www.wikidata.uk-ua.nina.az

Середнє арифметичне Арифмети чне сере днє в математиці і статистиці сума всіх фіксованих значень набору поділена на кіль

Середнє арифметичне

Арифмети́чне сере́днє (в математиці і статистиці) — сума всіх фіксованих значень набору, поділена на кількість елементів набору. Якщо з контексту зрозуміло, про яке значення йде мова, тоді просто кажуть середнє. Термін середнє арифметичне вживають для того щоб виокремити використовуване значення від інших середніх величин, таких, наприклад, як середнє геометричне або середнє гармонійне.

Середнє арифметичне
Формула
Позначення у формулі
Ідентифікатор NCI Thesaurus C53319

Частковими випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) і вибіркове середнє (вибірки).

Середнє арифметичне використовується також в таких наукових областях як економіка, соціологія та історія. Більш того, можна сказати, що цей термін в певному сенсі присутній в кожній академічній дисципліні. Наприклад, дохід на душу населення обчислюється як національний дохід поділений на чисельність населення.

Хоча середнє значення часто використовують для опису центральних тенденцій, слід розуміти, що така характеристика не є надійною, оскільки суттєво залежить від граничних значень (значення, що суттєво відрізняються від більшості значень). Особливо, для асиметричних розподілів, наприклад, такого як розподіл доходів[en], для якого дохід декількох осіб значно вищий, ніж у більшості людей, і тому арифметичне середнє не відповідає поняттю «середнього» і медіана точніше описує центральну тенденцію.

Визначення

Позначимо множину даних X = (x1, x2, …, xn), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною рискою над змінною (, вимовляється «x з рискою»), як середнє із значень .

Для позначення середнього арифметичного всієї сукупності використовується грецька літера μ. Для випадкової величини, для якої визначено середнє значення, μ є ймовірне середнє значення або математичне сподівання випадкової величини. Якщо множина X є сукупністю випадкових чисел із ймовірним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки xi із цієї сукупності μ = E{xi} є математичне сподівання цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна скоріше вибірку, ніж всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, котра має розподіл ймовірностей на вибірці (ймовірний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються одним і тим же способом:

Якщо X — випадкова змінна, тоді математичне сподівання X можна розглядати як середнє арифметичне значень величини X. Це є проявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується для оцінки невідомого математичного сподівання.

У елементарній алгебрі доведено, що середнє n + 1 чисел більше середнього n чисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і тільки тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менша різниця між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що існує кілька інших «середніх» значень, в тому числі середнє степеневе, квазі-арифметичне середнє, середнє гармонійне, і різноманітні середньо-зважені величини.

Арифметичне середнє не менше від геометричного середнього.

Приклади

  • Для трьох чисел необхідно додати їх і поділити на 3:
  • Для чотирьох чисел необхідно додати їх і поділити на 4:

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому, що ми додавали 2 числа, а значить, скільки чисел додаємо, на стільки і ділимо.

Неперервна випадкова величина

Для неперервно розподіленої величини середнє арифметичне на відрізку визначається через визначений інтеграл:

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність робастності

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне схильне до сильного впливу «великих відхилень». Зазначимо, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) може краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього доходу. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіана, через що може бути зроблений висновок, що людей з великим доходом більше, ніж насправді. «Середній» дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (в сенсі середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, так як високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід по медіані «чинить опір» такому перекосу). Однак, цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно віднестися до понять «середнього» і «більшість народу», то можна зробити неправильний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий дохід в Медині, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, дасть на превеликий подив велике значення через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень з шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Якщо числа перемножувати, а не додавати, потрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється при розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції в перший рік впали на 10 %, а другого року зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення за ці два роки як середнє арифметичне ; правильне середнє значення в цьому випадку дають сукупні щорічні темпи зростання, за якими річне зростання становить тільки близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щораз нову стартову точку: 30 % — це 30 % від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа: якщо акції на початку коштували $30 і впали на 10 %,то вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції виросли на 30 %, то вони в кінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10 %, але оскільки акції виросли за 2 роки всього на $5.1, середнє зростання у 8,2 % дає кінцевий результат $35.1:

. Якщо ж використовувати таким же чином середнє арифметичне значення 10 %, то ми не отримаємо фактичне значення: .

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90 % * 130 % = 117 %, тобто загальний приріст 17 %, а середньорічний складний відсоток (), тобто середньорічний приріст 8,2 %.

Напрями

При розрахунку середнього арифметичного значень деякої змінної, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 180°. Це число невірне з двох причин.

  • По-перше, міри кута визначені тільки для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2 при вимірюванні в радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1° і -1°) або як (1° і 719°). Середні значення кожної з пар будуть відрізнятися: , .
  • По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, так як числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
    • Число 1° відхиляється від 0° всього на 1°;
    • Число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього значення до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто, відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° та 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360° — один градус, між 0° і 1° — теж 1°, в сумі — 2°).

Див. також

Примітки

  1. Medhi, Jyotiprasad (1992). Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International. с. 53—58. ISBN 9788122404197. 

Література

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Arifmeti chne sere dnye v matematici i statistici suma vsih fiksovanih znachen naboru podilena na kilkist elementiv naboru Yaksho z kontekstu zrozumilo pro yake znachennya jde mova todi prosto kazhut serednye Termin serednye arifmetichne vzhivayut dlya togo shob viokremiti vikoristovuvane znachennya vid inshih serednih velichin takih napriklad yak serednye geometrichne abo serednye garmonijne Serednye arifmetichneFormulax 1 n i 1 n x n displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x n Poznachennya u formulix displaystyle overline x Identifikator NCI ThesaurusC53319Chastkovimi vipadkami serednogo arifmetichnogo ye serednye generalnoyi sukupnosti i vibirkove serednye vibirki Serednye arifmetichne vikoristovuyetsya takozh v takih naukovih oblastyah yak ekonomika sociologiya ta istoriya Bilsh togo mozhna skazati sho cej termin v pevnomu sensi prisutnij v kozhnij akademichnij disciplini Napriklad dohid na dushu naselennya obchislyuyetsya yak nacionalnij dohid podilenij na chiselnist naselennya Hocha serednye znachennya chasto vikoristovuyut dlya opisu centralnih tendencij slid rozumiti sho taka harakteristika ne ye nadijnoyu oskilki suttyevo zalezhit vid granichnih znachen znachennya sho suttyevo vidriznyayutsya vid bilshosti znachen Osoblivo dlya asimetrichnih rozpodiliv napriklad takogo yak rozpodil dohodiv en dlya yakogo dohid dekilkoh osib znachno vishij nizh u bilshosti lyudej i tomu arifmetichne serednye ne vidpovidaye ponyattyu serednogo i mediana tochnishe opisuye centralnu tendenciyu Zmist 1 Viznachennya 1 1 Prikladi 1 2 Neperervna vipadkova velichina 2 Deyaki problemi zastosuvannya serednogo 2 1 Vidsutnist robastnosti 2 2 Skladnij vidsotok 2 3 Napryami 3 Div takozh 4 Primitki 5 LiteraturaViznachennya RedaguvatiPoznachimo mnozhinu danih X x1 x2 xn todi vibirkove serednye zazvichaj poznachayetsya gorizontalnoyu riskoyu nad zminnoyu x displaystyle bar x vimovlyayetsya x z riskoyu yak serednye iz n n znachen x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n 1 Dlya poznachennya serednogo arifmetichnogo vsiyeyi sukupnosti vikoristovuyetsya grecka litera m Dlya vipadkovoyi velichini dlya yakoyi viznacheno serednye znachennya m ye jmovirne serednye znachennya abo matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini Yaksho mnozhina X ye sukupnistyu vipadkovih chisel iz jmovirnim serednim m todi dlya bud yakoyi vibirki xi iz ciyeyi sukupnosti m E xi ye matematichne spodivannya ciyeyi vibirki Na praktici riznicya mizh m i x displaystyle bar x u tomu sho m ye tipovoyu zminnoyu tomu sho bachiti mozhna skorishe vibirku nizh vsyu generalnu sukupnist Tomu yaksho vibirku predstavlyati vipadkovim chinom u terminah teoriyi jmovirnostej x displaystyle bar x ale ne m mozhna traktuvati yak vipadkovu zminnu kotra maye rozpodil jmovirnostej na vibirci jmovirnij rozpodil serednogo Obidvi ci velichini obchislyuyutsya odnim i tim zhe sposobom x 1 n i 1 n x i 1 n x 1 x n displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i frac 1 n x 1 cdots x n Yaksho X vipadkova zminna todi matematichne spodivannya X mozhna rozglyadati yak serednye arifmetichne znachen velichini X Ce ye proyavom zakonu velikih chisel Tomu vibirkove serednye vikoristovuyetsya dlya ocinki nevidomogo matematichnogo spodivannya U elementarnij algebri dovedeno sho serednye n 1 chisel bilshe serednogo n chisel todi i tilki todi koli nove chislo bilshe nizh stare serednye menshe todi i tilki todi koli nove chislo menshe serednogo i ne zminyuyetsya todi i tilki todi koli nove chislo dorivnyuye serednomu Chim bilshe n tim mensha riznicya mizh novim i starim serednimi znachennyami Zauvazhimo sho isnuye kilka inshih serednih znachen v tomu chisli serednye stepeneve kvazi arifmetichne serednye serednye garmonijne i riznomanitni seredno zvazheni velichini Arifmetichne serednye ne menshe vid geometrichnogo serednogo Prikladi Redaguvati Dlya troh chisel neobhidno dodati yih i podiliti na 3 x 1 x 2 x 3 3 displaystyle frac x 1 x 2 x 3 3 dd Dlya chotiroh chisel neobhidno dodati yih i podiliti na 4 x 1 x 2 x 3 x 4 4 displaystyle frac x 1 x 2 x 3 x 4 4 dd Abo prostishe 5 5 10 10 2 Tomu sho mi dodavali 2 chisla a znachit skilki chisel dodayemo na stilki i dilimo Neperervna vipadkova velichina Redaguvati Dlya neperervno rozpodilenoyi velichini f x f x serednye arifmetichne na vidrizku a b displaystyle a b viznachayetsya cherez viznachenij integral f x a b 1 b a a b f x d x displaystyle overline f x a b frac 1 b a int a b f x dx Deyaki problemi zastosuvannya serednogo RedaguvatiVidsutnist robastnosti Redaguvati Dokladnishe Robastnist u statisticiHocha serednye arifmetichne chasto vikoristovuyetsya yak seredni znachennya abo centralni tendenciyi ce ponyattya ne vidnositsya do robastnoyi statistiki sho oznachaye sho serednye arifmetichne shilne do silnogo vplivu velikih vidhilen Zaznachimo sho dlya rozpodiliv z velikim koeficiyentom asimetriyi serednye arifmetichne mozhe ne vidpovidati ponyattyu serednogo a znachennya serednogo z robastnoyi statistiki napriklad mediana mozhe krashe opisuvati centralnu tendenciyu Klasichnim prikladom ye pidrahunok serednogo dohodu Arifmetichne serednye mozhe buti nepravilno vitlumacheno yak mediana cherez sho mozhe buti zroblenij visnovok sho lyudej z velikim dohodom bilshe nizh naspravdi Serednij dohid tlumachitsya takim chinom sho dohodi bilshosti lyudej znahodyatsya poblizu cogo chisla Cej serednij v sensi serednogo arifmetichnogo dohid ye vishim nizh dohodi bilshosti lyudej tak yak visokij dohid z velikim vidhilennyam vid serednogo robit silnij perekis serednogo arifmetichnogo na vidminu vid cogo serednij dohid po mediani chinit opir takomu perekosu Odnak cej serednij dohid nichogo ne govorit pro kilkist lyudej poblizu mediannogo dohodu i ne govorit nichogo pro kilkist lyudej poblizu modalnogo dohodu Prote yaksho legkovazhno vidnestisya do ponyat serednogo i bilshist narodu to mozhna zrobiti nepravilnij visnovok pro te sho bilshist lyudej mayut dohodi vishi nizh voni ye naspravdi Napriklad zvit pro serednij chistij dohid v Medini shtat Vashington pidrahovanij yak serednye arifmetichne vsih shorichnih chistih dohodiv zhiteliv dast na prevelikij podiv velike znachennya cherez Billa Gejtsa Rozglyanemo vibirku 1 2 2 2 3 9 Serednye arifmetichne dorivnyuye 3 17 ale p yat znachen z shesti nizhche cogo serednogo Skladnij vidsotok Redaguvati Dokladnishe ROIYaksho chisla peremnozhuvati a ne dodavati potribno vikoristovuvati serednye geometrichne a ne serednye arifmetichne Najchastishe cej kazus traplyayetsya pri rozrahunku okupnosti investicij u finansah Napriklad yaksho akciyi v pershij rik vpali na 10 a drugogo roku zrosli na 30 todi nekorektno obchislyuvati serednye zbilshennya za ci dva roki yak serednye arifmetichne 10 30 2 10 displaystyle frac 10 30 2 10 pravilne serednye znachennya v comu vipadku dayut sukupni shorichni tempi zrostannya za yakimi richne zrostannya stanovit tilki blizko 8 16653826392 8 2 Prichina cogo v tomu sho vidsotki mayut shoraz novu startovu tochku 30 ce 30 vid menshogo nizh cina na pochatku pershogo roku chisla yaksho akciyi na pochatku koshtuvali 30 i vpali na 10 to voni na pochatku drugogo roku koshtuyut 27 Yaksho akciyi virosli na 30 to voni v kinci drugogo roku koshtuyut 35 1 Arifmetichne serednye cogo zrostannya 10 ale oskilki akciyi virosli za 2 roki vsogo na 5 1 serednye zrostannya u 8 2 daye kincevij rezultat 35 1 30 1 0 1 1 0 3 30 1 0 082 1 0 082 35 1 displaystyle 30 1 0 1 1 0 3 30 1 0 082 1 0 082 35 1 Yaksho zh vikoristovuvati takim zhe chinom serednye arifmetichne znachennya 10 to mi ne otrimayemo faktichne znachennya 30 1 0 1 1 0 1 36 3 displaystyle 30 1 0 1 1 0 1 36 3 Skladnij vidsotok naprikinci 2 roku 90 130 117 tobto zagalnij pririst 17 a serednorichnij skladnij vidsotok 117 108 2 displaystyle sqrt 117 approx 108 2 1 17 1 082 displaystyle sqrt 1 17 approx 1 082 tobto serednorichnij pririst 8 2 Napryami Redaguvati Pri rozrahunku serednogo arifmetichnogo znachen deyakoyi zminnoyi sho zminyuyetsya ciklichno napriklad faza abo kut slid viyavlyati osoblivu oberezhnist Napriklad serednye chisel 1 i 359 dorivnyuvatime 1 359 2 displaystyle frac 1 circ 359 circ 2 180 Ce chislo nevirne z dvoh prichin Po pershe miri kuta viznacheni tilki dlya diapazonu vid 0 do 360 abo vid 0 do 2p pi pri vimiryuvanni v radianah Takim chinom tu zh paru chisel mozhna bulo b zapisati yak 1 i 1 abo yak 1 i 719 Seredni znachennya kozhnoyi z par budut vidriznyatisya 1 1 2 0 displaystyle frac 1 circ 1 circ 2 0 circ 1 719 2 360 displaystyle frac 1 circ 719 circ 2 360 circ Po druge v danomu vipadku znachennya 0 ekvivalentne 360 bude geometrichno krashim serednim znachennyam tak yak chisla vidhilyayutsya vid 0 menshe nizh vid bud yakogo inshogo znachennya u znachennya 0 najmensha dispersiya Porivnyajte Chislo 1 vidhilyayetsya vid 0 vsogo na 1 Chislo 1 vidhilyayetsya vid obchislenogo serednogo sho dorivnyuye 180 na 179 Serednye znachennya dlya ciklichnoyi zminnoyi rozrahovane za navedenoyu formuloyu bude shtuchno zrusheno shodo spravzhnogo serednogo znachennya do seredini chislovogo diapazonu Cherez ce serednye rozrahovuyetsya inshim sposobom a same yak serednye znachennya vibirayetsya chislo z najmenshoyu dispersiyeyu centralna tochka Takozh zamist vidnimannya vikoristovuyetsya modulna vidstan tobto vidstan po kolu Napriklad modulna vidstan mizh 1 ta 359 dorivnyuye 2 a ne 358 na koli mizh 359 i 360 odin gradus mizh 0 i 1 tezh 1 v sumi 2 Div takozh Redaguvati Portal Matematika Serednye stepeneve Serednye zvazhene Kvazi arifmetichne serednye Kvartet Anskombe Serednye garmonijne Serednye geometrichne Proporciya matematika Arifmetichna progresiya Mediana ModaPrimitki Redaguvati Medhi Jyotiprasad 1992 Statistical Methods An Introductory Text New Age International s 53 58 ISBN 9788122404197 Literatura RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Serednye arifmetichne amp oldid 36943070