Розподіл хі-квадрат (χ²-розподіл) з 'n' ступенями вільності — неперервний розподіл, що визначається як розподіл суми квадратів 'n' (незалежних) випадкових величин з (стандартним нормальним розподілом). Тобто якщо ξ1, ..., ξn — незалежні стандартні нормальні випадкові величини, то випадкова величина Xn2=ξ12+...+ξn2 матиме розподіл хі-квадрат з 'n' ступенями вільності.
Хі-квадрат | |
---|---|
Функція розподілу ймовірностей | |
Параметри | — ступенів свободи |
(Носій функції) | |
(Розподіл імовірностей) | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
(Середнє) | k |
(Медіана) | |
(Мода) | max{ k − 2, 0 } |
(Дисперсія) | 2k |
(Коефіцієнт асиметрії) | |
(Коефіцієнт ексцесу) | 12 / k |
(Ентропія) | |
(Твірна функція моментів) (mgf) | (1 − 2 t)−k/2 for t < ½ |
(Характеристична функція) | (1 − 2 i t)−k/2 |
Розподіл хі-квадрат є одним з найважливіших у (статистиці). Зокрема він використовується у критеріях хі-квадрат (наприклад (критерії узгодженості Пірсона)).
Розподіл хі-квадрат є частковим випадком (гамма-розподілу).
Вступ
Ланкастер показав зв'язок між (біноміальним), (нормальним) і хі-квадрат розподілами, як показано нижче. (Де Муавр) і (Лаплас) встановили, що біноміальний розподіл можна наблизити через нормальний розподіл. Точніше вони показали асимптотичну нормальність випадкової величини
де m — це спостережена кількість успіхів в N спробах, де ймовірність успіху p, а q = 1 − p.
Підносимо до квадрату обидві частини рівняння
Використовуючи N = Np + N(1 − p), N = m + (N − m), та q = 1 − p, це рівняння спрощується до
Вираз праворуч має форму, яку Пірсон узагальнив до:
де
- — кумулятивна тестова статистика Пірсона, яка асимптотично наближується до розподілу.
- — кількість спостережень типу i.
- — очікувана (теоретична) частота типу i, згідно з нульовою гіпотезою, яка стверджує, що частка типу i в популяції становить
- — кількість комірок в таблиці.
У випадку біноміального виходу (підкидання монети), біноміальний розподіл можна апроксимувати через нормальний (для досить великих n). З того, що квадрат нормального розподілу — це розподіл хі-квадрат з одним ступенем вільності, ймовірність результату як-от 1 аверс з 10 спроб, можна апроксимувати через нормальний розподіл чи розподіл хі-квадрат. Однак, багато задач потребують більше ніж два виходи як у біноміальному випадку, натомість вони потребують 3 або більше категорій, що призводить до (поліноміального розподілу). Просто де Муавр і Лаплас шукали і знайшли нормальне наближення до біноміального, Пірсон шукав і знайшов багатовимірне нормальне наближення до поліноміального розподілу. Пірсон показав, що розподіл хі-квадрат, сума багатьох нормальних розподілів, був таким наближенням до поліноміального розподілу.
Розподіл хі-квадрат
Щільність імовірності
Розподіл хі-квадрат зосереджений на додатній півосі і має (щільність):
- ,
де — (гамма-функція).
Функція розподілу
(Функція розподілу) хі-квадрат розподілу записується
При n>+2 χ2-розподіл має (моду) в точці x = n - 2. (Характеристична функція) χ2-розподілу має вигляд f(t)=(1-2it)-n/2.
(Математичне сподівання) і (дисперсія) розподілу хі-квадрат рівні, відповідно, n і 2n.
Властивості χ2-розподілу
- Розподіл хі-квадрат є стійким відносно додавання. Якщо Y1, Y2 незалежні, і , то
- З визначення легко отримати (моменти розподілу) хі-квадрат. Якщо то
- Через (центральну граничну теорему), при великому числі ступенів вільності розподіл випадкової величини може бути наближений нормальним . Точніше по розподілу при .
Застосування
Сума незалежних випадкових величин Xn12+...+Xnk2 з n1, n2 ..., nk ступенями вільності, відповідно, підкоряється хі-квадрат розподілу з n = n1 + n2 + ... + nk ступенями вільності. Завдяки тісному зв'язку з нормальним розподілом χ2-розподіл відіграє важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці. χ2-розподіл, і багато інших розподілів, які визначаються за допомогою χ2-розподілу (наприклад — (розподіл Стьюдента)), описують вибіркові розподіли різних функцій від нормально розподілених результатів спостережень і використовуються для побудови (довірчих інтервалів) і (статистичних критеріїв).
Так, наприклад, для незалежних випадкових величин x1, x2 ..., xn з однаковим нормальним розподілом з (математичним сподіванням) а і (дисперсією) δ2 відношення s2/δ2 ,
де ,
підкоряється χ2-розподілу з n - 1 ступенями вільності при будь-яких значеннях а і δ2. Цей результат покладений в основу побудови довірчих інтервалів і критерію для перевірки гіпотези про невідоме значення дисперсії у разі, коли середнє значення випадкової величини також невідоме (перевірка статистичних гіпотез і (статистична оцінка)).
Особливу популярність у зв'язку з хі-квадрат розподілом отримав (критерій хі-квадрат), заснований на так званій хі-квадрат статистиці Пірсона. Є детальні таблиці χ2-розподілу, зручні для статистичних розрахунків. При великих обсягах вибірок використовують апроксимацію за допомогою нормального розподілу. При , згідно з (центральною граничною теоремою), розподіл нормальної величини прагне до нормального розподілу.
Вперше χ2-розподіл було розглянуто Р.Хельмертом (1876) і (Карлом Пірсоном) (1900).
Джерела
- (Карташов М. В.) Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- (Гнеденко Б. В.) Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : (Наука), 1988. — 446 с.(рос.)
- (Гихман И. И.), (Скороход А. В.), (Ядренко М. В.) Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : (Вища школа), 1988. — 436 с.(рос.)
- William G. Cochran, Annals Math. Stat. 23 (1952), 315-345
Примітки
- M.A. Sanders. Characteristic function of the central chi-square distribution (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 липня 2013. Процитовано 6 березня 2009.(англ.)
- Lancaster, H.O. (1969), The Chi-squared Distribution, Wiley
В іншому мовному розділі є повніша стаття Chi-square distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (серпень 2020)
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет