www.wikidata.uk-ua.nina.az
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Mediana znachennya Media na angl median v statistici ce velichina oznaki sho roztashovana poseredini ranzhovanogo ryadu vibirki 1 tobto ce velichina sho roztashovana v seredini ryadu velichin roztashovanih u zrostalnomu abo spadnomu poryadku 2 v teoriyi jmovirnosti harakteristika rozpodilennya vipadkovoyi velichini Mediana dilit ryad znachen oznaki na dvi rivni chastini po obidvi chastini vid neyi rozmishuyetsya odnakova kilkist odinic sukupnosti 1 Mediana ye kvantilem poryadku 1 2 Poznachayetsya yak x displaystyle tilde x abo x 1 2 displaystyle x 1 2 Zmist 1 Viznachennya 2 Skinchenna mnozhina chisel 3 Istoriya 4 Mediana variacijnogo ryadu 5 Rozpodil imovirnostej 5 1 Mediani okremih rozpodiliv 6 Sukupnosti 6 1 Vlastivist optimalnosti 6 2 Odnomodalni rozpodili 6 3 Nerivnist sho pov yazuye serednye znachennya i medianu 7 Mediana yak ob yektivnij ocinyuvach 8 Primitki 9 Div takozh 10 PosilannyaViznachennya RedaguvatiMedianoyu funkciyi rozpodilu F displaystyle F nbsp nazivayetsya take chislo x displaystyle tilde x nbsp sho 3 F x 1 2 displaystyle F tilde x 1 2 nbsp abo 4 P X lt x P X gt x 1 2 displaystyle P X lt tilde x P X gt tilde x 1 2 nbsp tobto jmovirnist togo sho vipadkova velichina matime znachennya bilshe abo menshe za medianu odnakova i dorivnyuye 1 2 Yaksho funkciya rozpodilu strogo monotonna to mediana viznachayetsya odnoznachno v protilezhnomu vipadku rozv yazkom rivnyannya x F 1 x displaystyle tilde x F 1 x nbsp ye vidrizok x x displaystyle underline x overline x nbsp Z tochki zoru teoriyi jmovirnostej znachennya z cogo vidrizku mozhna ne rozglyadati Takim chinom neodnoznachnist cogo rivnyannya neistotna Abi uniknuti pov yazanih z ciyeyi neodnoznachnostej problem medianoyu mozhna vvazhati najmenshij korin rivnyannya x x displaystyle tilde x underline x nbsp 3 Z geometrichnoyi tochki zoru vertikalna pryama x x displaystyle x tilde x nbsp sho prohodit cherez tochku z abscisoyu x displaystyle tilde x nbsp dilit ploshu figuri pid krivoyu funkciyi rozpodilu na dvi rivni chastini 4 Skinchenna mnozhina chisel RedaguvatiMedianu skinchennoyi mnozhini chisel mozhna znajti vporyadkuvavshi yih v poryadku zrostannya vid najmenshogo chisla do najbilshogo Yaksho kilkist chisel neparna obirayetsya te sho znahoditsya po seredini Napriklad nehaj isnuye takij nabir chisel 1 3 3 6 7 8 9Cej spisok mistit sim chisel Medianoyu ye chetverte iz nih sho ye chislom 6 Yaksho kilkist sposterezhen parna todi ne isnuye yedinogo znachennya po seredini todi medianu zazvichaj viznachayut yak serednye znachennya mizh dvoma chislami po seredini 5 6 Napriklad dlya nastupnogo naboru 1 2 3 4 5 6 8 9mediana ye serednim znachennyam dlya dvoh chisel po seredini vona dorivnyuvatime 4 5 2 tobto 4 5 abo 4 1 2 displaystyle 4 frac 1 2 nbsp Dlya znahodzhennya poziciyi serednogo chisla v vibirci iz n poslidovno vporyadkovanih chisel vikoristovuyetsya formula n 1 2 Cya formula povertaye abo poziciyu serednogo chisla dlya neparnoyi kilkosti znachen abo znahoditsya po seredini mizh dvoma tochkami Napriklad pri kilkosti v 14 znachen formula poverne 7 5 todi medianu neobhidno rozrahovuvati yak serednye znachennya mizh somim i vosmim znachennyam Takim chinom medianu mozhna predstaviti nastupnoyu formuloyu m e d i a n a a x 2 a x 2 0 5 2 displaystyle mathrm median a frac a lfloor x div 2 rfloor a lfloor x div 2 0 5 rfloor 2 nbsp Porivnyannya riznih zagalnih serednih znachen na prikladi vibirki vibirki 1 2 2 3 4 7 9 Tip Opis Priklad RezultatSerednye arifmetichne Suma vsih znachen vibirki podilena na kilkist cih elementiv vibirki x 1 n i 1 n x i displaystyle scriptstyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp 1 2 2 3 4 7 9 7 4Mediana Serednye znachennya sho vidokremlyuye bilshu polovinu i menshu polovinu vibirki 1 2 2 3 4 7 9 3Moda Znachennya sho zustrichayetsya u vibirci najchastishe 1 2 2 3 4 7 9 2Najchastishe medianu zastosovuyut dlya skoshenih ne simetrichnih rozpodiliv de vona dozvolyaye pidsumuvati riznicyu vid arifmetichnogo serednogo Rozglyanemo multimnozhinu 1 2 2 2 3 14 V danomu vipadku mediana dorivnyuye 2 tak samo yak i moda i yiyi mozhna rozglyadati yak bilsh pridatnij indikator centralnoyi tendenciyi sho mensh chutlivij do zmishennya pri nayavnosti viklyuchno velikogo znachennya sered danih nizh arifmetichne serednye sho dorivnyuye 4 Mediana duzhe populyarna mira pidsumkovoyi statistiki oskilki yiyi prosto zrozumiti i legko rozrahuvati a takozh vona bilsh stijka do mozhlivih nayavnih vikidiv u vibirci v porivnyanni iz serednim znachennyam Chasto zustrichayetsya tverdzhennya pro empirichnij zv yazok mizh vidnosnim znahodzhennyam serednogo znachennya i mediani dlya skoshenih rozpodiliv sho naspravdi ne ye virnim v zagalnomu vipadku 7 Odnak isnuye bagato zalezhnostej mizh absolyutnoyu rizniceyu mizh nimi Istoriya RedaguvatiPonyattya mediani pohodit z knigi Edvarda Rajta pro navigaciyu Pomilki v navigaciyi 1599 roku v rozdili z privodu viznachennya roztashuvannya za dopomogoyu kompasa Vin zrozumiv sho virogidnishe vsogo ce znachennya mozhe buti pravilnim v seriyah sposterezhen U 1757 roci Rodzher Dzhosef Boshkovich rozvivav regresivnij metod zasnovanij na normi L1 i na mediani 8 U 1774 roci Laplas zaproponuvav vikoristati medianu yak standartnij ocinyuvach znachennya piznishogo pdf Specifichni kriteriyi mali minimizuvati ochikuvanu velichinu pomilki a a displaystyle alpha alpha nbsp de a ocinka i a spravzhnya cinnist Kriterij Laplasa buv zagalom znehtuvanij protyagom 150 rokiv na korist najmenshogo metodu kvadrativ Gausa i Legengre yakij minimizuye znachennya a a 2 displaystyle alpha alpha 2 nbsp shob otrimati seredinu 9 Poshirennya yak tipovogo oznachennya tak i tipovoyi mediani buli viznacheni Laplasom na pochatku 1800 roku 10 Antuan Avgustin Kurno v 1843 roci buv pershim hto vikoristav termin mediana yak znachennya yake dilit rozpodil virogidnosti na dvi rivni chastini Gustav Teodor Fishner vikoristovuvav medianu Centralwerth v sociologichnih i psihologichnih yavishah 11 Gustav Fishner populyarizuvav medianu u formalnomu analizi danih hocha ce vpershe zrobiv Laplas 11 Francisk Galton vzhiv anglijskij termin mediana v 1881 roci 12 ranishe vikoristovuyuchi seredina najbilshogo znachennya 1869 rik i yak seredina v 1880 roci Mediana variacijnogo ryadu RedaguvatiMedianoyu nazivayut variantu sho dilit variacijnij ryad na dvi chastini z rivnoyu kilkistyu variant Yaksho kilkist variant neparna n 2 k 1 displaystyle n 2k 1 nbsp to x x k 1 displaystyle tilde x x k 1 nbsp u vipadku parnoyi kilkosti variant n 2 k displaystyle n 2k nbsp mediana dorivnyuye 13 x x k x k 1 2 displaystyle tilde x frac x k x k 1 2 nbsp Napriklad dlya ryadu 2 3 5 6 7 mediana dorivnyuye 5 dlya ryadu 2 3 5 6 7 9 mediana dorivnyuye 5 6 2 5 5 Rozpodil imovirnostej Redaguvati nbsp Geometrichna vizualizaciya modi mediani i serednogo znachennya dovilnoyi funkciyi gustini imovirnostej 14 Dlya bud yakogo rozpodilu imovirnostej v mnozhini dijsnih chisel R iz kumulyativnoyu funkciyeyu rozpodilu F ne zalezhno vid togo chi ye ce bud yakim z neperervnih rozpodiliv imovirnosti zokrema absolyutno neperervnij rozpodil sho maye funkciyu gustini imovirnosti abo diskretnij rozpodil imovirnostej medianoyu za viznachennyam ye bud yake dijsne chislo m yake zadovolnyaye nastupnim nerivnostyam P X m 1 2 i P X m 1 2 displaystyle operatorname P X leq m geq frac 1 2 text i operatorname P X geq m geq frac 1 2 nbsp abo ekvivalentni nerivnosti m d F x 1 2 i m d F x 1 2 displaystyle int infty m dF x geq frac 1 2 text i int m infty dF x geq frac 1 2 nbsp v yakih vikoristovuyetsya integral Lebega Stiltyesa Dlya bud yakogo absolyutno neperervnogo rozpodilu imovirnostej iz funkciyeyu gustini imovirnostej ƒ mediana zadovolnyaye umovam P X m P X m m f x d x 1 2 displaystyle operatorname P X leq m operatorname P X geq m int infty m f x dx frac 1 2 nbsp Bud yakij rozpodil imovirnostej v mnozhini R maye prinajmni odnu medianu ale v okremih vipadkah mozhe isnuvati bilshe nizh odna mediana Zokrema yaksho rozpodil imovirnostej dorivnyuye nulyu v intervali a b a kumulyativna funkciya rozpodilu v tochci a prijmaye znachennya 1 2 bud yake znachennya mizh a i b takozh bude medianoyu Mediani okremih rozpodiliv Redaguvati Mediani pevnih tipiv rozpodiliv mozhna legko rozrahuvati za dopomogoyu yih parametriv krim togo cej rozrahunok isnuye navit dlya deyakih rozpodiliv yakim brakuye mozhlivosti dobre viznachiti serednye napriklad dlya rozpodilu Koshi Mediana simetrichnogo unimodalnogo rozpodilu en zbigayetsya iz modoyu Mediana simetrichnogo rozpodilu en yakij maye serednye znachennya m takozh prijmaye znachennya m Mediana normalnogo rozpodilu iz serednim m i dispersiyeyu s2 dorivnyuye m Naspravdi dlya normalnogo rozpodilu dijsnim ye te sho serednye mediani modi Mediana rivnomirnogo rozpodilu u intervali a b dorivnyuye a b 2 sho takozh ye serednim znachennyam Mediana rozpodilu Koshi iz parametrom lokaciyi x0 i parametrom masshtabu y dorivnyuye x0 parametru lokaciyi Mediana eksponencijnogo rozpodilu iz koeficiyentom normi l dorivnyuye naturalnomu logarifmu po 2 rozdilenomu na koeficiyent normi l 1ln 2 Mediana rozpodilu Vejbula iz parametrom formi k i parametrom masshtabu l dorivnyuye l ln 2 1 k Sukupnosti RedaguvatiVlastivist optimalnosti Redaguvati Serednya absolyutna pohibka dijsnoyi zminnoyi c vidnosno vipadkovoyi velichini X viznachayetsya yak E X c displaystyle E left X c right nbsp Za umovi sho rozpodil imovirnostej velichini X ye takim sho vishenavedene spodivannya isnuye todi m ye medianoyu velichini X todi i tilki todi koli m minimizuye serednyu absolyutnu pohibku vidnosno X 15 Zokrema m ye vibirkovoyu medianoyu todi i lishe todi koli m minimizuye arifmetichne serednye absolyutne vidhilennya U bilsh zagalnomu vipadku mediana viznachayetsya yak minimum nastupnogo virazu E X c X displaystyle E X c X nbsp Ce viznachennya mediani na osnovi optimizaciyi ye korisnim u statistichnomu analizi danih napriklad u klasterizaciyi k median Odnomodalni rozpodili Redaguvati nbsp Porivnyannya serednogo mediani i modi dvoh Lognormalnih rozpodiliv iz riznim koeficiyentom asimetriyi Dlya vipadku iz odnomodalnim rozpodilom mozhna pokazati sho mediana X displaystyle tilde X nbsp i serednye X displaystyle bar X nbsp znahodyatsya ne dali nizh na velichinu 3 5 1 2 0 7746 standartnih vidhilen odne vid odnogo 16 U simvolnij formi ce viglyadaye tak X X s 3 5 1 2 displaystyle frac left tilde X bar X right sigma leq left frac 3 5 right frac 1 2 nbsp de ce absolyutne znachennya Analogichne vidnoshennya isnuye dlya mediani i modi voni znahodyatsya v mezhah 31 2 1 732 standartnih vidhilen odna vid odnoyi X m o d e s 3 1 2 displaystyle frac tilde X mathrm mode sigma leq 3 frac 1 2 nbsp Nerivnist sho pov yazuye serednye znachennya i medianu Redaguvati Yaksho rozpodil maye skinchennu dispersiyu todi vidstan mizh medianoyu i serednim obmezhena velichinoyu odnogo standartnogo vidhilennya Cya mezha bula dovedena 17 za dopomogoyu podvijnogo vikoristannya nerivnosti Yensena yak navedeno dali Mayemo m m E X m E X m E X m E X m 2 s displaystyle begin aligned mu m operatorname E X m amp leq operatorname E X m amp leq operatorname E X mu amp leq sqrt operatorname E left X mu 2 right sigma end aligned nbsp Persha i tretya nerivnist buli otrimani z nerivnosti Yensena sho zastosovana do funkciyi iz absolyutnim znachennyam i kvadratichnoyi funkciyi kozhna z yakih ye opukloyu Druga nerivnist otrimana z faktu sho mediana minimizuye funkciyu absolyutnogo vidhilennya a E X a displaystyle a mapsto operatorname E X a nbsp Takozh dovedennya mozhna otrimati iz nerivnosti Kantelli en 18 Cej rezultat mozhna uzagalniti abi otrimati multivariativnij variant nerivnosti 19 nastupnim chinom m m E X m E X m E X m E X m 2 trace var X displaystyle begin aligned mu m operatorname E X m amp leq operatorname E X m amp leq operatorname E X mu amp leq sqrt operatorname E left X mu 2 right sqrt operatorname trace left operatorname var X right end aligned nbsp de m ye prostorovoyu medianoyu yaka minimizuye funkciyu a E X a displaystyle a mapsto operatorname E X a nbsp Prostorova mediana ye unikalnoyu koli dva abo bilshu kilkist vimiriv vibirki 20 21 V analogichnomu dovedenni vikoristovuyut odnostoronnyu nerivnist Chebishova vona z yavlyayetsya u nerivnosti parametriv roztashuvannya i masshtabu rozpodilu Mediana yak ob yektivnij ocinyuvach RedaguvatiGaus zauvazhiv sho bud yakij ob yektivnij ocinyuvach minimizuye rizik ochikuvanu vtratu vidnosno funkciyi pomilkovoyi vtrati Na dumku Laplasa mediana yak ob yektivnij ocinyuvach minimizuye rizik vidnosno funkciyi vtrati absolyutnogo vidhilennya Inshi funkciyi vtrati zastosovuyut v statistichnij teoriyi osoblivo pri perevirci statistichnoyi nadijnosti Teoriyu ob yektivnogo ocinyuvacha zapochatkuvav Dzhordzh Braun v 1947 roci 22 Ocinka odnogo rozmirnogo parametra 8 bude ob yektivnim ocinyuvachem dlya mediani yaksho dlya staloyi 8 mediana poshirennya ocinki znahoditsya v znachenni 8 tobto vidhilennya traplyayutsya ne tak chasto Podalshi vlastivosti mediani yak ob yektivnogo ocinyuvacha buli doslidzheni 23 24 25 26 Zokrema mediana yak ob yektivnij ocinyuvach isnuye u vipadkah de nemozhlivo maksimumu virogidnosti Mediani yak ob yektivni ocinyuvachi invariantni pid odin do odnogo peretvorennyami Primitki Redaguvati a b Sociologicheskij enciklopedicheskij slovar Red koordinator G V Osipov M 1998 Arhiv originalu za 4 travnya 2014 Procitovano 23 listopada 2010 Mediana Arhivovano 4 travnya 2014 u Wayback Machine Rozum org ua a b Kozlov M V Prohorov A V 1987 Vvedenie v matematicheskuyu statistiku Izd vo MGU a b Kremer N Sh 2004 Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Yuniti ISBN 5 238 00573 3 Weisstein Eric W Statistical Median angl na sajti Wolfram MathWorld Simon Laura J Descriptive statistics Arhivovano 2010 07 30 u Wayback Machine Statistical Education Resource Kit Pennsylvania State Department of Statistics Journal of Statistics Education v13n2 Paul T von Hippel amstat org Arhiv originalu za 14 zhovtnya 2008 Procitovano 21 chervnya 2018 Stigler S M 1986 The History of Statistics The Measurement of Uncertainty Before 1900 Harvard University Press ISBN 0674403401 Jaynes E T 2007 Probability theory the logic of science 5 print ed Cambridge u a Cambridge Univ Press p 172 ISBN 978 0 521 59271 0 Laplace PS de 1818 Deuxieme supplement a la Theorie Analytique des Probabilites Paris Courcier a b Keynes J M 1921 A Treatise on Probability Pt II Ch XVII 5 p 201 2006 reprint Cosimo Classics ISBN 9781596055308 multiple other reprints Galton F 1881 Report of the Anthropometric Committee pp 245 260 Report of the 51st Meeting of the British Association for the Advancement of Science Gmurman V E 2003 Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika vid 9 te Vysshaya shkola AP Statistics Review Density Curves and the Normal Distributions Arhiv originalu za 2 kvitnya 2015 Procitovano 16 bereznya 2015 Stroock Daniel 2011 Probability Theory Cambridge University Press s 43 ISBN 978 0 521 13250 3 An Error Occurred Setting Your User Cookie siam org Arhiv originalu za 29 kvitnya 2019 Procitovano 22 chervnya 2018 Mallows Colin August 1991 Another comment on O Cinneide The American Statistician 45 3 257 doi 10 1080 00031305 1991 10475815 K Van Steen Notes on probability and statistics Arhiv originalu za 2 lyutogo 2017 Procitovano 22 chervnya 2018 Piche Robert 2012 Random Vectors and Random Sequences Lambert Academic Publishing ISBN 978 3659211966 Kemperman Johannes H B 1987 The median of a finite measure on a Banach space Statistical data analysis based on the L1 norm and related methods U Dodge Yadolah Papers from the First International Conference held at Neuchatel August 31 September 4 1987 Amsterdam North Holland Publishing Co 217 230 MR 949228 Milasevic Philip Ducharme Gilles R 1987 Uniqueness of the spatial median Annals of Statistics 15 3 1332 1333 MR 902264 doi 10 1214 aos 1176350511 Brown George W 1947 On Small Sample Estimation Annals of Mathematical Statistics 18 4 582 585 doi 10 1214 aoms 1177730349 JSTOR 2236236 Lehmann Erich L 1951 A General Concept of Unbiasedness Annals of Mathematical Statistics 22 4 587 592 doi 10 1214 aoms 1177729549 JSTOR 2236928 Birnbaum Allan 1961 A Unified Theory of Estimation I Annals of Mathematical Statistics 32 1 112 135 doi 10 1214 aoms 1177705145 JSTOR 2237612 van der Vaart H Robert 1961 Some Extensions of the Idea of Bias Annals of Mathematical Statistics 32 2 436 447 doi 10 1214 aoms 1177705051 JSTOR 2237754 MR 125674 Pfanzagl Johann with the assistance of R Hamboker 1994 Parametric Statistical Theory Walter de Gruyter ISBN 3 11 013863 8 MR 1291393 Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika KvantilPosilannya RedaguvatiStatistical Median Arhivovano 30 listopada 2020 u Wayback Machine na MathWorld angl V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Median angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mediana statistika amp oldid 39280456