У функціональному аналізі унітарний оператор — це сюр’єктивний обмежений оператор на гільбертовому просторі, який зберігає внутрішній добуток[en]. Унітарні оператори зазвичай вважаються як діючі на гільбертовому просторі, але таке ж поняття служить для визначення поняття ізоморфізму між гільбертовими просторами.
Унітарний елемент — це узагальнення унітарного оператора. Елемент унітарної алгебри називається унітарним елементом, якщо виконується рівність , де — тотожний елемент.
Означення Редагувати
Означення 1. Унітарний оператор — обмежений лінійний оператор на гільбертовому просторі , який задовольняє рівність , де — спряжений оператор до оператора , а — тотожний оператор.
Слабша умова визначає ізометрію. Інша умова, , визначає коізометрію. Таким чином, унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор, який одночасно є ізометрією і коізометрією або, що еквівалентно, сюр’єктивною ізометрією.
Еквівалентне означення є наступним:
Означення 2. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор на гільбертовому просторі , для якого виконується наступні умови:
- Оператор є сюр’єктивним.
- Оператор зберігає внутрішній добуток[en] гільбертового простору . Іншими словами, для всіх векторів i в просторі маємо
Поняття ізоморфізму в категорії гільбертових просторів фіксується, якщо в цьому означенні розрізняються область визначення й діапазону. Ізометрії зберігають послідовності Коші, а отже, зберігається властивість повноти гільбертових просторів.
Наступне, здавалося б слабкіше, означення також є еквівалентним:
Означення 3. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор на гільбертовому просторі , для якого виконується наступні умови:
- Діапазон оператора є щільним у просторі .
- Оператор зберігає внутрішній добуток гільбертового простору . Іншими словами, для всіх векторів і в просторі маємо
Щоб переконатися, що означення 1 і 3 є еквівалентними, звернемо увагу, що з умови збереження внутрішнього добутку оператора випливає, що оператор є ізометрією (отже, він є обмеженим лінійним оператором). Той факт, що оператор має щільний діапазон, гарантує, що він має обмежений обернений оператор . Очевидно, що .
Таким чином, унітарні оператори є лише автоморфізмами гільбертових просторів, тобто вони зберігають структуру (у даному випадку лінійну структуру простору, внутрішній добуток, а отже, і топологію простору, на якому вони діють. Групу всіх унітарних операторів із даного гільбертового простору у себе іноді називають групою Гільберта простору , позначають як або .
Приклади Редагувати
- Тотожне відображення є тривіальним унітарним оператором.
- Повороти в просторі є найпростішим нетривіальним прикладом унітарних операторів. Повороти не змінюють довжину вектора або кут між двома векторами. Цей приклад можна розширити на випадок простору .
- У векторному просторі комплексних чисел множення на число з модулем , тобто на число виду для , є унітарним оператором. Число називають фазою, а саме множення називають множенням на фазу. Зауважимо, що значення числа за модулем не впливає на результат множення, і тому незалежні унітарні оператори на параметризуються колом. Відповідна група, яка як множина є колом, називається .
- У більш загальному випадку унітарні матриці є саме унітарними операторами на скінченновимірних гільбертових просторах, тому поняття унітарного оператора є узагальненням поняття унітарної матриці. Ортогональні матриці — це окремий випадок унітарних матриць, у яких усі елементи є дійсними. Вони є унітарними операторами на .
- Двосторонній зсув на просторі послідовностей , що індексується цілими числами, є унітарним. У загальному випадку, будь-який оператор у гільбертовому просторі, який діє шляхом перестановки ортонормованого базису, є унітарним. У скінченномірному випадку такими операторами є матриці перестановок.
- Односторонній зсув (правий зсув) є ізометрією; її спряжена величина (лівий зсув) є коізометрією.
- Оператор Фур’є[en] є унітарним оператором, тобто оператором, який виконує перетворення Фур’є (при належній нормалізації). Це випливає з теореми Парсеваля.
- Унітарні оператори використовуються в унітарних представленнях[en].
- Квантові вентилі є унітарними операторами. Не всі вентилі є ермітовими.
Лінійність Редагувати
Вимога лінійності у означенні унітарного оператора можна відкинути без зміни сенсу, оскільки її можна отримати з лінійності та додатної визначеності скалярного добутку:
Аналогічно можна отримати
Властивості Редагувати
- Спектр унітарного оператора лежить на одиничному колі. Тобто для будь-якого комплексного числа зі спектру маємо, що . Це можна розглядати як наслідок спектральної теореми для нормальних операторів[en]. За теоремою оператор є унітарно еквівалентним множенню на вимірну за Борелем функцію з для деякого простору з скінченною мірою . Тоді з рівності випливає, що , майже скрізь за мірою . Це показує, що істотний діапазон функції , а отже, спектр оператора , лежить на одиничному колі.
- Лінійний оператор є унітарним тоді, коли він сюр’єктивний та ізометричний. (Використайте поляризаційну тотожність для доведеннячастини “й лише тоді”.)
Див. також Редагувати
- Антиунітарний[en]
- Зморщена дуга[en]
- Квантовий вентиль — основна схема в квантових обчисленнях
- Унітарна матриця — комплексна матриця, спряжена транспонована матриця якої дорівнює її оберненій
- Унітарне перетворення — ендоморфізм, що зберігає внутрішній добуток
- Унітарна матриця
- Оператор (фізика)
Примітки Редагувати
- (Doran, Belfi та 1986, page 55)
- (Halmos, 1982, Sect. 127, page 69)
- (Conway, 1990, Proposition I.5.2)
- (Conway, 1990, Definition I.5.1)
Література Редагувати
- Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
- Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.
- Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
- Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.