www.wikidata.uk-ua.nina.az

Перетворення Фур є інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу Тісно пов язане з п

Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення Редагувати

Перетворення Фур'є функції математично визначається як комплекснозначна функція , яка задається інтегралом[1]

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

Вступ Редагувати

Див. також: Аналіз Фур'є
У перших кадрах анімації, функція f розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це Дельта-функції Дірака, що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області f̂ є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності.

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e2πiθ = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e2πiθ. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e2πiθ і e−2πiθ обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T2, T2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду cn задається як:

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

оскільки f (x) є нульовою за межами [−T2, T2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1T, помножені на ширину сітки 1T.

При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξn = nT, і Δξ = n + 1T − nT = 1T.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним.

При вивченні рядів Фур'є числа cn можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Властивості Редагувати

Якщо задані інтегровні функції , та та їхні відповідні перетворення Фур'є , та , тоді самому перетворенню властиво наступне:

Перетворення Фур'є узагальнених функцій Редагувати

Цей розділ потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення його перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2016)

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через спряжений простір до . Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція , яка діє на основні функції за правилом

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку .

Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних Редагувати

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) :

де and  — -вимірні вектори, а позначає скалярний добуток цих векторів.

Використання Редагувати

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу має вигляд

де  — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

Оскільки

де  — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

де

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи .

Таблиця образів деяких функцій Редагувати

Цей розділ потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення його перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2016)

У наступній таблиці и позначають перетворення Фур'є функцій і , відповідно. Функцій і повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано .

Функція Образ Примітки
1 Лінійність
2 Запізнення
3 Частотний зсув
4
5 Перетворення Фур'є похідної
6
7 Перетворення згортки
8 Зворотнє до 7
9 Перетворення дельта-функції Дірака
10 Зворотнє до 9
11 Для -ї узагальненої похідної дельта-функції
12 Наслідок з 3 і 10
13
14
15 Образ функції Гауса збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16 фільтр низьких частот
17 Тут  — функція знаку.
18
19
20 Тут  — Функція Гевісайда.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

↑  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти використовують лінійну частоту , розподіляють множник порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела Редагувати

  • До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
  • Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
  • Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

Література Редагувати

  • Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.

Примітки Редагувати

  1. (Taneja, 2008, с. 192).
  2. (Stein та Shakarchi, 2003).

Посилання Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Peretvorennya Fur ye integralne peretvorennya odniyeyi kompleksnoznachnoyi funkciyi dijsnoyi zminnoyi na inshu Tisno pov yazane z peretvorennyam Laplasa ta analogichne rozkladu u ryad Fur ye dlya neperiodichnih funkcij Ce peretvorennya rozkladaye danu funkciyu na oscilyatorni funkciyi Vikoristovuyetsya dlya togo shob rozrahuvati spektr chastot dlya signaliv zminnih u chasi yak ot mova abo elektrichna napruga Peretvorennya nazvano na chest francuzkogo matematika Zhana Batista Zhozefa Fur ye yakij vviv ponyattya v 1822 roci Zmist 1 Viznachennya 2 Vstup 3 Vlastivosti 4 Peretvorennya Fur ye uzagalnenih funkcij 5 Peretvorennya Fur ye funkcij bagatoh zminnih 6 Vikoristannya 7 Tablicya obraziv deyakih funkcij 8 Div takozh 9 Primitki 10 Dzherela 11 Literatura 12 Primitki 13 PosilannyaViznachennya RedaguvatiPeretvorennya Fur ye funkciyi f t displaystyle f t nbsp matematichno viznachayetsya yak kompleksnoznachna funkciya F w displaystyle F omega nbsp yaka zadayetsya integralom 1 F w f t e i w t d t displaystyle F omega int infty infty f t e i omega t dt nbsp Obernene peretvorennya Fur ye zadayetsya virazom 1 2 p F w e i w t d w f t displaystyle frac 1 2 pi int infty infty F omega e i omega t d omega f t nbsp Vstup RedaguvatiDiv takozh Analiz Fur ye nbsp U pershih kadrah animaciyi funkciya f rozkladena u ryad Fur ye linijnu kombinaciyu sinusiv i kosinusiv sinim Chastotni komponenti cih sinusiv i kosinusiv rozpodileni u chastotnomu spektri predstavleni yak vertikalni piki u chastotnij oblasti faktichno ce Delta funkciyi Diraka sho pokazani v ostannih kadrah animaciyi Predstavlennya funkciyi u chastotnij oblasti f ye mnozhinoyu cih pikiv iz chastotami sho pokazani v rozmirnosti funkciyi Peretvorennya Fur ye bere pochatok iz vivchennya ryadiv Fur ye Pri vivchenni ryadiv Fur ye skladni ale periodichni funkciyi zapisuyutsya u formi sumi prostih hvil sho matematichno zadayutsya funkciyami sinusiv i kosinusiv Peretvorennya Fur ye ye prodovzhennyam ryadiv Fur ye dlya vipadku koli period predstavlenoyi funkciyi podovzhenij i mozhe nablizhatisya do neskinchennosti 1 Zavdyaki vlastivostyam sinusa i kosinusa za dopomogoyu integralu mozhna otrimati amplitudu kozhnoyi hvili ryadu Fur ye U bagatoh vipadkah bazhano vikoristovuvati formulu Ejlera yaka viznachaye sho e2pi8 cos 2p8 i sin 2p8 iz chogo viplivaye sho mozhna zadati ryad Fur ye cherez elementi bazovih hvil e2pi8 Ce daye zmogu sprostiti viraz pri rozrahunku bagatoh formul Predstavlennya sinusiv i kosinusiv u viglyadi kompleksnih eksponent privodit do togo sho koeficiyenti Fur ye ye kompleksnimi znachennyami Zazvichaj ce kompleksne predstavlennya chisla interpretuyut tak sho vono opisuye znachennya yak amplitudu abo rozmir hvili sho ye skladovoyu zadanoyi funkciyi i fazu abo pochatkovij kut hvili Ci kompleksni eksponenti inodi mistyat vid yemni chastoti Yaksho 8 vimiryuyetsya v sekundah todi hvili e2pi8 i e 2pi8 obidvi mayut odin povnij cikl dovzhinoyu v sekundu ale voni zadayut rizni chastoti v peretvorenni Fur ye Takim chinom chastota bilshe ne zadaye kilkist periodiv na odinicyu chasu ale dosi ye tisno pov yazanoyu Isnuye tisnij zv yazok mizh viznachennyam ryadiv Fur ye i peretvorennya Fur ye dlya funkcij f sho prijmayut nulove znachennya za mezhami intervalu Dlya takih funkcij mi mozhemo rozrahuvati ryad Fur ye na bud yakomu intervali sho mistit tochki de f ne ye nulovoyu Peretvorennya Fur ye takozh viznachene dlya takih funkcij Zi zbilshennyam dovzhini intervalu na yakomu mi rozrahovuyemo ryad Fur ye koeficiyenti ryadu Fur ye pochinayut buti shozhimi na peretvorennya Fur ye a suma ryadu Fur ye dlya f pochinaye buti shozhoyu na obernene peretvorennya Fur ye Abi poyasniti ce pripustimo sho T ye dostatno velikim takim sho interval T 2 T 2 mistit interval u yakomu f ne ye totozhno nulovoyu Todi n j koeficiyent ryadu cn zadayetsya yak c n 1 T T 2 T 2 f x e 2 p i n T x d x displaystyle c n frac 1 T int frac T 2 frac T 2 f x e 2 pi i left frac n T right x dx nbsp Porivnyavshi ce iz viznachennyam peretvorennya Fur ye otrimayemo sho c n 1 T f n T displaystyle c n frac 1 T hat f left frac n T right nbsp oskilki f x ye nulovoyu za mezhami T 2 T 2 Takim chinom koeficiyenti Fur ye ye lishe znachennyami peretvorennya Fur ye sho zadani dlya sitki shirinoyu v 1 T pomnozheni na shirinu sitki 1 T Pri pevnih umovah ryad Fur ye dlya f bude dorivnyuvati funkciyi f Inshimi slovami f mozhna zapisati yak f x n c n e 2 p i n T x n f 3 n e 2 p i 3 n x D 3 displaystyle f x sum n infty infty c n e 2 pi i left frac n T right x sum n infty infty hat f xi n e 2 pi i xi n x Delta xi nbsp de ostannya suma ye pershoyu sumoyu yaku perepisano vikoristovuyuchi viznachennya 3n n T i D3 n 1 T n T 1 T Takim chinom druga suma ye sumoyu Rimana i tomu zadavshi T vona zbigatimetsya do integrala yakij vidpovidaye obernenomu peretvorennyu Fur ye zadanogo v rozdili viznachennya Pri pevnih umovah cej argument mozhe buti tochnim 2 Pri vivchenni ryadiv Fur ye chisla cn mozhna rozglyadati yak kilkist prisutnosti hvili u ryadi Fur ye dlya f Analogichno yak vidno z opisanogo vishe peretvorennya Fur ye mozhna uyaviti yak funkciyu sho vimiryuye naskilki chitko okrema chastota prisutnya v nashij funkciyi f i mozhna poyednati ci hvili za dopomogoyu integralu abo neperervnoyi sumi abi vidtvoriti originalnu funkciyu Vlastivosti RedaguvatiYaksho zadani integrovni funkciyi f t displaystyle f t nbsp g t displaystyle g t nbsp ta h t displaystyle h t nbsp ta yihni vidpovidni peretvorennya Fur ye f w displaystyle hat f omega nbsp g w displaystyle hat g omega nbsp ta h w displaystyle hat h omega nbsp todi samomu peretvorennyu vlastivo nastupne Linijnist Dlya dovilnih kompleksnih chisel a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp yaksho h t a f t b g t displaystyle h t af t bg t nbsp todi h w a f w b g w displaystyle hat h omega a cdot hat f omega b cdot hat g omega nbsp Translyaciya Dlya dovilnogo dijsnogo chisla t 0 displaystyle t 0 nbsp yaksho h t f t t 0 displaystyle h t f t t0 nbsp todi h w e i w t 0 f w displaystyle hat h omega e i omega t 0 hat f omega nbsp Modulyaciya Dlya dovilnogo dijsnogo chisla w 0 displaystyle omega 0 nbsp yaksho h t e w 0 t f t displaystyle h t e omega 0 t f t nbsp todi h w f w w 0 displaystyle hat h omega hat f omega omega 0 nbsp Masshtabuvannya Dlya ne rivnogo nulyu dijsnogo chisla a yaksho h x f a x displaystyle h x f ax nbsp todi h 3 1 a f 3 a displaystyle hat h xi frac 1 a hat f left frac xi a right nbsp Vipadok a 1 prizvodit do vlastivosti obernennya chasu zgidno z yakoyu yaksho h x f x displaystyle h x f x nbsp todi h 3 f 3 displaystyle hat h xi hat f xi nbsp Spryazhennya Yaksho h x f x displaystyle h x overline f x nbsp todi h 3 f 3 displaystyle hat h xi overline hat f xi nbsp Zokrema yaksho ƒ dijsne todi maye misce umova dijsnosti f 3 f 3 displaystyle hat f xi overline hat f xi nbsp Zgortka Yaksho h x f g x displaystyle h x left f g right x nbsp todi h 3 f 3 g 3 displaystyle hat h xi hat f xi cdot hat g xi nbsp Peretvorennya Fur ye uzagalnenih funkcij RedaguvatiCej rozdil potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya jogo perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno veresen 2016 Peretvorennya Fur ye mozhna viznachiti dlya shirokogo klasu uzagalnenih funkcij Yak osnovnij prostir vibirayut prostir gladkih shvidkospadnih funkcij prostir Shvarca S R f C R n m N x n f m x x 0 displaystyle S mathbb R left varphi in C infty mathbb R forall n m in mathbb N x n varphi m x xrightarrow x to infty 0 right nbsp Cej prostir ye invariantnim vidnosno peretvorennya Fur ye Poznachimo cherez S R displaystyle S mathbb R nbsp spryazhenij prostir do S R displaystyle S mathbb R nbsp Cej pidprostir prostoru vsih uzagalnenih funkcij nazivayetsya prostorom uzagalnenih funkcij povilnogo zrostannya Dlya dovilnoyi funkciyi f S R displaystyle f in S mathbb R nbsp yiyi peretvorennyam Fur ye nazivayetsya uzagalnena funkciya f S R displaystyle hat f in S mathbb R nbsp yaka diye na osnovni funkciyi za pravilom f f f f displaystyle langle hat f varphi rangle langle f hat varphi rangle nbsp Napriklad obchislimo peretvorennya Fur ye delta funkciyi d f d f d w f x e i w x d x f x e i 0 x d x f x 1 d x 1 f displaystyle langle hat delta varphi rangle langle delta hat varphi rangle left langle delta omega int limits infty infty varphi x e i omega x dx right rangle int limits infty infty varphi x cdot e i cdot 0 cdot x dx int limits infty infty varphi x cdot 1 dx left langle 1 varphi right rangle nbsp Takim chinom peretvorennyam Fur ye delta funkciyi ye konstanta u comu vipadku 1 displaystyle 1 nbsp Peretvorennya Fur ye funkcij bagatoh zminnih RedaguvatiPeretvorennya Fur ye mozhe buti oznachene dlya dovilnoyi kilkosti zminnih vimiriv n displaystyle n nbsp f 3 F f 3 R n f x e i x 3 d x displaystyle hat f boldsymbol xi mathcal F f boldsymbol xi int mathbb R n f mathbf x e i mathbf x boldsymbol xi d mathbf x nbsp de x displaystyle x nbsp and 3 displaystyle boldsymbol xi nbsp n displaystyle n nbsp vimirni vektori a x 3 displaystyle mathbf x boldsymbol xi nbsp poznachaye skalyarnij dobutok cih vektoriv Vikoristannya RedaguvatiPeretvorennya Fur ye zastosovuyutsya dlya otrimannya chastotnogo spektra neperiodichnoyi funkciyi napriklad elektrichnogo signalu tobto dlya predstavlennya signalu u viglyadi sumi garmonichnih kolivan Pri comu vikoristovuyetsya vlastivist zgortki Na praktici ce mozhna pobachiti u vikoristanni sistemami rozpodilenogo obchislennya dlya poshuku mozhlivih signaliv pozazemnih civilizacij proekti SETI i vidpovidno SETI home Nehaj vidguk sistemi na zburennya u viglyadi signalu f t displaystyle f t nbsp maye viglyad g t 0 a t f t t d t displaystyle g t int 0 infty alpha tau f t tau d tau nbsp de a t displaystyle alpha tau nbsp pevna funkciya Takij zapis oznachaye sho vidguk sistemi zalezhit ne tilki vid momentalnogo znachennya zburennya a takozh vid togo zburennya yake bulo pevnij chas tomu i yake zminilo stan sistemi Zastosovuyuchi peretvorennya Fur ye do oboh chastin rivnyannya otrimuyemo G w e i w t 0 a t f t t d t d t 1 2 p e i w t 0 a t F w e i w t t d w d t d t displaystyle G omega int infty infty e i omega t int 0 infty alpha tau f t tau d tau dt frac 1 2 pi int infty infty e i omega t int 0 infty alpha tau int infty infty F omega prime e i omega prime t tau d omega prime d tau dt nbsp Oskilki e i w w t d t 2 p d w w displaystyle int infty infty e i omega prime omega t dt 2 pi delta omega prime omega nbsp de d x displaystyle delta x nbsp delta funkciya Diraka integruvannya daye G w A w F w displaystyle G omega mathrm A omega F omega nbsp de A w 0 a t e i w t displaystyle mathrm A omega int 0 infty alpha tau e i omega tau nbsp Vazhlivim visnovkom iz cogo peretvorennya ye te sho vihidnij spektr otrimuyetsya z vhidnogo prostim mnozhennyam na funkciyu vidkliku sistemi A w displaystyle mathrm A omega nbsp Tablicya obraziv deyakih funkcij RedaguvatiCej rozdil potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya jogo perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno veresen 2016 U nastupnij tablici F w displaystyle F omega nbsp i G w displaystyle G omega nbsp poznachayut peretvorennya Fur ye funkcij f t displaystyle f t nbsp i g t displaystyle g t nbsp vidpovidno Funkcij f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp povinni buti integrovnimi abo uzagalnenimi funkciyami Yak mnozhnik pri integrali u formuli dlya pryamogo ta zvorotnogo peretvorennya Fur ye tut vibrano 1 2 p displaystyle 1 sqrt 2 pi nbsp Funkciya Obraz Primitki1 a f t b g t displaystyle af t bg t nbsp a F w b G w displaystyle aF omega bG omega nbsp Linijnist2 f t a displaystyle f t a nbsp e i w a F w displaystyle e i omega a F omega nbsp Zapiznennya3 e i a t f t displaystyle e iat f t nbsp F w a displaystyle F omega a nbsp Chastotnij zsuv4 f a t displaystyle f at nbsp a 1 F w a displaystyle a 1 F left frac omega a right nbsp 5 d n f t d t n displaystyle frac d n f t dt n nbsp i w n F w displaystyle i omega n F omega nbsp Peretvorennya Fur ye pohidnoyi6 t n f t displaystyle t n f t nbsp i n d n F w d w n displaystyle i n frac d n F omega d omega n nbsp 7 f g t displaystyle f g t nbsp 2 p F w G w displaystyle sqrt 2 pi F omega G omega nbsp Peretvorennya zgortki8 f t g t displaystyle f t g t nbsp F G w 2 p displaystyle frac F G omega sqrt 2 pi nbsp Zvorotnye do 79 d t displaystyle delta t nbsp 1 2 p displaystyle frac 1 sqrt 2 pi nbsp Peretvorennya delta funkciyi Diraka10 1 displaystyle 1 nbsp 2 p d w displaystyle sqrt 2 pi delta omega nbsp Zvorotnye do 911 t n displaystyle t n nbsp i n 2 p d n w displaystyle i n sqrt 2 pi delta n omega nbsp Dlya n displaystyle n nbsp yi uzagalnenoyi pohidnoyi delta funkciyi12 e i a t displaystyle e iat nbsp 2 p d w a displaystyle sqrt 2 pi delta omega a nbsp Naslidok z 3 i 1013 cos a t displaystyle cos at nbsp 2 p d w a d w a 2 displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2 nbsp 14 sin a t displaystyle sin at nbsp 2 p d w a d w a 2 i displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2i nbsp 15 exp a t 2 displaystyle exp at 2 nbsp 1 2 a exp w 2 4 a displaystyle frac 1 sqrt 2a exp left frac omega 2 4a right nbsp Obraz funkciyi Gausa exp t 2 2 displaystyle exp t 2 2 nbsp zbigayetsya z originalom funkciya nalezhit do prostoru Shvarca 16 W 2 p s i n c W t displaystyle W sqrt frac 2 pi mathrm sinc Wt nbsp r e c t w 2 W displaystyle mathrm rect left frac omega 2W right nbsp filtr nizkih chastot17 1 t displaystyle frac 1 t nbsp i p 2 sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 operatorname sgn omega nbsp Tut sgn w displaystyle operatorname sgn omega nbsp funkciya znaku 18 1 t n displaystyle frac 1 t n nbsp i p 2 i w n 1 n 1 sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 frac i omega n 1 n 1 operatorname sgn omega nbsp 19 sgn t displaystyle operatorname sgn t nbsp 2 p i w 1 displaystyle sqrt frac 2 pi i omega 1 nbsp 20 2 p 8 t displaystyle sqrt 2 pi theta t nbsp 1 i w p d w displaystyle frac 1 i omega pi delta omega nbsp Tut 8 t displaystyle theta t nbsp Funkciya Gevisajda Div takozh RedaguvatiRyad Fur ye Zminni Fur ye Peretvorennya Laplasa Dvostoronnye peretvorennya Laplasa Shvidke peretvorennya Fur ye Diskretne peretvorennya Fur ye Spisok ob yektiv nazvanih na chest Zhozefa Fur ye Spryazheni zminniPrimitki Redaguvati 1 Isnuyut takozh inshi konvenciyi shodo oznachennya peretvorennya Fur ye v yakih zamist ciklichnoyi chastoti w displaystyle omega nbsp vikoristovuyut linijnu chastotu n displaystyle nu nbsp rozpodilyayut mnozhnik 1 2 p displaystyle 1 2 pi nbsp porivno mizh pryamim ta obernenim peretvorennyam tosho Usi konvenciyi do pevnoyi miri ekvivalenti yaksho yih zastosovuvati poslidovno Dzherela RedaguvatiDo metodu rozdilennya zminnih Fur ye Navch metod posib O S Gavriliv L Vid Tarasa Soroki 2009 32 c Peretvorennya Fur ye Laplasa uzagalnennya ta zastosuvannya navch metod posib dlya studentiv ta aspirantiv meh mat i prirodn spec VNZ G P Lopushanska A O Lopushanskij O M M yaus M vo osviti i nauki Ukrayini Lviv nac un t im I Franka Lviv LNU 2014 152 s Bibliogr s 147 152 90 nazv Bochner S Chandrasekharan K 1949 Fourier Transforms Princeton University Press Bracewell R N 2000 The Fourier Transform and Its Applications 3rd ed Boston McGraw Hill Literatura RedaguvatiFunkciyi kompleksnoyi zminnoyi Peretvorennya Fur ye ta Laplasa Navch posib dlya stud tehn spec vish zakl osviti Ya I Dasyuk V S Ilkiv P I Kalenyuk P P Kostrobij Z M Nitrebich In t zmistu i metodiv navchannya L 1999 271 c Matematika dlya inzheneriv Bibliogr 20 nazv Primitki Redaguvati Taneja 2008 s 192 Stein ta Shakarchi 2003 Posilannya Redaguvati nbsp Portal Matematika FFT in Python Fourier Series Applet An Interactive Guide To The Fourier Transform BetterExplained angl nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Peretvorennya Fur 27ye amp oldid 39313271