www.wikidata.uk-ua.nina.az

Схема Бернуллі Проводяться n displaystyle n дослідів у кожному з яких може відбутися певна подія успіх з імовірністю p d

Схема Бернуллі

Проводяться дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю ). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно успіхів у цих дослідах.

Розв'язок:

Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.

Визначення Редагувати

Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

  • Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
  • Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
  • Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.

Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху , тоді ймовірність невдачі .

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в -разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій , який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За -алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Якщо в елементарній події успіх спостерігається разів, а невдача — разів, то . Нехай , тоді . Також є очевидною нормованість імовірності: .

Поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми знайдемо ймовірність . Побудований простір , де  — простір елементарних подій, визначений рівністю (1),  — -алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для випробувань.

Набір чисел називається біноміальним розподілом.

Узагальнення (поліноміальна схема) Редагувати

Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з подій з імовірністю , де . Ймовірність появи разів першої події,  — другої і раз k-ї знайдемо за формулою:

де

Теореми Редагувати

В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Provodyatsya n displaystyle n doslidiv u kozhnomu z yakih mozhe vidbutisya pevna podiya uspih z imovirnistyu p displaystyle p abo ne vidbutisya nevdacha z imovirnistyu q 1 p displaystyle q 1 p Zavdannya znajti jmovirnist otrimannya rivno m displaystyle m uspihiv u cih n displaystyle n doslidah Rozv yazok P n m C n m p m 1 p n m displaystyle P n m C n m p m 1 p n m formula Bernulli Kilkist uspihiv vipadkova velichina yaka maye binomialnij rozpodil Zmist 1 Viznachennya 2 Uzagalnennya polinomialna shema 3 Teoremi 4 DzherelaViznachennya RedaguvatiDlya zastosuvannya shemi Bernulli mayut vikonuvatis taki umovi Kozhne viprobuvannya maye rivno dva rezultati umovno zvani uspihom i nevdacheyu Nezalezhnist viprobuvan rezultat chergovogo eksperimentu ne povinen zalezhati vid rezultativ poperednih eksperimentiv Jmovirnist uspihu povinna buti staloyu fiksovanoyu dlya vsih viprobuvan Rozglyanemo stohastichnij eksperiment z dvoelementnim prostorom elementarnih podij Odnu nazvemo uspihom poznachimo 1 inshu nevdacheyu poznachimo 0 Nehaj imovirnist uspihu 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 nbsp todi jmovirnist nevdachi 1 p q displaystyle 1 p q nbsp Rozglyanemo novij stohastichnij eksperiment yakij polyagaye v n displaystyle n nbsp razovomu povtorenni cogo najprostishogo stohastichnogo eksperimentu Zrozumilo sho prostir elementarnih podij W displaystyle Omega nbsp yakij vidpovidaye comu novomu stohastichnomu eksperimentu bude W a 1 a n a i 0 1 i 1 n displaystyle left Omega a 1 a n a i overline 0 1 i overline 1 n right rbrace nbsp 1 N W 2 n displaystyle N Omega 2 n nbsp Za s displaystyle sigma nbsp algebru podij A displaystyle mathcal A nbsp vizmemo bulean prostoru elementarnih podij P W displaystyle P Omega nbsp 2 Kozhnij elementarnij podiyi w W displaystyle omega in Omega nbsp postavimo u vidpovidnist chislo p w p i 1 n a i q n i 1 n a i displaystyle p omega p sum i 1 n a i q n sum i 1 n a i nbsp Yaksho v elementarnij podiyi w displaystyle omega nbsp uspih sposterigayetsya k displaystyle k nbsp raziv a nevdacha n k displaystyle n k nbsp raziv to p w p k q n k displaystyle p omega p k q n k nbsp Nehaj A k w W i 1 n a i k k 0 n displaystyle A k omega in Omega sum i 1 n a i k k overline 0 n nbsp todi P A k w A k P w C n k p k q n k displaystyle P A k sum omega in A k P omega C n k p k q n k nbsp Takozh ye ochevidnoyu normovanist imovirnosti w W P w k 0 n w A k P w k 0 n C n k p k q n k p q n 1 n 1 displaystyle sum omega in Omega P omega sum k 0 n sum omega in A k P omega sum k 0 n C n k p k q n k p q n 1 n 1 nbsp Postavivshi u vidpovidnist kozhnij podiyi A A displaystyle A in mathcal A nbsp chislove znachennya P A w A P w displaystyle P A sum omega in A P omega nbsp 3 mi znajdemo jmovirnist P A R displaystyle P mathcal A to mathbb R nbsp Pobudovanij prostir W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp de W displaystyle Omega nbsp prostir elementarnih podij viznachenij rivnistyu 1 A displaystyle mathcal A nbsp s displaystyle sigma nbsp algebra viznachena rivnistyu 2 P imovirnist viznachena rivnistyu 3 nazivayetsya shemoyu Bernulli dlya n displaystyle n nbsp viprobuvan Nabir chisel P n k C n k p k q n k k 0 n n N displaystyle P n k C n k p k q n k k overline 0 n n in mathbb N nbsp nazivayetsya binomialnim rozpodilom Uzagalnennya polinomialna shema RedaguvatiZvichajna formula Bernulli zastosovna na vipadok koli za kozhnogo viprobuvannya mozhliva odna z dvoh podij Formulu Bernulli mozhna uzagalniti na vipadok koli za kozhnogo viprobuvannya vidbuvayetsya odna i tilki odna z k gt 2 displaystyle k gt 2 nbsp podij z imovirnistyu p i i 1 2 k displaystyle p i i 1 2 k nbsp de p 1 p k 1 displaystyle p 1 p k 1 nbsp Jmovirnist poyavi m 1 displaystyle m 1 nbsp raziv pershoyi podiyi m 2 displaystyle m 2 nbsp drugoyi i m k displaystyle m k nbsp raz k yi znajdemo za formuloyu P n m 1 m 2 m k n m 1 m 2 m k p 1 m 1 p 2 m 2 p k m k displaystyle P n m 1 m 2 m k frac n m 1 m 2 m k p 1 m 1 p 2 m 2 p k m k nbsp de n m 1 m 2 m k displaystyle n m 1 m 2 m k nbsp Teoremi RedaguvatiV osoblivih umovah za dosit velikih chi dosit malih parametriv dlya shemi Bernulli vikoristovuyut nablizheni formuli z granichnih teorem teorema Puassona lokalna teorema Muavra Laplasa integralna teorema Muavra Laplasa Dzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Poslidovnist viprobuvan shema Bernulli Arhivovano 17 listopada 2020 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Shema Bernulli amp oldid 36823052