www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розподіл Пуассона Пуассо нівський розпо діл один з розподілів ймовірностей Цей розподіл названо на честь французького вч

Розподіл Пуассона

Пуассо́нівський розпо́діл — один з розподілів ймовірностей. Цей розподіл названо на честь французького вченого Сімеона Дені Пуассона. Випадкова величина X називається розподіленою за законом Пуассона (або, що те саме, має пуассонівський розподіл) з параметром λ, якщо для неї виконується рівність:

Пуассона
Функція ймовірностей
На горизонтальній осі відкладено значення параметру k. Функцію визначено лише для цілих k. Лінії між точками лише для зручності перегляду.
Функція розподілу ймовірностей
На горизонтальній осі відкладено значення параметру k.
Параметри
Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)

(де це неповна гамма функція та це ціла частина)
Середнє
Медіана зазвичай приблизно
Мода та якщо - ціле
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія

(для великих )
                   
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Популярне пояснення Редагувати

Пуассонівський розподіл справедливий для подій, які мають малу ймовірність чи трапляються нечасто. Ним, наприклад, можна описати ймовірність того, що футболіст заб'є гол у конкретному матчі. Іноді футболіст забиває один гол, рідше два, ще рідше робить хет-трик, Пеле одного разу забив вісім. Найчастіше футболіст не забиває жодного.

Ймовірність забити k голів за гру визначається параметром λ, що є середньою кількістю голів, які забиває футболіст. Якщо λ велике число, то ймовірність має досягати максимуму при якомусь k. В такому разі йдеться радше про баскетболіста, який може набирати, наприклад, 22 очка за гру в середньому. Тоді ймовірність набрати 2 очка буде малою. Ймовірність набрати 42 очка теж буде малою, а максимум ймовірності буде в районі саме 22 очок.

Історія Редагувати

Розподіл вперше було введено Пуассоном (1781-1840) і опубліковано разом із його теорією ймовірності, в 1837 році у своїй роботі Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ( «Дослідження ймовірності судових рішень в кримінальних і цивільних справах "). Робота теоретизувала кількість несправедливих засуджень в тій чи іншій країні, зосередивши увагу на деяких випадкових величинах N, що рахувало число дискретних явищ (іноді звані «події»), які мають місце на заданому інтервалі часу на інтервалі заданої довжини. Раніше результат дав Абрахам де Муавр (1711) в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus у Філософських Працях Королівського Товариства. Це є прикладом закона Стіглера і це спонукало деяких авторів стверджувати, що розподіл Пуассона повинен носити ім'я де Муавра.

Практичне застосування цього розподілу було зроблено Ладіславом Борткевичем в 1898 році, коли йому було дано завдання дослідити число солдатів прусської армії,яких випадково забили коні ногами; цей експеримент ввів розподіл Пуассона в область надійності техніки.

Визначення Редагувати

Дискретна випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром λ> 0, якщо при k = 0, 1, 2... функція ймовірності X визначається за формулою:

де:

Додатне дійсне число λ дорівнює математичному сподіванню X, а також її дисперсії

Розподіл Пуассона може бути застосований до систем з великим числом можливих подій, кожне з яких рідко зустрічається. Скільки таких подій відбуватиметься протягом фіксованого проміжку часу? При правильних обставинах, це випадкове число з розподілом Пуассона.

Традиційне визначення розподілу Пуассона містить два додатки, які можуть легко заповнюватися комп'ютером: ʎ^k і k!. Але їх ділення може також призвести до помилки округлення, яка дуже велика в порівнянні з е^-ʎ, і, отже, дати помилковий результат. Для стабільності функція ймовірності за Пуассоном повинна бути оцінена як

що математично еквівалентне, але є стабільнішим.

Властивості Редагувати

Середнє значення Редагувати

  • Всі напівваріанти розподілу Пуассона дорівнюють математичному сподіванню Х.
  • Математичне сподівання пуассонівського процесу іноді розкладається в добуток інтенсивності і експозиції (або в більш загальному плані виражається у вигляді інтеграла від "функції інтенсивності").

Медіана Редагувати

Оцінки для медіан (v) розподілу відомі і чіткі:

Вищі моменти Редагувати

Вищі моменти розподілу Пуассона є многочлени Тушара λ:

де {фігурні дужки} позначають числа Стірлінга другого роду. Коефіцієнти поліномів мають комбінаторний сенс. Насправді, коли математичне сподівання розподілу Пуассона дорівнює 1, то формула Добіньського каже, що n-ий момент дорівнює числу розбиття множини обсягом n.

Суми розподілених випадкових величин Пуассоном Редагувати

Якщо  є незалежними та , тоді . Є і протилежне твердження теореми Райкова, в якому говориться, що якщо сума двох незалежних випадкових величин розподілених Пуассоном, то і кожен з цих двох незалежних випадкових величин є розподіленим так.

Інші властивості Редагувати

  • Межі для хвостових ймовірностей випадкової величини Пуассона можуть бути отримані за допомогою аргументу нерівності Чернова.

Стрибки значень Пуассона Редагувати

Нехай та незалежні випадкові величини, з тоді ми маємо

Верхня межа доводиться за допомогою стандартної нерівності Чернова.

Нижню межу можна довести, зазначивши, що є ймовірністю того, що , де яка обмежена знизу де - це відстань Кульбака — Лейблера. Відзначаючи далі, що обчислення нижньої межі на безумовній ймовірності дає результат.

Доведення Редагувати

Дослідимо поведінку за умов теореми Пуассона. За формулою Тейлора при

звідки

Експонуванням (2), помноженого на , отримуємо нерівність

Дослідимо тепер поведінку множників правої частини формули Бернуллі. При

Оскільки

З нерівності (3) отримуємо

Оскільки то показники експонент в (6) прямують до А з неперервності експоненціальної функції маємо

Нарешті,

Перемноживши (4), (5), (7) і (8) i перейшовши до границі, отримаємо формулу Пуассона (1).

Двовимірний розподіл Пуассона Редагувати

Такий розподіл було поширено у двовимірному випадку. Функція для цього розподілу така:

при

Маргінальним розподілом є Пуассон(θ1) і Пуассон(θ2), а коефіцієнт кореляції обмежується діапазоном

Простий спосіб для генерації двовимірного розподілу Пуассона : взяти три незалежні розподіли Пуассона зі значеннями і потім встановити . Функція ймовірності двомірного розподілу Пуассона така:

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Puasso nivskij rozpo dil odin z rozpodiliv jmovirnostej Cej rozpodil nazvano na chest francuzkogo vchenogo Simeona Deni Puassona Vipadkova velichina X nazivayetsya rozpodilenoyu za zakonom Puassona abo sho te same maye puassonivskij rozpodil z parametrom l yaksho dlya neyi vikonuyetsya rivnist PuassonaFunkciya jmovirnostej Na gorizontalnij osi vidkladeno znachennya parametru k Funkciyu viznacheno lishe dlya cilih k Liniyi mizh tochkami lishe dlya zruchnosti pereglyadu Funkciya rozpodilu jmovirnostej Na gorizontalnij osi vidkladeno znachennya parametru k Parametri l 0 displaystyle lambda in 0 infty Nosij funkciyi k 0 1 2 displaystyle k in 0 1 2 ldots Rozpodil imovirnostej e l l k k displaystyle frac e lambda lambda k k Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf G k 1 l k for k 0 displaystyle frac Gamma lfloor k 1 rfloor lambda lfloor k rfloor text for k geq 0 de G x y displaystyle Gamma x y ce nepovna gamma funkciya ta k displaystyle lfloor k rfloor ce cila chastina Serednye l displaystyle lambda Mediana zazvichaj priblizno l 1 3 0 02 l displaystyle lfloor lambda 1 3 0 02 lambda rfloor Moda l displaystyle lfloor lambda rfloor ta l 1 displaystyle lambda 1 yaksho l displaystyle lambda cileDispersiya l displaystyle lambda Koeficiyent asimetriyi l 1 2 displaystyle lambda 1 2 Koeficiyent ekscesu l 1 displaystyle lambda 1 Entropiya l 1 log l e l k 0 l k log k k displaystyle lambda 1 log lambda e lambda sum k 0 infty frac lambda k log k k dlya velikih l displaystyle lambda 1 2 log 2 p e l 1 12 l 1 24 l 2 displaystyle frac 1 2 log 2 pi e lambda frac 1 12 lambda frac 1 24 lambda 2 19 360 l 3 O 1 l 4 displaystyle frac 19 360 lambda 3 O left frac 1 lambda 4 right Tvirna funkciya momentiv mgf exp l e t 1 displaystyle exp lambda e t 1 Harakteristichna funkciya exp l e i t 1 displaystyle exp lambda e it 1 P r X k l k k e l displaystyle Pr X k frac lambda k k e lambda k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 1 Zmist 1 Populyarne poyasnennya 2 Istoriya 3 Viznachennya 4 Vlastivosti 4 1 Serednye znachennya 4 2 Mediana 4 3 Vishi momenti 4 4 Sumi rozpodilenih vipadkovih velichin Puassonom 4 5 Inshi vlastivosti 4 6 Stribki znachen Puassona 5 Dovedennya 6 Dvovimirnij rozpodil Puassona 7 Div takozh 8 DzherelaPopulyarne poyasnennya RedaguvatiPuassonivskij rozpodil spravedlivij dlya podij yaki mayut malu jmovirnist chi traplyayutsya nechasto Nim napriklad mozhna opisati jmovirnist togo sho futbolist zab ye gol u konkretnomu matchi Inodi futbolist zabivaye odin gol ridshe dva she ridshe robit het trik Pele odnogo razu zabiv visim Najchastishe futbolist ne zabivaye zhodnogo Jmovirnist zabiti k goliv za gru viznachayetsya parametrom l sho ye serednoyu kilkistyu goliv yaki zabivaye futbolist Yaksho l velike chislo to jmovirnist maye dosyagati maksimumu pri yakomus k V takomu razi jdetsya radshe pro basketbolista yakij mozhe nabirati napriklad 22 ochka za gru v serednomu Todi jmovirnist nabrati 2 ochka bude maloyu Jmovirnist nabrati 42 ochka tezh bude maloyu a maksimum jmovirnosti bude v rajoni same 22 ochok Istoriya RedaguvatiRozpodil vpershe bulo vvedeno Puassonom 1781 1840 i opublikovano razom iz jogo teoriyeyu jmovirnosti v 1837 roci u svoyij roboti Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile Doslidzhennya jmovirnosti sudovih rishen v kriminalnih i civilnih spravah Robota teoretizuvala kilkist nespravedlivih zasudzhen v tij chi inshij krayini zoseredivshi uvagu na deyakih vipadkovih velichinah N sho rahuvalo chislo diskretnih yavish inodi zvani podiyi yaki mayut misce na zadanomu intervali chasu na intervali zadanoyi dovzhini Ranishe rezultat dav Abraham de Muavr 1711 v De Mensura Sortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus u Filosofskih Pracyah Korolivskogo Tovaristva Ce ye prikladom zakona Stiglera i ce sponukalo deyakih avtoriv stverdzhuvati sho rozpodil Puassona povinen nositi im ya de Muavra Praktichne zastosuvannya cogo rozpodilu bulo zrobleno Ladislavom Bortkevichem v 1898 roci koli jomu bulo dano zavdannya dosliditi chislo soldativ prusskoyi armiyi yakih vipadkovo zabili koni nogami cej eksperiment vviv rozpodil Puassona v oblast nadijnosti tehniki Viznachennya RedaguvatiDiskretna vipadkova velichina H maye rozpodil Puassona z parametrom l gt 0 yaksho pri k 0 1 2 funkciya jmovirnosti X viznachayetsya za formuloyu f k l Pr X k l k e l k displaystyle f k lambda Pr X k frac lambda k e lambda k nbsp de e ce chislo Ejlera e 2 71828 k ce faktorial k Dodatne dijsne chislo l dorivnyuye matematichnomu spodivannyu X a takozh yiyi dispersiyil E X Var X displaystyle lambda operatorname E X operatorname Var X nbsp Rozpodil Puassona mozhe buti zastosovanij do sistem z velikim chislom mozhlivih podij kozhne z yakih ridko zustrichayetsya Skilki takih podij vidbuvatimetsya protyagom fiksovanogo promizhku chasu Pri pravilnih obstavinah ce vipadkove chislo z rozpodilom Puassona Tradicijne viznachennya rozpodilu Puassona mistit dva dodatki yaki mozhut legko zapovnyuvatisya komp yuterom ʎ k i k Ale yih dilennya mozhe takozh prizvesti do pomilki okruglennya yaka duzhe velika v porivnyanni z e ʎ i otzhe dati pomilkovij rezultat Dlya stabilnosti funkciya jmovirnosti za Puassonom povinna buti ocinena yakf k l exp k ln l l ln G k 1 displaystyle f k lambda exp left k ln lambda lambda ln Gamma k 1 right nbsp sho matematichno ekvivalentne ale ye stabilnishim Vlastivosti RedaguvatiSerednye znachennya Redaguvati Matematichne spodivannya i dispersiya vipadkovoyi velichini rozpodilenoyi za zakonom Puassona dorivnyuye l Koeficiyentom variaciyi ye l 1 2 displaystyle lambda 1 2 nbsp todi yak indeks dispersiyi dorivnyuye 1 Serednye absolyutne vidhilennya vid serednogo znachennya E X l 2 exp l l l 1 l displaystyle operatorname E X lambda 2 exp lambda frac lambda lfloor lambda rfloor 1 lfloor lambda rfloor nbsp Vsi napivvarianti rozpodilu Puassona dorivnyuyut matematichnomu spodivannyu H Matematichne spodivannya puassonivskogo procesu inodi rozkladayetsya v dobutok intensivnosti i ekspoziciyi abo v bilsh zagalnomu plani virazhayetsya u viglyadi integrala vid funkciyi intensivnosti Mediana Redaguvati Ocinki dlya median v rozpodilu vidomi i chitki l ln 2 n lt l 1 3 displaystyle lambda ln 2 leq nu lt lambda frac 1 3 nbsp Vishi momenti Redaguvati Vishi momenti rozpodilu Puassona ye mnogochleni Tushara l m k i 1 k l i k i displaystyle m k sum i 1 k lambda i left begin matrix k i end matrix right nbsp de figurni duzhki poznachayut chisla Stirlinga drugogo rodu Koeficiyenti polinomiv mayut kombinatornij sens Naspravdi koli matematichne spodivannya rozpodilu Puassona dorivnyuye 1 to formula Dobinskogo kazhe sho n ij moment dorivnyuye chislu rozbittya mnozhini obsyagom n Sumi rozpodilenih vipadkovih velichin Puassonom Redaguvati Yaksho X i Pois l i i 1 n displaystyle X i sim operatorname Pois lambda i i 1 dotsc n nbsp ye nezalezhnimi ta l i 1 n l i displaystyle lambda sum i 1 n lambda i nbsp todi Y i 1 n X i Pois l displaystyle Y left sum i 1 n X i right sim operatorname Pois lambda nbsp Ye i protilezhne tverdzhennya teoremi Rajkova v yakomu govoritsya sho yaksho suma dvoh nezalezhnih vipadkovih velichin rozpodilenih Puassonom to i kozhen z cih dvoh nezalezhnih vipadkovih velichin ye rozpodilenim tak Inshi vlastivosti Redaguvati Rozpodil Puassonom ce bezmezhno podilnij rozpodil Spryamovana vidstan Kulbaka Lejblera Pois l0 vid Pois l zadayetsyaD KL l l 0 l 0 l l log l l 0 displaystyle D text KL lambda mid lambda 0 lambda 0 lambda lambda log frac lambda lambda 0 nbsp Mezhi dlya hvostovih jmovirnostej vipadkovoyi velichini Puassona X Pois l displaystyle X sim operatorname Pois lambda nbsp mozhut buti otrimani za dopomogoyu argumentu nerivnosti Chernova P X x e l e l x x x for x gt l displaystyle P X geq x leq frac e lambda e lambda x x x text for x gt lambda nbsp P X x e l e l x x x for x lt l displaystyle P X leq x leq frac e lambda e lambda x x x text for x lt lambda nbsp Rekurentne spivvidnoshennya k 1 f k 1 l f k 0 f 0 e l displaystyle left begin array l k 1 f k 1 lambda f k 0 10pt f 0 e lambda end array right nbsp Stribki znachen Puassona Redaguvati Nehaj X Poi l displaystyle X sim operatorname Poi lambda nbsp ta Y Poi m displaystyle Y sim operatorname Poi mu nbsp nezalezhni vipadkovi velichini z l lt m displaystyle lambda lt mu nbsp todi mi mayemoe m l 2 l m 2 e l m 2 l m e l m 4 l m P X Y 0 e m l 2 displaystyle frac e sqrt mu sqrt lambda 2 lambda mu 2 frac e lambda mu 2 sqrt lambda mu frac e lambda mu 4 lambda mu leq P X Y geq 0 leq e sqrt mu sqrt lambda 2 nbsp Verhnya mezha dovoditsya za dopomogoyu standartnoyi nerivnosti Chernova Nizhnyu mezhu mozhna dovesti zaznachivshi sho P X Y 0 X Y i displaystyle P X Y geq 0 mid X Y i nbsp ye jmovirnistyu togo sho Z i 2 displaystyle Z geq frac i 2 nbsp de Z Bin i l l m displaystyle Z sim operatorname Bin left i frac lambda lambda mu right nbsp yaka obmezhena znizu 1 i 1 2 e 2 D 0 5 l l m displaystyle frac 1 i 1 2 e left 2D left 0 5 frac lambda lambda mu right right nbsp de D displaystyle D nbsp ce vidstan Kulbaka Lejblera Vidznachayuchi dali sho X Y Poi l m displaystyle X Y sim operatorname Poi lambda mu nbsp obchislennya nizhnoyi mezhi na bezumovnij jmovirnosti daye rezultat Dovedennya RedaguvatiDoslidimo povedinku P n 0 q n 1 p n displaystyle P n 0 q n 1 p n nbsp za umov teoremi Puassona Za formuloyu Tejlora pri 0 p lt 1 displaystyle 0 leq p lt 1 nbsp ln 1 p p p 2 2 1 8 2 0 8 p displaystyle ln 1 p p frac p 2 2 1 theta 2 0 leq theta leq p nbsp zvidki p 1 p ln 1 p p 0 p lt 1 1 2 displaystyle p 1 p leq ln 1 p leq p 0 leq p lt 1 frac 1 sqrt 2 nbsp 2 Eksponuvannyam 2 pomnozhenogo na n displaystyle n nbsp otrimuyemo nerivnist e n p 1 p P n 0 exp n p p lt 1 1 2 displaystyle e np 1 p leq P n 0 leq exp np qquad p lt 1 frac 1 sqrt 2 nbsp 3 Doslidimo teper povedinku mnozhnikiv pravoyi chastini formuli Bernulli Pri n displaystyle n to infty nbsp n m n m n m 1 m n n 1 n m 1 1 m n m 1 1 n 1 m 1 n 1 m n m 1 a a 0 displaystyle n choose m frac n m n m frac 1 m n n 1 n m 1 frac 1 m n m 1 frac 1 n 1 frac m 1 n frac 1 m n m 1 alpha alpha to 0 nbsp 4 Oskilki n p l 1 b b 0 displaystyle np lambda 1 beta beta to 0 nbsp p m l m n m 1 b m displaystyle p m frac lambda m n m 1 beta m nbsp 5 Z nerivnosti 3 otrimuyemo exp l 1 b 1 l 1 b q n exp l 1 b displaystyle exp lambda 1 beta 1 lambda 1 beta leq q n leq exp lambda 1 beta nbsp 6 Oskilki b 0 n displaystyle beta to 0 n to infty nbsp to pokazniki eksponent v 6 pryamuyut do l displaystyle lambda nbsp A z neperervnosti eksponencialnoyi funkciyi mayemo q n e l g g 0 displaystyle q n e lambda gamma gamma to 0 nbsp 7 Nareshti q m 1 l n 1 b m 1 d d 0 displaystyle q m left 1 frac lambda n 1 beta right m 1 delta delta to 0 nbsp 8 Peremnozhivshi 4 5 7 i 8 i perejshovshi do granici otrimayemo formulu Puassona 1 Dvovimirnij rozpodil Puassona RedaguvatiTakij rozpodil bulo poshireno u dvovimirnomu vipadku Funkciya dlya cogo rozpodilu taka g u v exp 8 1 8 12 u 1 8 2 8 12 v 1 8 12 u v 1 displaystyle g u v exp theta 1 theta 12 u 1 theta 2 theta 12 v 1 theta 12 uv 1 nbsp pri8 1 8 2 gt 8 12 gt 0 displaystyle theta 1 theta 2 gt theta 12 gt 0 nbsp Marginalnim rozpodilom ye Puasson 81 i Puasson 82 a koeficiyent korelyaciyi obmezhuyetsya diapazonom0 r min 8 1 8 2 8 2 8 1 displaystyle 0 leq rho leq min left frac theta 1 theta 2 frac theta 2 theta 1 right nbsp Prostij sposib dlya generaciyi dvovimirnogo rozpodilu Puassona X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp vzyati tri nezalezhni rozpodili Puassona Y 1 Y 2 Y 3 displaystyle Y 1 Y 2 Y 3 nbsp zi znachennyami l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp i potim vstanoviti X 1 Y 1 Y 3 X 2 Y 2 Y 3 displaystyle X 1 Y 1 Y 3 X 2 Y 2 Y 3 nbsp Funkciya jmovirnosti dvomirnogo rozpodilu Puassona taka Pr X 1 k 1 X 2 k 2 exp l 1 l 2 l 3 l 1 k 1 k 1 l 2 k 2 k 2 k 0 min k 1 k 2 k 1 k k 2 k k l 3 l 1 l 2 k displaystyle begin aligned amp Pr X 1 k 1 X 2 k 2 amp exp left lambda 1 lambda 2 lambda 3 right frac lambda 1 k 1 k 1 frac lambda 2 k 2 k 2 sum k 0 min k 1 k 2 binom k 1 k binom k 2 k k left frac lambda 3 lambda 1 lambda 2 right k end aligned nbsp Div takozh RedaguvatiPuasson Simeon Deni Rozpodil Bernulli Rozpodil jmovirnostej Shema Bernulli Teorema Puassona Puassonivskij proces Indeks dispersiyi Uzagalnenij rozpodil Puassona na lokalno kompaktnij abelevij grupiDzherela Redaguvati nbsp Portal Matematika Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozpodil Puassona amp oldid 36823210