www.wikidata.uk-ua.nina.az
Normalnij rozpodil rozpodil Gausa rozpodil jmovirnostej vipadkovoyi velichini sho harakterizuyetsya gustinoyu jmovirnostiNormalnij rozpodilFunkciya jmovirnostej Chervona kriva vidpovidaye standartnomu normalnomu rozpodiluFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametri m R matematichne spodivannya s2 gt 0 dispersiyaNosij funkciyi x RRozpodil imovirnostej 1 s 2 p e x m 2 2 s 2 displaystyle frac 1 sigma sqrt 2 pi e frac x mu 2 2 sigma 2 Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf 1 2 1 erf x m 2 s 2 displaystyle frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac x mu sqrt 2 sigma 2 right right Serednye mMediana mModa mDispersiya s 2 displaystyle sigma 2 Koeficiyent asimetriyi 0Koeficiyent ekscesu 0Entropiya 1 2 ln 2 p e s 2 displaystyle frac 1 2 ln 2 pi e sigma 2 Tvirna funkciya momentiv mgf exp m t 1 2 s 2 t 2 displaystyle exp mu t frac 1 2 sigma 2 t 2 Harakteristichna funkciya exp i m t 1 2 s 2 t 2 displaystyle exp i mu t frac 1 2 sigma 2 t 2 f x m s 1 s 2 p exp x m 2 2 s 2 displaystyle f x mu sigma frac 1 sigma sqrt 2 pi exp left frac x mu 2 2 sigma 2 right de m displaystyle mu matematichne spodivannya s 2 displaystyle sigma 2 dispersiya vipadkovoyi velichini Parametr s displaystyle sigma takozh vidomij yak standartne vidhilennya Rozpodil iz m 0 displaystyle mu 0 ta s 2 1 displaystyle sigma 2 1 nazivayut standartnim normalnim rozpodilom Centralna granichna teorema stverdzhuye sho normalnij rozpodil vinikaye todi koli dana vipadkova velichina yavlyaye soboyu sumu velikogo chisla nezalezhnih vipadkovih velichin kozhna z yakih vidigraye neznachnu rol v utvorenni vsiyeyi sumi Napriklad vidstan vid vluchennya snaryadu garmati do cili pri velikij kilkosti postriliv harakterizuyetsya same normalnim rozpodilom Normalno rozpodilena vipadkova velichina poznachayetsya tak 3 N m s 2 displaystyle xi sim N mu sigma 2 Zmist 1 Viznachennya 1 1 Standartnij normalnij rozpodil 1 2 Zagalnij normalnij rozpodil 1 3 Poznachennya 1 4 Alternativni parametrizaciyi 2 Osoblivist 3 Vlastivosti 4 Log normalnij rozpodil 5 Kumulyativna funkciya rozpodilu jmovirnostej 6 Centralna granichna teorema 7 Div takozh 8 Dzherela 9 PrimitkiViznachennya RedaguvatiStandartnij normalnij rozpodil Redaguvati Najprostishij variant normalnogo rozpodilu vidomij yak standartnij normalnij rozpodil Ce osoblivij vipadok koli m 0 displaystyle mu 0 nbsp i s 1 displaystyle sigma 1 nbsp i jogo opisuyut takoyu funkciyeyu gustini imovirnosti f x 1 2 p e 1 2 x 2 displaystyle varphi x frac 1 sqrt 2 pi e frac 1 2 x 2 nbsp Koeficiyent 1 2 p displaystyle 1 sqrt 2 pi nbsp v danomu virazi garantuye sho zagalna plosha pid krivoyu f x displaystyle varphi x nbsp dorivnyuye odinici 1 Mnozhnik 1 2 displaystyle 1 2 nbsp v pokazniku eksponenti garantuye sho rozpodil maye odinichnu dispersiyu tobto dispersiya dorivnyuye odinici a takim chinom i odinichne standartne vidhilennya Cya funkciya simetrichna dovkola znachennya x 0 displaystyle x 0 nbsp de vona nabuvaye svogo maksimalnogo znachennya 1 2 p displaystyle 1 sqrt 2 pi nbsp i maye dvi tochki pereginu pri x 1 displaystyle x 1 nbsp i x 1 displaystyle x 1 nbsp V deyakih avtoriv mozhut buti vidminnosti shodo togo yakij normalnij rozpodil vvazhati standartnim Gauss viznachiv standartnij normalnij rozpodil yak takij sho maye dispersiyu s 2 1 2 displaystyle sigma 2 1 2 nbsp i maye funkciyu gustini imovirnosti f x e x 2 p displaystyle varphi x frac e x 2 sqrt pi nbsp Stilger en 2 pishov navit dali koli viznachiv standartnij normalnij rozpodil iz dispersiyeyu s 2 1 2 p displaystyle sigma 2 1 2 pi nbsp tak f x e p x 2 displaystyle varphi x e pi x 2 nbsp Zagalnij normalnij rozpodil Redaguvati Kozhnij normalnij rozpodil ye riznovidom standartnogo normalnogo rozpodilu oblast znachen yakogo bula roztyagnuta na velichinu s displaystyle sigma nbsp standartne vidhilennya i potim peremishena na m displaystyle mu nbsp serednye znachennya f x m s 2 1 s f x m s displaystyle f x mid mu sigma 2 frac 1 sigma varphi left frac x mu sigma right nbsp Gustina imovirnosti povinna masshtabuvatisya na 1 s displaystyle 1 sigma nbsp tak shob integral zberigav znachennya 1 displaystyle 1 nbsp Nehaj Z displaystyle Z nbsp ce standartne normalnij parametr vidhilennya en todi X s Z m displaystyle X sigma Z mu nbsp matime normalnij rozpodil iz spodivannyam m displaystyle mu nbsp i standartnim vidhilennyam s displaystyle sigma nbsp I navpaki yaksho X displaystyle X nbsp ye normalnim vidhilennyam iz parametrami m displaystyle mu nbsp i s 2 displaystyle sigma 2 nbsp todi Z X m s displaystyle Z X mu sigma nbsp matime standartnij normalnij rozpodil Cej variant nazivayetsya standartizovanoyu formoyu X displaystyle X nbsp Kozhen normalnij rozpodil ye eksponentoyu kvadratichnoyi funkciyi f x e a x 2 b x c displaystyle f x e ax 2 bx c nbsp de a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp i c b 2 4 a ln a p 2 displaystyle c b 2 4a ln a pi 2 nbsp V danij formi serednye znachennya dorivnyuye m b 2 a displaystyle mu b 2a nbsp a dispersiya dorivnyuye s 2 1 2 a displaystyle sigma 2 1 2a nbsp U vipadku standartnogo normalnogo rozpodilu a 1 2 displaystyle a 1 2 nbsp b 0 displaystyle b 0 nbsp a c ln 2 p 2 displaystyle c ln 2 pi 2 nbsp Poznachennya Redaguvati Gustina imovirnosti standartnogo Gaussovogo rozpodilu standartnogo normalnogo rozpodilu iz nulovim serednim i odinichnoyu dispersiyeyu chasto poznachayetsya greckoyu literoyu ϕ displaystyle phi nbsp Fi 3 Takozh chasto vikoristovuyetsya insha forma literi fi f displaystyle varphi nbsp Normalnij rozpodil poznachayut yak N m s 2 displaystyle N mu sigma 2 nbsp abo N m s 2 displaystyle mathcal N mu sigma 2 nbsp 4 Takim chinom yaksho vipadkova velichina X displaystyle X nbsp maye normalnij rozpodil iz serednim m displaystyle mu nbsp i dispersiyeyu s 2 displaystyle sigma 2 nbsp ce mozhna zapisati nastupnim chinom X N m s 2 displaystyle X sim mathcal N mu sigma 2 nbsp Alternativni parametrizaciyi Redaguvati Deyaki avtori vistupayut za vikoristannya parametru t displaystyle tau nbsp yak takij sho viznachaye shirinu rozpodilu zamist vidhilennya s displaystyle sigma nbsp abo dispersiyi s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Cej parametr yak pravilo viznachayetsya yak obernena dispersiya 1 s 2 displaystyle 1 sigma 2 nbsp 5 Formula rozpodilu todi prijmaye nastupnij viglyad f x t 2 p e t x m 2 2 displaystyle f x sqrt frac tau 2 pi e tau x mu 2 2 nbsp Cej variant yak stverdzhuyut maye perevagi pri vikonanni chiselnih rozrahunkiv koli s displaystyle sigma nbsp maye znachennya duzhe blizke do nulya i v deyakih kontekstah sproshuye formuli napriklad u Bayesovij statistici vipadkovih velichin iz bagatovimirnim normalnim rozpodilom Takozh koeficiyent mozhe viznachatisya yak obernene vidhilennya t 1 s displaystyle tau prime 1 sigma nbsp todi viraz normalnogo rozpodilu stane nastupnim f x t 2 p e t 2 x m 2 2 displaystyle f x frac tau prime sqrt 2 pi e tau prime 2 x mu 2 2 nbsp Na dumku Stinglera take formulyuvannya maye perevagi u shvidkomu zapam yatovuvanni formuli i dozvolyaye mati proste nablizhennya formul dlya kvantiliv rozpodilu Osoblivist RedaguvatiYaksho vipadkovi velichini X Y displaystyle X Y nbsp mayut normalnij rozpodil imovirnostej to yih suma Z X Y displaystyle Z X Y nbsp riznicya V X Y displaystyle V X Y nbsp takozh budut normalno rozpodileni a dobutok U X Y displaystyle U XY nbsp velichin X Y displaystyle X Y nbsp ne bude pidporyadkovanij normalnomu rozpodilu 6 Vlastivosti RedaguvatiNormalnij rozpodil iz funkciyeyu gustini f x displaystyle f x nbsp matematichnim spodivannyam m displaystyle mu nbsp i standartnim vidhilennyam s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp maye nastupni vlastivosti Vin simetrichnij vidnosno tochki x m displaystyle x mu nbsp yaka odnochasno ye modoyu medianoyu i serednim znachennyam rozpodilu 7 Rozpodil ye odnomodalnim jogo persha pohidna dodatna pri x lt m displaystyle x lt mu nbsp vid yemna pri x gt m displaystyle x gt mu nbsp i dorivnyuye nulyu lishe v tochci x m displaystyle x mu nbsp Plosha sho obmezhena pid krivoyu i vissyu x displaystyle x nbsp dorivnyuye odinici Yiyi funkciya gustini maye dvi tochki pereginu de druga pohidna funkciyi f displaystyle f nbsp dorivnyuye nulyu i zminyuye znak sho vidneseni vid serednogo na velichinu odnogo standartnogo vidhilennya tobto na x m s displaystyle x mu sigma nbsp i x m s displaystyle x mu sigma nbsp 7 Gustina ye logarifmichno ugnutoyu funkciyeyu 7 Funkciya gustini ye neskinchenno diferencijovanoyu i supergladkoyu en poryadku 2 8 Krim togo gustina f displaystyle varphi nbsp standartnogo normalnogo vidhilennya tobto z m 0 displaystyle mu 0 nbsp i s 1 displaystyle sigma 1 nbsp maye takozh nastupni vlastivosti Yiyi persha pohidna dorivnyuye f x x f x displaystyle varphi prime x x varphi x nbsp Yiyi druga pohidna dorivnyuye f x x 2 1 f x displaystyle varphi prime prime x x 2 1 varphi x nbsp V zagalnomu vipadku yiyi n ta pohidna dorivnyuye f n x 1 n He n x f x displaystyle varphi n x 1 n operatorname He n x varphi x nbsp de He n x displaystyle operatorname He n x nbsp ye n im imovirnisnij polinomom Ermita 9 Jmovirnist togo sho normalno rozpodilena vipadkova velichina X displaystyle X nbsp iz vidomimi m displaystyle mu nbsp i s displaystyle sigma nbsp znahoditsya v pevnomu promizhku mozhna rozrahuvati iz vidomogo faktu sho chastka Z X m s displaystyle Z X mu sigma nbsp maye standartnij normalnij rozpodil Log normalnij rozpodil RedaguvatiFunkciya rozpodilu F y v yakij logarifm velichini ye normalno rozpodilenim F y f g a u s s ln y displaystyle F y f gauss ln y nbsp de f g a u s s x displaystyle f gauss x nbsp funkciya rozpodilu Gausa Takoyu funkciyeyu opisuyetsya rozpodil chastinok aerozolyu za rozmirami 10 Kumulyativna funkciya rozpodilu jmovirnostej RedaguvatiKumulyativna funkciya rozpodilu jmovirnostej standartnogo normalnogo rozpodilu zazvichaj poznachayut velikoyu greckoyu literoyu F displaystyle Phi nbsp fi ye nastupnim integralom F x 1 2 p x e t 2 2 d t displaystyle Phi x frac 1 sqrt 2 pi int infty x e t 2 2 dt nbsp V statistici chasto zastosovuyut sporidnenu funkciyi pomilok abo erf x displaystyle operatorname erf x nbsp sho viznachena yak imovirnist vipadkovoyi velichini iz normalnim rozpodilom sho maye nulove serednye i dispersiyu 1 2 displaystyle 1 2 nbsp potrapiti u promizhok znachen x x displaystyle x x nbsp sho zapisuyetsya nastupnim chinom erf x 2 p 0 x e t 2 d t displaystyle operatorname erf x frac 2 sqrt pi int 0 x e t 2 dt nbsp Ci integrali ne mozhlivo viraziti za dopomogoyu elementarnih funkcij sho chasto nazivayut specialnimi funkciyami Odnak isnuye bagato vidomih chiselnih aproksimacij div below Ci dvi funkciyi tisno pov yazani odna z odnoyu a same F x 1 2 1 erf x 2 displaystyle Phi x frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac x sqrt 2 right right nbsp Dlya vipadku zagalnogo normalnogo rozpodilu iz gustinoyu f displaystyle f nbsp serednim m displaystyle mu nbsp i vidhilennyam s displaystyle sigma nbsp kumulyativna funkciya rozpodilu bude nastupnoyu F x F x m s 1 2 1 erf x m s 2 displaystyle F x Phi left frac x mu sigma right frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac x mu sigma sqrt 2 right right nbsp Komponentu kumulyativnoyi funkciyi standartnogo normalnogo rozpodilu Q x 1 F x displaystyle Q x 1 Phi x nbsp chasto nazivayut Q funkciyeyu en osoblivo v tehnichnij sferi 11 12 Vona zadaye jmovirnist togo sho znachennya standartnoyi normalnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp bude perevishuvati znachennya x displaystyle x nbsp P X gt x displaystyle P X gt x nbsp Takozh inodi mozhut vikoristovuvatisya inshi viznachennya Q displaystyle Q nbsp funkciyi usi pov yazani iz prostimi peretvorennyami F displaystyle Phi nbsp 13 Grafik kumulyativnoyi funkciyi standartnogo normalnogo rozpodilu F displaystyle Phi nbsp maye 2 displaystyle 2 nbsp kratnu obertovu simetriyu dovkola tochki 0 1 2 displaystyle 0 1 2 nbsp sho zadayetsya yak F x 1 F x displaystyle Phi x 1 Phi x nbsp yiyi pervisna neviznachenij integral dorivnyuye F x d x x F x f x C displaystyle int Phi x dx x Phi x varphi x C nbsp Kumulyativna funkciya rozpodilu jmovirnostej standartnogo normalnogo rozpodilu mozhe rozkladatisya v ryad za dopomogoyu integruvannya chastinami F x 1 2 1 2 p e x 2 2 x x 3 3 x 5 3 5 x 2 n 1 2 n 1 displaystyle Phi x frac 1 2 frac 1 sqrt 2 pi cdot e x 2 2 left x frac x 3 3 frac x 5 3 cdot 5 cdots frac x 2n 1 2n 1 cdots right nbsp de displaystyle nbsp poznachaye Podvijnij faktorial Centralna granichna teorema Redaguvati nbsp Iz zbilshennyam kilkosti diskretnih podij funkciya pochinaye nagaduvati normalnij rozpodil nbsp Porivnyannya funkcij gustini imovirnosti p k displaystyle p k nbsp dlya sumi iz n displaystyle n nbsp pidkiduvan 6 grannoyi gralnoyi kistki sho pokazuye yihnyu zbizhnist do normalnogo rozpodilu iz zbilshennyam n a displaystyle na nbsp sho vidpovidaye centralnij granichnij teoremi Na grafiku pravoruch vnizu pokazani masshtabovani nakladeni odin na odnogo zgladzheni mezhi poperednih grafikiv i yih porivnyannya iz normalnim rozpodilom chorna kriva Dokladnishe Centralna granichna teoremaCentralna granichna teorema stverdzhuye sho pri pevnih umovah suma bagatoh vipadkovih velichin bude mati rozpodil blizkij do normalnogo rozpodilu Zokrema yaksho X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp nezalezhni i odnakovo rozpodileni vipadkovi velichini iz odnakovim rozpodilom nulovim serednim i dispersiyeyu s 2 displaystyle sigma 2 nbsp i z Z displaystyle Z nbsp ye yihnim serednim masshtabovanim na n displaystyle sqrt n nbsp Z n 1 n i 1 n X i displaystyle Z sqrt n left frac 1 n sum i 1 n X i right nbsp Todi iz zbilshennyam n displaystyle n nbsp rozpodil imovirnostej velichini Z displaystyle Z nbsp bude zbigatisya iz normalnim rozpodilom iz nulovim serednim i dispersiyeyu s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Teoremu mozhna poshiriti i dlya vipadku koli velichini X i displaystyle X i nbsp ne ye nezalezhnimi i abo ne ye odnakovo rozpodilenimi ale todi ye umovi na stepeni zalezhnosti i momenti rozpodiliv Bagato statistichnih kriteriyiv funkcij vnesku i statistichnih ocinok sho zastosovuyutsya na praktici mistyat v svoyij osnovi sumi pevnih vipadkovih velichin i navit she bilshu kilkist statistichnih ocinok mozhna predstaviti yak sumu vipadkovih velichin vikoristovuyuchi funkciyi vplivu Centralna granichna teorema stverdzhuye sho taki statistichni parametri budut mati asimptotichno normalni rozpodili Centralna granichna teorema takozh peredbachaye sho pevni rozpodili mozhlivo aproksimuvati za dopomogoyu normalnogo rozpodilu napriklad Binomialnij rozpodil B n p displaystyle B n p nbsp ye nablizheno normalnim iz serednim n p displaystyle np nbsp i dispersiyeyu n p 1 p displaystyle np 1 p nbsp pri velikih n displaystyle n nbsp i pri p displaystyle p nbsp sho ne ye dosit blizke do 0 displaystyle 0 nbsp abo 1 displaystyle 1 nbsp Rozpodil Puassona iz parametrom l displaystyle lambda nbsp ye nablizheno normalnim iz serednim l displaystyle lambda nbsp i dispersiyeyu l displaystyle lambda nbsp pri velikih znachennyah l displaystyle lambda nbsp 14 Rozpodil hi kvadrat x 2 k displaystyle chi 2 k nbsp ye nablizheno normalnim iz serednim k displaystyle k nbsp i dispersiyeyu 2 k displaystyle 2k nbsp dlya velikih k displaystyle k nbsp t rozpodil Styudenta t n displaystyle t nu nbsp ye nablizheno normalnim iz serednim 0 displaystyle 0 nbsp i dispersiyeyu 1 displaystyle 1 nbsp pri velikih n displaystyle nu nbsp Naskilki dostatnoyu ye tochnist takih aproksimacij zalezhit vid zadachi v yakij voni zastosovuyutsya i shvidkosti zbizhnosti do normalnogo rozpodilu Yak pravilo taki aproksimaciyi ye mensh tochnimi na kincyah rozpodilu Zagalna verhnya mezha pohibki aproksimaciyi dlya centralnoyi granichnoyi teoremi zadayetsya teoremoyu Berri Essena en polipshennya aproksimaciyi dosyagayetsya za dopomogoyu ryadiv Edzhvorta en Div takozh RedaguvatiVipadkova velichina Peretvorennya Boksa Myullera Stupin doviri do vimiriv Gaussovij q rozpodil Rozpodil Gausa na lokalno kompaktnij abelevij grupiDzherela Redaguvati nbsp Portal Matematika Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Primitki Redaguvati Za dovedennyam cogo div Gaussiv integral Stigler 1982 Halperin Hartley ta Hoel 1965 item 7 McPherson 1990 s 110 Bernardo ta Smith 2000 s 121 Pryaha B Oznachennya sumi riznici ta dobutku vipadkovih velichin Arhivovano 6 chervnya 2015 u Wayback Machine Geodeziya kartografiya i aerofotoznimannya Mizhvidomchij naukovo tehnichnij zbirnik L Vidavnictvo Nacionalnogo universitetu Lvivska politehnika 2009 Vip 72 S 41 49 a b v Patel ta Read 1996 2 1 4 Fan 1991 s 1258 Patel ta Read 1996 2 1 8 Glosarij terminiv z himiyi J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Doneck Veber 2008 758 s ISBN 978 966 335 206 0 Scott Clayton Nowak Robert 7 serpnya 2003 The Q function Connexions Arhiv originalu za 12 sichnya 2012 Procitovano 6 chervnya 2018 Barak Ohad 6 kvitnya 2006 Q Function and Error Function Tel Aviv University Arhiv originalu za 25 bereznya 2009 Proignorovano nevidomij parametr df dovidka Weisstein Eric W Normal Distribution Function angl na sajti Wolfram MathWorld Normal Approximation to Poisson Distribution Stat ucla edu Arhiv originalu za 2 bereznya 2017 Procitovano 3 bereznya 2017 nbsp Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Normalnij rozpodil amp oldid 37224609