www.wikidata.uk-ua.nina.az

Експоненційний розподіл Показниковий розподіл абсолютно неперервний розподіл що моделює час між двома послідовними завер

Експоненційний розподіл

Показниковий розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

Визначення Редагувати

Випадкова величина має експоненційний розподіл з параметром , якщо її густина має вигляд

Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом (параметр зсуву )

Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром :

Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

Приклад. Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний . Сам параметр може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.

У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини задана першим рівнянням, і писатимемо: .

Функція розподілу Редагувати

Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу:

Моменти Редагувати

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:

звідки отримуємо всі моменти:

Властивості Редагувати

Відсутність пам'яті Редагувати

Експоненційно розподілена випадкова змінна T підкоряється рівності

Якщо T інтерпретувати як час очікування на настання події відносно деякого початкового часу, це відношення говорить, що якщо T обумовлена неможливістю спостерегти подію протягом певного початкового періоду часу s, розподіл часу очікування, що залишився - такий самий, як і початковий розподіл без умови. Наприклад, якщо подія не трапилась після 30 секунд, умовна ймовірність того, що вона трапиться через щонайменше 10 секунд, дорівнює безумовній ймовірності, що вона трапиться через 10 секунд, не залежно від того чи вона трапилась в перші 30 секунд.

Наприклад, якщо час очікування на дощ - експоненційно розподілена випадкова величина, то ймовірність того, що дощу не буде в наступні дві години, за умови того, що дощ не падав останню годину, дорівнює ймовірності того, що дощу не буде в наступні дві години, якщо немає ніякої інформації про те, падав він до того чи ні.

Експоненційний та геометричний розподіли - це єдині розподіли з відсутністю пам'яті.

Квантилі Редагувати

Квантильна функція (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу, записується:

для . Отже, квантилі:

Розподіл мінімуму експоненційно розподілених випадкових величин Редагувати

Нехай — незалежні випадкові величини розподілені за експоненційним розподілом з параметрами . Тоді

також експоненційна випадкова величина з параметром

В цьому можна переконатися розглянувши доповнювальну функцію розподілу:

Індекс змінної, що є мінімумом, розподілений згідно з законом

Зауважте, що

не є експоненційно розподілена.

Інші властивості Редагувати

Якщо розглядати порядкові статистики , з експоненціальним розподілом генеральної сукупності , то випадкові величини є незалежними.[джерело?]

Експоненційний розподіл у статистиці Редагувати

Розглянемо генеральну сукупність .

Статистика вигляду є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність.

Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок. при . Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.

Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: . Звідси логарифмічна функція правдоподібності:

. Переходимо до випадкової вибірки, маємо: . А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметра , то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра .

Показниковий закон розподілу Редагувати

У найпростішому потоці подій випадкова величина T - інтервал часу між двома послідовними подіями - розподілена за допомогою показникового закону.

Неперервна випадкова величина розподілена за показниковим законом, якщо її густина розподілу має вигляд:

де λ — інтенсивність подій, тобто кількість подій в одиницю часу. Показниковий закон розподілу має тільки один параметр λ.

Таким чином, якщо випадкова величина Х має показниковий закон розподілу з параметром λ>0, це можна записати у вигляді

Показниковий розподіл є неперервним аналогом дискретного геометричного розподілу.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

В іншому мовному розділі є повніша стаття Exponential distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pokaznikovij rozpodil absolyutno neperervnij rozpodil sho modelyuye chas mizh dvoma poslidovnimi zavershennyami odniyeyi i tiyeyi zh podiyi Pokaznikovij rozpodilFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametri l gt 0 displaystyle lambda gt 0 intensivnist abo zvorotnist koeficiyent masshtabuNosij funkciyi x 0 displaystyle x in 0 infty Rozpodil imovirnostej l e l x displaystyle lambda e lambda x Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf 1 e l x displaystyle 1 e lambda x Serednye l 1 displaystyle lambda 1 Mediana ln 2 l displaystyle ln 2 lambda Moda 0 displaystyle 0 Dispersiya l 2 displaystyle lambda 2 Koeficiyent asimetriyi 2 displaystyle 2 Koeficiyent ekscesu 6 displaystyle 6 Entropiya 1 ln l displaystyle 1 ln lambda Tvirna funkciya momentiv mgf 1 t l 1 displaystyle left 1 frac t lambda right 1 Harakteristichna funkciya 1 i t l 1 displaystyle left 1 frac it lambda right 1 Zmist 1 Viznachennya 2 Funkciya rozpodilu 3 Momenti 4 Vlastivosti 4 1 Vidsutnist pam yati 4 2 Kvantili 4 3 Rozpodil minimumu eksponencijno rozpodilenih vipadkovih velichin 4 4 Inshi vlastivosti 5 Eksponencijnij rozpodil u statistici 5 1 Pokaznikovij zakon rozpodilu 6 Div takozh 7 DzherelaViznachennya RedaguvatiVipadkova velichina X displaystyle X nbsp maye eksponencijnij rozpodil z parametrom l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp yaksho yiyi gustina maye viglyad f X x l e l x x 0 0 x lt 0 displaystyle f X x left begin matrix lambda e lambda x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end matrix right nbsp Chasto mozhna bachiti eksponencijnij rozpodil zi zsuvom parametr zsuvu x 0 displaystyle x 0 nbsp f X x l e l x x 0 x x 0 0 x lt x 0 displaystyle f X x left begin matrix lambda e lambda x x 0 amp x geq x 0 0 amp x lt x 0 end matrix right nbsp Inkoli simejstvo eksponencijnih rozpodiliv parametrizuyut zvorotnim parametrom 1 l displaystyle 1 lambda nbsp f X x 1 l e x x 0 l x x 0 0 x lt x 0 displaystyle f X x left begin matrix 1 over lambda e x x 0 over lambda amp x geq x 0 0 amp x lt x 0 end matrix right nbsp Obidva sposobi odnakovo prirodni i neobhidna lishe domovlenist yakij z nih vikoristovuyetsya Priklad Haj ye magazin v yakij chas vid chasu zahodyat pokupci Pri viznachenih dopushennyah chas mizh poyavami dvoh poslidovnih pokupciv bude vipadkovoyu velichinoyu z eksponencijnim rozpodilom Serednij chas ochikuvannya novogo pokupcya div nizhche rivnij 1 l displaystyle 1 lambda nbsp Sam parametr l displaystyle lambda nbsp mozhe buti interpretovanij yak serednye chislo novih pokupciv za odinicyu chasu U cij statti dlya viznachenosti peredbachatimemo sho shilnist eksponencijnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X nbsp zadana pershim rivnyannyam i pisatimemo X E x p l displaystyle X sim mathrm Exp lambda nbsp Funkciya rozpodilu RedaguvatiIntegruyuchi shilnist otrimayemo funkciyu eksponencijnogo rozpodilu F X x 1 e l x x 0 0 x lt 0 displaystyle F X x left begin matrix 1 e lambda x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end matrix right nbsp Momenti RedaguvatiZa dopomogoyu neskladnogo integruvannya znahodimo sho funkciya momentiv dlya eksponencijnogo rozpodilu maye takij viglyad M x t 1 t l 1 displaystyle mathrm M x t left 1 t over lambda right 1 nbsp zvidki otrimuyemo vsi momenti E X n n l n displaystyle mathbb E left X n right frac n lambda n nbsp E X 1 l displaystyle mathbb E X frac 1 lambda nbsp v a r X 1 l 2 displaystyle mathrm var X frac 1 lambda 2 nbsp Vlastivosti RedaguvatiVidsutnist pam yati Redaguvati Eksponencijno rozpodilena vipadkova zminna T pidkoryayetsya rivnosti Pr T gt s t T gt s Pr T gt t s t 0 displaystyle Pr left T gt s t T gt s right Pr T gt t qquad forall s t geq 0 nbsp Yaksho T interpretuvati yak chas ochikuvannya na nastannya podiyi vidnosno deyakogo pochatkovogo chasu ce vidnoshennya govorit sho yaksho T obumovlena nemozhlivistyu sposteregti podiyu protyagom pevnogo pochatkovogo periodu chasu s rozpodil chasu ochikuvannya sho zalishivsya takij samij yak i pochatkovij rozpodil bez umovi Napriklad yaksho podiya ne trapilas pislya 30 sekund umovna jmovirnist togo sho vona trapitsya cherez shonajmenshe 10 sekund dorivnyuye bezumovnij jmovirnosti sho vona trapitsya cherez 10 sekund ne zalezhno vid togo chi vona trapilas v pershi 30 sekund Napriklad yaksho chas ochikuvannya na dosh eksponencijno rozpodilena vipadkova velichina to jmovirnist togo sho doshu ne bude v nastupni dvi godini za umovi togo sho dosh ne padav ostannyu godinu dorivnyuye jmovirnosti togo sho doshu ne bude v nastupni dvi godini yaksho nemaye niyakoyi informaciyi pro te padav vin do togo chi ni Eksponencijnij ta geometrichnij rozpodili ce yedini rozpodili z vidsutnistyu pam yati Kvantili Redaguvati Kvantilna funkciya obernena funkciya rozpodilu dlya eksponencijnogo rozpodilu E l displaystyle E lambda nbsp zapisuyetsya F 1 p l ln 1 p l displaystyle F 1 p lambda frac ln 1 p lambda nbsp dlya 0 p lt 1 displaystyle 0 leq p lt 1 nbsp Otzhe kvantili pershij 25 procentil ln 4 3 l displaystyle ln 4 3 lambda nbsp mediana ln 2 l displaystyle ln 2 lambda nbsp tretij 75 procentil ln 4 l displaystyle ln 4 lambda nbsp Rozpodil minimumu eksponencijno rozpodilenih vipadkovih velichin Redaguvati Nehaj X 1 X n displaystyle X 1 dots X n nbsp nezalezhni vipadkovi velichini rozpodileni za eksponencijnim rozpodilom z parametrami l 1 l n displaystyle lambda 1 dots lambda n nbsp Todi min X 1 X n displaystyle min X 1 dots X n nbsp takozh eksponencijna vipadkova velichina z parametrom l l 1 l n displaystyle lambda lambda 1 cdots lambda n nbsp V comu mozhna perekonatisya rozglyanuvshi dopovnyuvalnu funkciyu rozpodilu Pr min X 1 X n gt x Pr X 1 gt x X n gt x i 1 n Pr X i gt x i 1 n exp x l i exp x i 1 n l i displaystyle begin aligned Pr min X 1 dots X n gt x amp Pr left X 1 gt x text dots text X n gt x right prod i 1 n Pr X i gt x amp prod i 1 n exp x lambda i exp left x sum i 1 n lambda i right end aligned nbsp Indeks zminnoyi sho ye minimumom rozpodilenij zgidno z zakonom Pr X k min X 1 X n l k l 1 l n displaystyle Pr X k min X 1 dots X n frac lambda k lambda 1 cdots lambda n nbsp Zauvazhte sho max X 1 X n displaystyle max X 1 dots X n nbsp ne ye eksponencijno rozpodilena Inshi vlastivosti Redaguvati Yaksho rozglyadati poryadkovi statistiki 3 1 3 2 3 n displaystyle xi 1 xi 2 xi n nbsp z eksponencialnim rozpodilom generalnoyi sukupnosti 3 E x p 1 l x 0 displaystyle xi sim mathrm Exp 1 lambda x 0 nbsp to vipadkovi velichini n 3 1 n i 1 3 i 3 i 1 i 2 n displaystyle n xi 1 n i 1 xi i xi i 1 i 2 n nbsp ye nezalezhnimi dzherelo Eksponencijnij rozpodil u statistici RedaguvatiRozglyanemo generalnu sukupnist 3 E x p 1 l displaystyle xi sim mathrm Exp 1 lambda nbsp Statistika viglyadu 8 3 1 3 n 3 1 n i 1 n 3 i displaystyle hat theta xi 1 ldots xi n bar xi frac 1 n sum limits i 1 n xi i nbsp ye nezmishenoyu konzistentnoyu ta efektivnoyu ocinkoyu parametru l displaystyle lambda nbsp rozpodilu generalnoyi sukupnosti Nezmishenist ye naslidkom togo sho vibirkove serednye ye nezmishenoyu ocinkoyu dlya matematichnogo spodivannya vipadkovoyi velichini rozpodil yakoyi maye generalna sukupnist Konzistentnist Vikoristayemo kriterij konzistentnosti dlya nezmishenih tochkovih ocinok D 3 1 n 2 D i 1 n 3 i 1 n D 3 l 2 n 0 displaystyle mathrm D bar xi frac 1 n 2 mathrm D sum limits i 1 n xi i frac 1 n mathrm D xi frac lambda 2 n to 0 nbsp pri n displaystyle n to infty nbsp Abo mozhna vikoristati te sho vibirkove serednye ye konzistentnoyu ocinkoyu matematichnogo spodivannya Dlya perevirki efektivnosti zapishemo funkciyu pravdopodibnosti L l x 1 x n i 1 n f X l x i 1 l n e 1 l i 1 n x i displaystyle L lambda x 1 dots x n prod limits i 1 n f X lambda x i frac 1 lambda n e frac 1 lambda sum limits i 1 n x i nbsp Zvidsi logarifmichna funkciya pravdopodibnosti ln L l x 1 x n n ln l 1 l i 1 n x i displaystyle ln L lambda x 1 dots x n n ln lambda frac 1 lambda sum limits i 1 n x i nbsp l ln L l x 1 x n n l 1 l 2 i 1 n x i displaystyle frac partial partial lambda ln L lambda x 1 dots x n frac n lambda frac 1 lambda 2 sum limits i 1 n x i nbsp Perehodimo do vipadkovoyi vibirki mayemo l ln L l 3 1 3 n n l n l 2 3 n l 2 3 l displaystyle frac partial partial lambda ln L lambda xi 1 dots xi n frac n lambda frac n lambda 2 bar xi frac n lambda 2 bar xi lambda nbsp A tak yak vibirkove serednye nezmishena ocinka parametra l displaystyle lambda nbsp to za nerivnistyu Rao Kramera dlya nezmishenih tochkovih ocinok otrimuyemo bazhanij rezultat tobto vibirkove serednye ye efektivnoyu ocinkoyu parametra l displaystyle lambda nbsp Pokaznikovij zakon rozpodilu Redaguvati U najprostishomu potoci podij vipadkova velichina T interval chasu mizh dvoma poslidovnimi podiyami rozpodilena za dopomogoyu pokaznikovogo zakonu ViznachennyaNeperervna vipadkova velichina rozpodilena za pokaznikovim zakonom yaksho yiyi gustina rozpodilu maye viglyad f t 0 t lt 0 l e l t t 0 displaystyle f t begin cases 0 amp t lt 0 lambda e lambda t amp t geq 0 end cases nbsp de l intensivnist podij tobto kilkist podij v odinicyu chasu Pokaznikovij zakon rozpodilu maye tilki odin parametr l Takim chinom yaksho vipadkova velichina H maye pokaznikovij zakon rozpodilu z parametrom l gt 0 ce mozhna zapisati u viglyadi X E l displaystyle X in E lambda nbsp Pokaznikovij rozpodil ye neperervnim analogom diskretnogo geometrichnogo rozpodilu Div takozh RedaguvatiGeometrichnij rozpodilDzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Online calculator of Exponential Distribution angl Kozlov M V Prohorov A V Vvedenie v matematicheskuyu statistiku M Izd vo MGU 1987 264 s V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Exponential distribution angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad nbsp Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Eksponencijnij rozpodil amp oldid 40541394