www.wikidata.uk-ua.nina.az

Імовірність Імові рність лат probabilitas англ probability числова характеристика можливості того що випадкова подія від

Імовірність

Імові́рність (лат. probabilitas, англ. probability) — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділу математики, що називається теорія ймовірностей.

Випадковою подією називається подія, результат якої не може бути відомий наперед. Навіть у тому разі, коли насправді подія детермінована своїми передумовами, вплив цих передумов може бути настільки складним, що вивести з них наслідок логічно й послідовно, неможливо. Наприклад, при підкиданні монети, сторона на яку монета впаде визначається положенням руки і монети в руці, швидкістю, обертовим моментом тощо, однак, відстежити всі ці фактори практично неможливо, тому результат можна вважати випадковим.

Існують два підходи до означення ймовірності: математично-аксіоматичний і Баєсів. Аксіоматичний підхід, строго сформульований Колмогоровим, будується на припущенні, що ймовірності елементарних випадкових подій задані, і зосереджується на визначенні ймовірностей складних подій, що є сукупністю елементарних. Так, наприклад, при підкиданні шестигранного кубика гральної кості, імовірності випадіння будь-якого числа, вважаються однаковими й рівними 1/6. Виходячи з цього, теорія ймовірності може розрахувати ймовірність того, що сума чисел на двох кубиках становитиме, наприклад, 8.

Баєсів підхід не робить припущень про ймовірності елементарних подій, а намагається отримати їх із аналізу попереднього досвіду, спираючись на теорему Баєса і на попередні гіпотези. Баєсів підхід ближчий до того, як визначаються ймовірності випадкових подій у природознавстві. Оскільки ці ймовірності наперед невідомі, результати серії дослідів розбиваються на сприятливі й несприятливі, й експериментально визначена ймовірність дорівнює відношенню числа сприятливих подій до числа дослідів, тобто частоті подій.

Аксіоматичний підхід

Означення

Нехай Ω = {ω1, ω2 , … , ωn} — простір елементарних подій. Припустімо, що кожній елементарній події ωk можна поставити у відповідність невід'ємне число pk (імовірність події ωk), причому .

Якщо  — випадкова подія і , то

де називається ймовірністю події .

Визначення термінів

  • Умовна ймовірність  — імовірність події B, вирахувана в припущенні, що подія А вже відбулася.
  • Несумісні події — дві випадкові події, якщо вони не можуть відбутися одночасно. Якщо події А та В несумісні, то
  • Повна група подій — система випадкових подій така, що в результаті проведеного випадкового експерименту неодмінно станеться одна з них.

Властивості

  • Імовірність достовірної події дорівнює 1.
  • Імовірність неможливої події дорівнює 0.
  • Імовірність випадкової величини є позитивним числом, що міститься між нулем та одиницею.

Теорема додавання ймовірностей

  • Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій
  • Сума ймовірностей подій Ω = {ω1, ω2 , … , ωn}, що складають повну групу (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці
  • Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу
  • Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи
  • Принцип практичної неможливості малоімовірних подій: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не настане. Цей принцип використовується при розв'язку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (у конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості.

Теорема добутку ймовірностей

  • Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій
  • Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей даних подій
  • Імовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій
  • Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.

Формула повної ймовірності

Нехай подія А може настати при умові появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності події А.

Теорема: Імовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Підхід Баєса

Теорема Баєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, внаслідок якого настала подія А.

Нехай подія А може настати за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності.

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Поставимо своєю задачею визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія А вже настала) імовірності гіпотез. Іншими словами, будемо шукати умовні ймовірності

Знайдемо спочатку умовну ймовірність . За теоремою множення маємо

Звідси

Розкриваючи P(A) за формулою повної ймовірності, отримаємо:

Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези Ві (і=1, 2, …, n) може бути обчислена за формулою

Історія

Гральні кості.

Історично вивчення ймовірності починалося з вивчення стратегій для азартних ігор. Науковий підхід до вивчення починався з робіт Джироламо Кардано, П'єра Ферма, Блеза Паскаля (1654), Християна Гюйгенса (1657), Якоба Бернуллі (1713), Абрахама де Муавра (1718), Томаса Баєса (теорема Баєса) та ін.

Надалі теорія ймовірності розвивалась для потреб оцінки похибок вимірювань у фізичних експериментах. П'єр-Симон Лаплас (1774) першим спробував застосувати закони ймовірності для результатів вимірювань. Даніель Бернуллі (1778) застосував теорію ймовірностей в економіці для оцінки ризиків. Адрієн-Марі Лежандр (1805) розробив метод найменших квадратів для пошуку найкращого наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Карл Фрідріх Гаусс 1809 року довів закон про нормальний розподіл похибок вимірювань.

Також теорія ймовірності розвивалась для потреб статистичної фізики: Джеймс Максвелл, Людвіг Больцман, Альберт Ейнштейн та інші.

Андрій Марков ввів поняття ланцюгів Маркова для стохастичних процесів (1906).

Сучасна теорія ймовірностей, яка базується на теорії міри, була розроблена Андрієм Колмогоровим 1931 року.

Математичне трактування

Див. також: Аксіоматика теорії ймовірностей

Розглянемо експеримент, із множиною можливих результатів. Ця множина всіх можливих результатів називається простором вибірки даного експерименту. Булеаном цього простору вибірки є всі можливі різні колекції можливих результатів. Наприклад, при підкиданні гральної кості може бути отримано шість різних результатів. Однією з колекцій можливих результатів, це множина парних чисел нанесених на кістці. Таким чином, підмножина {1,3,5} є елементом булеану для простору вибірки можливих випадків при підкиданні гральної кістки. Ці колекції називаються «подіями». У даному випадку, {1,3,5} означає подію, що при киданні кістки випаде деяке парне число. Якщо результат, що фактично трапився відповідає заданій події, говорять що дана подія трапилася (відбулася).

Ймовірність співставляє кожній події деяке значення між нулем і одиницею, за умови що події, яка складається з усіх можливих результатів (в нашому випадку, подія {1,2,3,4,5,6}) надається значення одиниці. Аби вважатися ймовірністю, надані значення повинні задовольняти вимозі, що для обраної колекції із несумісних подій (події, що не мають спільних результатів, тобто, події як {1,6}, {3}, і {2,4} всі є несумісними), ймовірність, що принаймні одна з подій трапиться буде задаватися як сума ймовірностей кожної індивідуальної події.

Імовірність події A записують як , , або . Це математичне визначення ймовірності може поширюватися на нескінченні простори подій, і навіть на незліченні простори, використовуючи поняття міри.

Протилежною подією або доповненням події A є подія [не A] (що є такою подією, за якої подія A не відбувається), часто позначається як , або ; її ймовірність задається як P(not A) = 1 − P(A). Наприклад, шанс, що при киданні шестигранної гральної кіски не випаде шість становить 1 – (імовірність випадання грані з цифрою шість) . Див. доповнювальна подія[en] для більш повного пояснення.

Якщо при одному виконанні експеримента виникає дві події A і B, це називають перетином або спільною імовірністю A і B, і позначається як .

Незалежні події

Якщо дві події, A і B є незалежними, тоді їх спільна імовірність буде наступною:

Наприклад, при підкиданні двох монет, шанс що обидві випадуть гербом до гори становить .

Несумісні події

Можуть відбутися дві випадкові події A і B, але вони ніколи не можуть відбутися одночасно при єдиному виконанні експерименту, називаються несумісними подіями.

Якщо дві події є несумісними, то імовірність виникнення їх обох позначається як .

Якщо дві події є несумісними, тоді імовірність виникнення будь-якої з них позначають .

Наприклад, шанс випадання 1 або 2 при киданні шестигранної гральної кістки становить

Події, що не є несумісними

Якщо події не є несумісними, тоді

Наприклад, якщо витягнути одну довільну карту із стандартної колоди карт, шанс витягнути чирви або старші карти (Валет, Дама, Король) (або одночасно і те і інше) становить , оскільки із 52 карт із колоди 13 є чирвами, 12 є старшими картами, і 3 з них є і тим і іншим одночасно: тут група карт із «3 трьох, що є одночасно і тим і іншим» включені у обидві групи «13 чирв» і «12 старших карт», але повинні рахуватися лише раз.

Умовна ймовірність

Умовна ймовірність це імовірність того, що деяка подія A, відбудеться на умови, що відбулася деяка інша подія B. Умовна імовірність позначається як , і читається: «ймовірність A, за умови B». Вона визначається як

Якщо тоді відповідно до цього виразу формально є невизначеною.

Наприклад, якщо в мішку є 2 червоні кульки і 2 сині кульки (загалом 4 кульки), імовірність витягти червону кульку становить ; однак, при витягуванні другої кульки, імовірність того буде це червона чи синя кулька залежить від того, яку кульку було витягнуто з мішка перед тим. Таким чином, якщо було витягнуто червону кульку, імовірність витягнути червону кульку знов буде дорівнювати оскільки лише 1 червона і 2 сині кульки лишаться в мішку.

Підсумок

Підсумок різних імовірностей
Подія Ймовірність
A
не A
A або B
A і B
A за умови B

Приклад

Нехай підкидають симетричний шестигранний кубик із нанесеними на гранях цифрами від 1 до 6. Тоді як простір елементарних подій Ω природно розглянути множину випадіння можливих цифр Ω = {1,2,3,4,5,6}. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія ωі = і є рівноможливою, тому припишемо їй імовірність 1/6. Тим чином побудовано ймовірнісну модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо А — випадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке випало, кратне трьом, тобто А = {3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Застосування

Теорія ймовірностей застосовується у повсякденному житті для оцінки ризиків і статистичного моделювання. У галузі страхування і аналізі ринків для визначення розцінок і прийняття торгових рішень використовують актуарну математику. Урядові служби застосовують імовірнісні методи для екологічного регулювання, аналізу правомірності (Теорія надійності старіння та довголіття), і фінансового регулювання.

Одним із прикладів теорії ймовірності з передбачення торгівлі акціями на біржах є очевидний вплив високої ймовірності виникнення конфліктів на Середньому Сході на ціни на нафту, що має широкий вплив на економіку в цілому. Оціночне передчуття товаровиробника, що війна скоріше призведе до зниження чи підняття ціни на цей товар, передається на інших торговців. Відповідно до цього, імовірності не можна оцінити незалежно і не обов'язково вони є дуже раціональними. Теорія поведінкової економіки виникла саме з метою описати вплив такого групового мислення на утворення цін, політику, на мирний хід розвитку чи конфлікт.

Крім фінансових оцінок, імовірність можна використовувати для аналізу тенденцій в біології (наприклад, розвитку хвороби), а також в екології (e.g. biological Punnett squares). Так само як із випадком фінансів, в якості статистичного методу може використовуватися аналіз ризиків для розрахунку ймовірності виникнення небажаних подій, що може допомогти створити протоколи які дозволяють уникати таких обставин. Ймовірність використовується для створення азартних ігор, таких що казино матиме гарантований прибуток з них, але при тому виплачувати призи гравцям досить часто, аби зберігати інтерес до гри, аби ті продовжували грати.

Відкриття строгих методів оцінки в поєднанні із ймовірнісними оцінками внесло свій вклад у зміни суспільства. Для більшості людей важливим є розуміння як виконуються статистичні оцінки, і як вони впливають на рішення.

Іншим важливим застосуванням теорії ймовірності в повсякденному житті є аналіз надійності. Для багатьох користувацьких продуктів, таких як автомобілі та електронні пристрої, використовують теорію надійності при виробництві продукту, з метою зменшення ймовірності відмови. Ймовірність відмов може впливати на рішення виробника щодо надання гарантії на продукт.

Імовірність і квантова фізика

У квантовій механіці стан системи (частинки) характеризується хвильовою функцією (загалом кажучи вектором стану) — комплекснозначною функцією «координат», квадрат модуля якої інтерпретується як густина імовірності отримання заданих значень «координат». Відповідно до сучасних уявлень імовірнісне визначення стану є повним і причиною ймовірнісного характеру квантової фізики не є якісь «приховані» чинники — це пов'язано з природою самих процесів. У квантовій фізиці виявляються можливими будь-які взаємоперетворення різних частинок, не заборонені тими чи іншими законами збереження. Ці взаємоперетворення підпорядковуються закономірностям — імовірнісним закономірностям. За сучасними уявленнями принципово неможливо передбачити ні момент взаємоперетворення, ні конкретний результат. Можна лише говорити про ймовірності тих чи інших процесів перетворення. Замість точних класичних величин у квантовій фізиці можлива тільки оцінка середніх значень (математичних сподівань) цих величин, наприклад, середнього часу життя частинки.

Див. також

Примітки

  1. Ross, Sheldon. A First course in Probability, 8th Edition. Pages 26–27.
  2. Olofsson (2005) Page 8.
  3. Olofsson (2005), page 9
  4. Olofsson (2005) page 35.
  5. Olofsson (2005) page 29.
  6. Singh, Laurie (2010) «Whither Efficient Markets? Efficient Market Theory and Behavioral Finance». The Finance Professionals' Post, 2010.
  7. Gao, J.Z.; Fong, D.; Liu, X. (April 2011). Mathematical analyses of casino rebate systems for VIP gambling. International Gambling Studies 11 (1): 93–106. doi:10.1080/14459795.2011.552575. 
  8. . archon.educ.kent.edu. Архів оригіналу за 30 вересня 2018. Процитовано 28 травня 2017. 
  9. Gorman, Michael (2011) «Management Insights». Management Science

Література

  • Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — Издание четвертое, дополненное. — М. : Высшая школа, 1972. — 368 с.
  • Теорія ймовірностей, математична статистика та імовірнісні процеси : навч. посіб / Ю. М. Слюсарчук, Й. Я. Хром'як, Л. Л. Джавала, В. М. Цимбал. — Львів : Вид-во Львів. політехніки, 2015. — 364 с. — ISBN 978-617-607-775-6.
  • Сеньо П. С. Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2-ге вид. — К. : Знання, 2007. — 556 с.
  • Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. — 5-те видання. — К. : Центр учбової літератури, 2010. — 424 с.
  • Жлуктенко В. І. Ч. І. Теорія ймовірностей // Теорія ймовірностей і математична статистика. У 2 ч. — КНЕУ, 2000. — 304 с.
  • Донченко В. С., Сидоров М. В.-С., Шарапов М. М. Теорія ймовірностей та математична статистика. — Альма-матер. — К. : Академія, 2009. — 288 с. — ISBN 978-966-580-297-6.
  • Скороход А. В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів. — К. : Вища школа, 1975. — 295 с.
  • Скасків О. Б. Теорія ймовірностей. — К. : І. Е. Чижиков, 2012. — 142 с. — ISBN 978-966-2645-05-7.
  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 10-е изд. — М. : Высшая школа, 2006. — 575 с. — ISBN 5-06-005688-0.

Посилання

Вікіцитати містять висловлювання на тему: Імовірність
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Імовірність
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Imovi rnist lat probabilitas angl probability chislova harakteristika mozhlivosti togo sho vipadkova podiya vidbudetsya v umovah yaki mozhut buti vidtvoreni neobmezhenu kilkist raziv Imovirnist ye osnovnim ponyattyam rozdilu matematiki sho nazivayetsya teoriya jmovirnostej Vipadkovoyu podiyeyu nazivayetsya podiya rezultat yakoyi ne mozhe buti vidomij napered Navit u tomu razi koli naspravdi podiya determinovana svoyimi peredumovami vpliv cih peredumov mozhe buti nastilki skladnim sho vivesti z nih naslidok logichno j poslidovno nemozhlivo Napriklad pri pidkidanni moneti storona na yaku moneta vpade viznachayetsya polozhennyam ruki i moneti v ruci shvidkistyu obertovim momentom tosho odnak vidstezhiti vsi ci faktori praktichno nemozhlivo tomu rezultat mozhna vvazhati vipadkovim Isnuyut dva pidhodi do oznachennya jmovirnosti matematichno aksiomatichnij i Bayesiv Aksiomatichnij pidhid strogo sformulovanij Kolmogorovim buduyetsya na pripushenni sho jmovirnosti elementarnih vipadkovih podij zadani i zoseredzhuyetsya na viznachenni jmovirnostej skladnih podij sho ye sukupnistyu elementarnih Tak napriklad pri pidkidanni shestigrannogo kubika gralnoyi kosti imovirnosti vipadinnya bud yakogo chisla vvazhayutsya odnakovimi j rivnimi 1 6 Vihodyachi z cogo teoriya jmovirnosti mozhe rozrahuvati jmovirnist togo sho suma chisel na dvoh kubikah stanovitime napriklad 8 Bayesiv pidhid ne robit pripushen pro jmovirnosti elementarnih podij a namagayetsya otrimati yih iz analizu poperednogo dosvidu spirayuchis na teoremu Bayesa i na poperedni gipotezi Bayesiv pidhid blizhchij do togo yak viznachayutsya jmovirnosti vipadkovih podij u prirodoznavstvi Oskilki ci jmovirnosti napered nevidomi rezultati seriyi doslidiv rozbivayutsya na spriyatlivi j nespriyatlivi j eksperimentalno viznachena jmovirnist dorivnyuye vidnoshennyu chisla spriyatlivih podij do chisla doslidiv tobto chastoti podij Zmist 1 Aksiomatichnij pidhid 1 1 Oznachennya 1 2 Viznachennya terminiv 1 3 Vlastivosti 1 3 1 Teorema dodavannya jmovirnostej 1 3 2 Teorema dobutku jmovirnostej 1 3 3 Formula povnoyi jmovirnosti 2 Pidhid Bayesa 3 Istoriya 4 Matematichne traktuvannya 4 1 Nezalezhni podiyi 4 2 Nesumisni podiyi 4 3 Podiyi sho ne ye nesumisnimi 4 4 Umovna jmovirnist 4 5 Pidsumok 5 Priklad 6 Zastosuvannya 7 Imovirnist i kvantova fizika 8 Div takozh 9 Primitki 10 Literatura 11 PosilannyaAksiomatichnij pidhid RedaguvatiOznachennya Redaguvati Nehaj W w1 w2 wn prostir elementarnih podij Pripustimo sho kozhnij elementarnij podiyi wk mozhna postaviti u vidpovidnist nevid yemne chislo pk imovirnist podiyi wk prichomu k 1 n p k 1 displaystyle sum k 1 n p k 1 Yaksho A displaystyle A vipadkova podiya i A W displaystyle A subset Omega to p A w k A p k displaystyle p A sum omega k in A p k de p A displaystyle p A nazivayetsya jmovirnistyu podiyi A displaystyle A Viznachennya terminiv Redaguvati Umovna jmovirnist P A B displaystyle P A B imovirnist podiyi B virahuvana v pripushenni sho podiya A vzhe vidbulasya Nesumisni podiyi dvi vipadkovi podiyi yaksho voni ne mozhut vidbutisya odnochasno Yaksho podiyi A ta V nesumisni to A B displaystyle A cap B emptyset Povna grupa podij sistema vipadkovih podij taka sho v rezultati provedenogo vipadkovogo eksperimentu neodminno stanetsya odna z nih Vlastivosti Redaguvati Imovirnist dostovirnoyi podiyi dorivnyuye 1 Imovirnist nemozhlivoyi podiyi dorivnyuye 0 Imovirnist vipadkovoyi velichini ye pozitivnim chislom sho mistitsya mizh nulem ta odiniceyu 0 P A 1 displaystyle 0 leq P A leq 1 Teorema dodavannya jmovirnostej Redaguvati Imovirnist poyavi odniyeyi z dvoh nesumisnih podij dorivnyuye sumi jmovirnosti cih podijP A B P A P B displaystyle P A cup B P A P B yaksho A ta V nesumisni aditivnist Suma jmovirnostej podij W w1 w2 wn sho skladayut povnu grupu sukupnist yedino mozhlivih podij dorivnyuye odiniciP W 1 displaystyle P Omega 1 Suma jmovirnostej protilezhnih podij dorivnyuye odinici Protilezhnimi nazivayut dvi yedino mozhlivi podiyi sho skladayut povnu grupuP A P A 1 displaystyle P A P bar A 1 Imovirnist poyavi hocha b odniyeyi z dvoh sumisnih podij dorivnyuye sumi jmovirnostej cih podij bez imovirnosti yih spilnoyi poyaviP A B P A P B P A B displaystyle P A cup B P A P B P AB Princip praktichnoyi nemozhlivosti maloimovirnih podij yaksho vipadkova podiya maye duzhe malu jmovirnist to praktichno mozhna vvazhati sho v odinichnomu viprobuvanni podiya ne nastane Cej princip vikoristovuyetsya pri rozv yazku praktichnih zadach Dostatno malu jmovirnist pri yakij u konkretnij zadachi podiyu mozhna vvazhati praktichno nemozhlivoyu nazivayut rivnem znachushosti Teorema dobutku jmovirnostej Redaguvati Imovirnist spilnoyi poyavi dvoh nezalezhnih podij dorivnyuye dobutku jmovirnostej cih podijP A B P A P B displaystyle P AB P A P B Imovirnist sukupnoyi poyavi dekilkoh podij nezalezhnih v sukupnosti dorivnyuye dobutku jmovirnostej danih podijP A 1 A 2 A n P A 1 P A 2 P A n displaystyle P A 1 A 2 A n P A 1 P A 2 P A n Imovirnist poyavi hocha b odniyeyi z podij A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 A n nezalezhnih v sukupnosti dorivnyuye riznici mizh odiniceyu ta dobutkom imovirnostej protilezhnih podij A 1 A 2 A n displaystyle bar A 1 bar A 2 bar A n P A 1 q 1 q 2 q n displaystyle P A 1 q 1 q 2 q n Imovirnist spilnoyi poyavi dvoh zalezhnih podij dorivnyuye dobutku jmovirnosti odniyeyi z nih na umovnu jmovirnist inshoyi virahuvanu u pripushenni sho persha podiya vzhe vidbulasya P A B P A P A B displaystyle P AB P A P A B Formula povnoyi jmovirnosti Redaguvati Dokladnishe Formula povnoyi jmovirnostiNehaj podiya A mozhe nastati pri umovi poyavi odniyeyi z nesumisnih podij B 1 B 2 B n displaystyle B 1 B 2 B n sho utvoryuyut povnu grupu Nehaj vidomi jmovirnosti cih podij ta umovni jmovirnosti P B 1 A P B 2 A P B n A displaystyle P B 1 A P B 2 A P B n A podiyi A Teorema Imovirnist podiyi A yaka mozhe nastati lishe za umovi poyavi odniyeyi z nesumisnih podij B 1 B 2 B n displaystyle B 1 B 2 B n sho utvoryuyut povnu grupu dorivnyuye sumi dobutkiv imovirnostej kozhnoyi z cih podij na vidpovidnu umovnu jmovirnist podiyi A P A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A displaystyle P A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A Pidhid Bayesa RedaguvatiDokladnishe Teorema BayesaTeorema Bayesa dozvolyaye pereociniti jmovirnosti gipotez pislya togo yak staye vidomim rezultat viprobuvannya vnaslidok yakogo nastala podiya A Nehaj podiya A mozhe nastati za umovi poyavi odniyeyi z nesumisnih podij B 1 B 2 B n displaystyle B 1 B 2 B n sho utvoryuyut povnu grupu Oskilki zazdalegid nevidomo yaka z cih podij nastane yih nazivayut gipotezami Imovirnist poyavi podiyi A viznachayetsya za formuloyu povnoyi jmovirnosti P A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A displaystyle P A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A Pripustimo sho provedeno viprobuvannya vnaslidok yakogo z yavilasya podiya A Postavimo svoyeyu zadacheyu viznachiti yak zminilisya u zv yazku z tim sho podiya A vzhe nastala imovirnosti gipotez Inshimi slovami budemo shukati umovni jmovirnosti P A B 1 P A B 2 P A B n displaystyle P A B 1 P A B 2 P A B n Znajdemo spochatku umovnu jmovirnist P A B 1 displaystyle P A B 1 Za teoremoyu mnozhennya mayemo P A B 1 P A P A B 1 P B 1 P B 1 A displaystyle P AB 1 P A P A B 1 P B 1 P B 1 A Zvidsi P A B 1 P B 1 P B 1 A P A displaystyle P A B 1 tfrac P B 1 P B 1 A P A Rozkrivayuchi P A za formuloyu povnoyi jmovirnosti otrimayemo P A B 1 P B 1 P B 1 A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A displaystyle P A B 1 tfrac P B 1 P B 1 A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A Analogichno vivodyatsya formuli sho viznachayut umovni jmovirnosti inshih gipotez tobto umovna jmovirnist bud yakoyi gipotezi Vi i 1 2 n mozhe buti obchislena za formuloyu P A B i P B i P B i A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A displaystyle P A B i tfrac P B i P B i A P B 1 P B 1 A P B 2 P B 2 A P B n P B n A Istoriya Redaguvati Gralni kosti Istorichno vivchennya jmovirnosti pochinalosya z vivchennya strategij dlya azartnih igor Naukovij pidhid do vivchennya pochinavsya z robit Dzhirolamo Kardano P yera Ferma Bleza Paskalya 1654 Hristiyana Gyujgensa 1657 Yakoba Bernulli 1713 Abrahama de Muavra 1718 Tomasa Bayesa teorema Bayesa ta in Nadali teoriya jmovirnosti rozvivalas dlya potreb ocinki pohibok vimiryuvan u fizichnih eksperimentah P yer Simon Laplas 1774 pershim sprobuvav zastosuvati zakoni jmovirnosti dlya rezultativ vimiryuvan Daniel Bernulli 1778 zastosuvav teoriyu jmovirnostej v ekonomici dlya ocinki rizikiv Adriyen Mari Lezhandr 1805 rozrobiv metod najmenshih kvadrativ dlya poshuku najkrashogo nablizhenogo rozv yazku nadlishkovo viznachenoyi sistemi Karl Fridrih Gauss 1809 roku doviv zakon pro normalnij rozpodil pohibok vimiryuvan Takozh teoriya jmovirnosti rozvivalas dlya potreb statistichnoyi fiziki Dzhejms Maksvell Lyudvig Bolcman Albert Ejnshtejn ta inshi Andrij Markov vviv ponyattya lancyugiv Markova dlya stohastichnih procesiv 1906 Suchasna teoriya jmovirnostej yaka bazuyetsya na teoriyi miri bula rozroblena Andriyem Kolmogorovim 1931 roku Matematichne traktuvannya RedaguvatiDiv takozh Aksiomatika teoriyi jmovirnostej Rozglyanemo eksperiment iz mnozhinoyu mozhlivih rezultativ Cya mnozhina vsih mozhlivih rezultativ nazivayetsya prostorom vibirki danogo eksperimentu Buleanom cogo prostoru vibirki ye vsi mozhlivi rizni kolekciyi mozhlivih rezultativ Napriklad pri pidkidanni gralnoyi kosti mozhe buti otrimano shist riznih rezultativ Odniyeyu z kolekcij mozhlivih rezultativ ce mnozhina parnih chisel nanesenih na kistci Takim chinom pidmnozhina 1 3 5 ye elementom buleanu dlya prostoru vibirki mozhlivih vipadkiv pri pidkidanni gralnoyi kistki Ci kolekciyi nazivayutsya podiyami U danomu vipadku 1 3 5 oznachaye podiyu sho pri kidanni kistki vipade deyake parne chislo Yaksho rezultat sho faktichno trapivsya vidpovidaye zadanij podiyi govoryat sho dana podiya trapilasya vidbulasya Jmovirnist spivstavlyaye kozhnij podiyi deyake znachennya mizh nulem i odiniceyu za umovi sho podiyi yaka skladayetsya z usih mozhlivih rezultativ v nashomu vipadku podiya 1 2 3 4 5 6 nadayetsya znachennya odinici Abi vvazhatisya jmovirnistyu nadani znachennya povinni zadovolnyati vimozi sho dlya obranoyi kolekciyi iz nesumisnih podij podiyi sho ne mayut spilnih rezultativ tobto podiyi yak 1 6 3 i 2 4 vsi ye nesumisnimi jmovirnist sho prinajmni odna z podij trapitsya bude zadavatisya yak suma jmovirnostej kozhnoyi individualnoyi podiyi 1 Imovirnist podiyi A zapisuyut yak P A displaystyle P A p A displaystyle p A abo Pr A displaystyle text Pr A 2 Ce matematichne viznachennya jmovirnosti mozhe poshiryuvatisya na neskinchenni prostori podij i navit na nezlichenni prostori vikoristovuyuchi ponyattya miri Protilezhnoyu podiyeyu abo dopovnennyam podiyi A ye podiya ne A sho ye takoyu podiyeyu za yakoyi podiya A ne vidbuvayetsya chasto poznachayetsya yak A A A displaystyle overline A A complement neg A abo A displaystyle sim A yiyi jmovirnist zadayetsya yak P not A 1 P A 3 Napriklad shans sho pri kidanni shestigrannoyi gralnoyi kiski ne vipade shist stanovit 1 imovirnist vipadannya grani z cifroyu shist 1 1 6 5 6 displaystyle 1 tfrac 1 6 tfrac 5 6 Div dopovnyuvalna podiya en dlya bilsh povnogo poyasnennya Yaksho pri odnomu vikonanni eksperimenta vinikaye dvi podiyi A i B ce nazivayut peretinom abo spilnoyu imovirnistyu A i B i poznachayetsya yak P A B displaystyle P A cap B Nezalezhni podiyi Redaguvati Yaksho dvi podiyi A i B ye nezalezhnimi todi yih spilna imovirnist bude nastupnoyu P A i B P A B P A P B displaystyle P A mbox i B P A cap B P A P B Napriklad pri pidkidanni dvoh monet shans sho obidvi vipadut gerbom do gori stanovit 1 2 1 2 1 4 displaystyle tfrac 1 2 times tfrac 1 2 tfrac 1 4 4 Nesumisni podiyi Redaguvati Mozhut vidbutisya dvi vipadkovi podiyi A i B ale voni nikoli ne mozhut vidbutisya odnochasno pri yedinomu vikonanni eksperimentu nazivayutsya nesumisnimi podiyami Yaksho dvi podiyi ye nesumisnimi to imovirnist viniknennya yih oboh poznachayetsya yak P A B displaystyle P A cap B P A i B P A B 0 displaystyle P A mbox i B P A cap B 0 Yaksho dvi podiyi ye nesumisnimi todi imovirnist viniknennya bud yakoyi z nih poznachayut P A B displaystyle P A cup B P A abo B P A B P A P B P A B P A P B 0 P A P B displaystyle P A mbox abo B P A cup B P A P B P A cap B P A P B 0 P A P B Napriklad shans vipadannya 1 abo 2 pri kidanni shestigrannoyi gralnoyi kistki stanovit P 1 abo 2 P 1 P 2 1 6 1 6 1 3 displaystyle P 1 mbox abo 2 P 1 P 2 tfrac 1 6 tfrac 1 6 tfrac 1 3 Podiyi sho ne ye nesumisnimi Redaguvati Yaksho podiyi ne ye nesumisnimi todi P A abo B P A B P A P B P A i B displaystyle P left A hbox abo B right P A cup B P left A right P left B right P left A mbox i B right Napriklad yaksho vityagnuti odnu dovilnu kartu iz standartnoyi kolodi kart shans vityagnuti chirvi abo starshi karti Valet Dama Korol abo odnochasno i te i inshe stanovit 13 52 12 52 3 52 11 26 displaystyle tfrac 13 52 tfrac 12 52 tfrac 3 52 tfrac 11 26 oskilki iz 52 kart iz kolodi 13 ye chirvami 12 ye starshimi kartami i 3 z nih ye i tim i inshim odnochasno tut grupa kart iz 3 troh sho ye odnochasno i tim i inshim vklyucheni u obidvi grupi 13 chirv i 12 starshih kart ale povinni rahuvatisya lishe raz Umovna jmovirnist Redaguvati Umovna jmovirnist ce imovirnist togo sho deyaka podiya A vidbudetsya na umovi sho vidbulasya deyaka insha podiya B Umovna imovirnist poznachayetsya yak P A B displaystyle P A mid B i chitayetsya jmovirnist A za umovi B Vona viznachayetsya yak 5 P A B P A B P B displaystyle P A mid B frac P A cap B P B Yaksho P B 0 displaystyle P B 0 todi vidpovidno do cogo virazu formalno P A B displaystyle P A mid B ye neviznachenoyu Napriklad yaksho v mishku ye 2 chervoni kulki i 2 sini kulki zagalom 4 kulki imovirnist vityagti chervonu kulku stanovit 1 2 displaystyle 1 2 odnak pri vityaguvanni drugoyi kulki imovirnist togo bude ce chervona chi sinya kulka zalezhit vid togo yaku kulku bulo vityagnuto z mishka pered tim Takim chinom yaksho bulo vityagnuto chervonu kulku imovirnist vityagnuti chervonu kulku znov bude dorivnyuvati 1 3 displaystyle 1 3 oskilki lishe 1 chervona i 2 sini kulki lishatsya v mishku Pidsumok Redaguvati Pidsumok riznih imovirnostej Podiya JmovirnistA P A 0 1 displaystyle P A in 0 1 ne A P A 1 P A displaystyle P A complement 1 P A A abo B P A B P A P B P A B P A B P A P B yaksho A i B ye nesumisnimi displaystyle begin aligned P A cup B amp P A P B P A cap B P A cup B amp P A P B qquad mbox yaksho A i B ye nesumisnimi end aligned A i B P A B P A B P B P B A P A P A B P A P B yaksho A i B ye nezalezhnimi displaystyle begin aligned P A cap B amp P A B P B P B A P A P A cap B amp P A P B qquad mbox yaksho A i B ye nezalezhnimi end aligned A za umovi B P A B P A B P B P B A P A P B displaystyle P A mid B frac P A cap B P B frac P B A P A P B Priklad RedaguvatiNehaj pidkidayut simetrichnij shestigrannij kubik iz nanesenimi na granyah ciframi vid 1 do 6 Todi yak prostir elementarnih podij W prirodno rozglyanuti mnozhinu vipadinnya mozhlivih cifr W 1 2 3 4 5 6 Yaksho kubik simetrichnij to kozhna elementarna podiya wi i ye rivnomozhlivoyu tomu pripishemo yij imovirnist 1 6 Tim chinom pobudovano jmovirnisnu model eksperimentu yakij polyagaye v pidkidanni shestigrannogo simetrichnogo gralnogo kubika Yaksho A vipadkova podiya yaka polyagaye v tomu sho chislo ochok yake vipalo kratne trom tobto A 3 6 to R A 1 6 1 6 1 3 Zastosuvannya RedaguvatiTeoriya jmovirnostej zastosovuyetsya u povsyakdennomu zhitti dlya ocinki rizikiv i statistichnogo modelyuvannya U galuzi strahuvannya i analizi rinkiv dlya viznachennya rozcinok i prijnyattya torgovih rishen vikoristovuyut aktuarnu matematiku Uryadovi sluzhbi zastosovuyut imovirnisni metodi dlya ekologichnogo regulyuvannya analizu pravomirnosti Teoriya nadijnosti starinnya ta dovgolittya i finansovogo regulyuvannya Odnim iz prikladiv teoriyi jmovirnosti z peredbachennya torgivli akciyami na birzhah ye ochevidnij vpliv visokoyi jmovirnosti viniknennya konfliktiv na Serednomu Shodi na cini na naftu sho maye shirokij vpliv na ekonomiku v cilomu Ocinochne peredchuttya tovarovirobnika sho vijna skorishe prizvede do znizhennya chi pidnyattya cini na cej tovar peredayetsya na inshih torgovciv Vidpovidno do cogo imovirnosti ne mozhna ociniti nezalezhno i ne obov yazkovo voni ye duzhe racionalnimi Teoriya povedinkovoyi ekonomiki vinikla same z metoyu opisati vpliv takogo grupovogo mislennya na utvorennya cin politiku na mirnij hid rozvitku chi konflikt 6 Krim finansovih ocinok imovirnist mozhna vikoristovuvati dlya analizu tendencij v biologiyi napriklad rozvitku hvorobi a takozh v ekologiyi e g biological Punnett squares Tak samo yak iz vipadkom finansiv v yakosti statistichnogo metodu mozhe vikoristovuvatisya analiz rizikiv dlya rozrahunku jmovirnosti viniknennya nebazhanih podij sho mozhe dopomogti stvoriti protokoli yaki dozvolyayut unikati takih obstavin Jmovirnist vikoristovuyetsya dlya stvorennya azartnih igor takih sho kazino matime garantovanij pributok z nih ale pri tomu viplachuvati prizi gravcyam dosit chasto abi zberigati interes do gri abi ti prodovzhuvali grati 7 Vidkrittya strogih metodiv ocinki v poyednanni iz jmovirnisnimi ocinkami vneslo svij vklad u zmini suspilstva 8 Dlya bilshosti lyudej vazhlivim ye rozuminnya yak vikonuyutsya statistichni ocinki i yak voni vplivayut na rishennya Inshim vazhlivim zastosuvannyam teoriyi jmovirnosti v povsyakdennomu zhitti ye analiz nadijnosti Dlya bagatoh koristuvackih produktiv takih yak avtomobili ta elektronni pristroyi vikoristovuyut teoriyu nadijnosti pri virobnictvi produktu z metoyu zmenshennya jmovirnosti vidmovi Jmovirnist vidmov mozhe vplivati na rishennya virobnika shodo nadannya garantiyi na produkt 9 Imovirnist i kvantova fizika RedaguvatiU kvantovij mehanici stan sistemi chastinki harakterizuyetsya hvilovoyu funkciyeyu zagalom kazhuchi vektorom stanu kompleksnoznachnoyu funkciyeyu koordinat kvadrat modulya yakoyi interpretuyetsya yak gustina imovirnosti otrimannya zadanih znachen koordinat Vidpovidno do suchasnih uyavlen imovirnisne viznachennya stanu ye povnim i prichinoyu jmovirnisnogo harakteru kvantovoyi fiziki ne ye yakis prihovani chinniki ce pov yazano z prirodoyu samih procesiv U kvantovij fizici viyavlyayutsya mozhlivimi bud yaki vzayemoperetvorennya riznih chastinok ne zaboroneni timi chi inshimi zakonami zberezhennya Ci vzayemoperetvorennya pidporyadkovuyutsya zakonomirnostyam imovirnisnim zakonomirnostyam Za suchasnimi uyavlennyami principovo nemozhlivo peredbachiti ni moment vzayemoperetvorennya ni konkretnij rezultat Mozhna lishe govoriti pro jmovirnosti tih chi inshih procesiv peretvorennya Zamist tochnih klasichnih velichin u kvantovij fizici mozhliva tilki ocinka serednih znachen matematichnih spodivan cih velichin napriklad serednogo chasu zhittya chastinki Div takozh RedaguvatiIstoriya jmovirnosti Aksiomatika teoriyi jmovirnostej Chastota podiyi Geometrichna jmovirnist Gustina jmovirnosti Formula povnoyi jmovirnosti Umovna jmovirnist Amplituda jmovirnostiPrimitki Redaguvati Ross Sheldon A First course in Probability 8th Edition Pages 26 27 Olofsson 2005 Page 8 Olofsson 2005 page 9 Olofsson 2005 page 35 Olofsson 2005 page 29 Singh Laurie 2010 Whither Efficient Markets Efficient Market Theory and Behavioral Finance The Finance Professionals Post 2010 Gao J Z Fong D Liu X April 2011 Mathematical analyses of casino rebate systems for VIP gambling International Gambling Studies 11 1 93 106 doi 10 1080 14459795 2011 552575 Data Data Analysis Probability and Statistics and Graphing archon educ kent edu Arhiv originalu za 30 veresnya 2018 Procitovano 28 travnya 2017 Gorman Michael 2011 Management Insights Management ScienceLiteratura RedaguvatiKolmogorov A N Osnovnye ponyatiya teorii veroyatnostej 2 e izd Moskva Nauka 1974 119 s ros Gmurman V E Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Izdanie chetvertoe dopolnennoe M Vysshaya shkola 1972 368 s Teoriya jmovirnostej matematichna statistika ta imovirnisni procesi navch posib Yu M Slyusarchuk J Ya Hrom yak L L Dzhavala V M Cimbal Lviv Vid vo Lviv politehniki 2015 364 s ISBN 978 617 607 775 6 Seno P S Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika 2 ge vid K Znannya 2007 556 s Barkovskij V V Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika 5 te vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2010 424 s Zhluktenko V I Ch I Teoriya jmovirnostej Teoriya jmovirnostej i matematichna statistika U 2 ch KNEU 2000 304 s Donchenko V S Sidorov M V S Sharapov M M Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika Alma mater K Akademiya 2009 288 s ISBN 978 966 580 297 6 Skorohod A V Elementi teoriyi jmovirnostej ta vipadkovih procesiv K Visha shkola 1975 295 s Skaskiv O B Teoriya jmovirnostej K I E Chizhikov 2012 142 s ISBN 978 966 2645 05 7 Ventcel E S Teoriya veroyatnostej 10 e izd M Vysshaya shkola 2006 575 s ISBN 5 06 005688 0 Posilannya RedaguvatiVikicitati mistyat vislovlyuvannya na temu ImovirnistVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu ImovirnistImovirnist Slovnik ukrayinskoyi movi v 11 t Kiyiv Naukova dumka 1970 1980 Jmovi rnostej Teo riya Arhivovano 23 kvitnya 2016 u Wayback Machine Enciklopediya suchasnoyi Ukrayini red kol I M Dzyuba ta in NAN Ukrayini NTSh K Institut enciklopedichnih doslidzhen NAN Ukrayini 2001 2022 ISBN 966 02 2074 X Virtual Laboratories in Probability and Statistics University of Alabama in Huntsville Arhivovano 5 veresnya 2017 u Wayback Machine Virtualna laboratoriya imovirnosti i statistiki Probability and Statistics EBook Arhivovano 16 grudnya 2008 u Wayback Machine angl Figures from the History of Probability and Statistics Univ of Southampton Arhivovano 26 grudnya 2018 u Wayback Machine angl Charles Grinstead Laurie Snell Introduction to Probability Arhivovano 27 lipnya 2011 u Wayback Machine eBook Source Arhivovano 25 bereznya 2012 u Wayback Machine GNU Free Documentation License angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Imovirnist amp oldid 35803827