 2. — 288 с.)
2. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. — М. : Советское радио, 1980. — С. 15.
3. Feynman R. Simulating physics with computers // International Journal of Theoretical Physics. — 1982. — Vol. 21, iss. 6-7. — P. 467-488. (рос. переклад: Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 1999. — Т. 2. — 288 с.)
4. Feynman R. Quantum mechanical computers // Foundations of Physics. — 1986. — Vol. 16, iss. 6. — P. 507-531. (рос. переклад: Фейнман Р. Квантовомеханические компьютеры // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 1999. — Т. 2. — 288 с.)
5. Finkelstein D. Space-time structure in high energy interactions // Fundamental Interactions at High Energy. — 1969. — P. 324-338. з джерела 4 березня 2016. Процитовано 2 березня 2015.
6. Simon D. R. On the power of quantum computation // Foundations of Computer Science, 1994 Proceedings., 35th Annual Symposium. — P. 116-123. з джерела 8 січня 2017. Процитовано 2 березня 2015.
7. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М. : Мир, 2006. — § 4.5.5 : Сложность квантовых вычислений. — С. 257.
8. Paul Smith-Goodson (10 жовтня 2019). . Forbes (англ.). Архів оригіналу за 17 липня 2020. Процитовано 14 липня 2020. 
9. Khalil Rouhana (23 жовтня 2019). . Shaping Europe’s digital future (англ.). Архів оригіналу за 16 липня 2020. Процитовано 14 липня 2020. 
10. . Swarajya (англ.). 10 лютого 2020. Архів оригіналу за 14 липня 2020. Процитовано 14 липня 2020. 
11. Слід зазначити, що у цьому випадку ми розглядаємо лише чисті стани кубіта, тобто такі стани, що повністю визначені з точки зору квантової механіки. Взагалі кажучи, стан кубіта може бути мішаним — некогерентною сумішшю декількох чистих станів, що не може бути описана окремим вектором стану. В такому випадку для опису кубіта використовується формалізм матриці густини.
12. . Архів оригіналу за 15 травня 2007. Процитовано 7 травня 2007. 
13. Samuel K. Moore (15 листопада 2017). . IEEE Spectrum. Архів оригіналу за 11 січня 2018. Процитовано 10 січня 2018. 
14. Владимир Скрипин (12 січня 2018). . ITC.ua. Архів оригіналу за 13 січня 2018. Процитовано 12 січня 2018. 
15. Jeremy Hsu (9 січня 2018). . IEEE Spectrum. Архів оригіналу за 23 березня 2021. Процитовано 10 січня 2018. 
16. Оптичний чип дозволяє новий підхід до квантових обчислень [ 21 листопада 2010 у Wayback Machine.] (англ.)
17. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М. : Мир, 2006. — § 1.4.5 : Классификация квантовых алгоритмов. — С. 67.
18. Bernstein E., Vazirani U. Quantum Complexity Theory // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, iss. 5. — P. 1411-1473. — DOI:10.1137/S0097539796300921. з джерела 11 березня 2016. Процитовано 4 березня 2015.
19. Jarosław Adam Miszczak. High-level Structures in Quantum Computing. Процитовано 12 грудня 2015. 
20. Bernhard Omer. . Архів оригіналу за 8 жовтня 2003. Процитовано 27 вересня 2017. 
21. Hynek Mlnařík. . Архів оригіналу за 20 травня 2016. Процитовано 27 вересня 2017. 
22. Пітер Селінджер, «На шляху до квантової мови програмування» [ 30 квітня 2016 у Wayback Machine.], Mathematical Structures in Computer Science(Математичні структури в інформатиці) 14(4):527-586, 2004.
23. . Архів оригіналу за 31 березня 2008. Процитовано 27 вересня 2017. 
24. T. Altenkirch, V. Belavkin, J. Grattage, A. Green, A. Sabry, J. K. Vizzotto, QML: Функціональна мова програмування Quantum [ 10 липня 2006 у Wayback Machine.]
25. Андре ван Тондер, «Лямбда-числення для квантових обчислень», SIAM J. Comput., 33(5), 1109—1135. (27 стор.), 2004. Також доступна за посиланням arXiv: quant-ph/0307150 [ 20 грудня 2015 у Wayback Machine.]
26. Peter Selinger and Benoît Valiron, «A lambda calculus for quantum computation with classical control» [ 22 квітня 2016 у Wayback Machine.], Mathematical Structures in Computer Science 16(3):527-552, 2006.
27. Pablo Arrighi, Gilles Dowek, «Лінійно-алгебраїчне лямбда-числення. високий порядок, кодування і збіжність» [ 19 березня 2017 у Wayback Machine.], 2006
28. Quantum computing has a hype problem. MIT Technology Review (англ.). Процитовано 7 квітня 2023. 

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Ткачук В. М. Фундаментальні проблеми квантової механіки. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2011. — 144 с.
• Квантовые вычисления: за и против // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 1999. — Т. 1. — 212 с.
• Квантовый компьютер и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 1999. — Т. 2. — 288 с.
• Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации = The Physics of Quantum Information. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. — Ижевск : РХД, 2004. — 320 с.
• Дойч Д. Структура реальности = The Fabric of Reality. — Ижевск : РХД, 2001. — 400 с.
• Кайе Ф., Лафламм Р., Моска М. Введение в квантовые вычисления = An Introduction to Quantum Computing. — Ижевск : РХД, 2009. — 360 с.
• Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления. — М. : МЦНМО, 1999. — 192 с.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация = Quantum Computation and Quantum Information. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления = Lecture Notes Ph219/CS219: Quantum Computation. — Ижевск : РХД, 2008-2011. — 464+312 с.
• Стин Э. Квантовые вычисления = Quantum Computing. — Ижевск : РХД, 2000. — 112 с.

Посилання

•  — Science Ukraine від 07.05.2015