www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дискретне перетворення Фур є ДПФ англ Discrete Fourier Transform це математична процедура що використовується для визнач

Дискретне перетворення Фур'є

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, англ. Discrete Fourier Transform) — це математична процедура, що використовується для визначення гармонічного, або частотного, складу дискретних сигналів. ДПФ є однією з найбільш розповсюджених і потужних процедур цифрової обробки сигналів. ДПФ дозволяє аналізувати, перетворювати і синтезувати сигнали такими способами, які неможливі при неперервній (аналоговій) обробці.

Формули перетворень Редагувати

Витоком ДПФ є неперервне перетворення Фур'є , яке визначається:

Експоненціальна форма:

Тригонометрична форма:

Позначення:

  •  — -ий компонент ДПФ, тобто ,
  •  — індекс ДПФ в частотній області, ,
  •  — послідовність вхідних відліків, ,
  •  — часовий індекс вхідних відліків, ,
  •  — кількість відліків вхідної послідовності і кількість частотних відліків результату ДПФ.

Якщо представити довільний відлік ДПФ як суму дійсних і уявних частин:

то амплітуда обчислюється:

Фазовий кут , , обчислюється так:

Потужність відліків , яка називається спектром потужності, являє собою амплітуду, піднесену до квадрату:

Властивості Редагувати

  1. Симетрія
  2. Лінійність
    Якщо вхідна послідовність має ДПФ , а інша вхідна послідовність має ДПФ , то ДПФ суми цих послідовностей рівна:
  3. Зсув в часі

Приклад обчислення Редагувати

У цьому прикладі ДПФ застосовується до послідовності довжиною , а саме, до вхідного вектора

Обчислимо ДПФ за допомогою експоненциальної форми:

що дає

Приклад програми Редагувати

Нижче подано приклад функції обчислення ДПФ на мові програмування C# 

// Структура комлексних чисел public struct Complex {  public double Re;  public double Im;  public Complex(double Re, double Im)  {  this.Re = Re;  this.Im = Im;  } } public double Sqr(double x) {   return x*x; } // x - послідовність вхідних відліків // X - послідовність вихідних відліків // AS - спектр амплітуд // FS - спектр фаз // PS - спектр потужностей // N - кількість відліків public void DFT(double[] x, ref Complex[] X, ref double[] AS, ref double[] FS, ref double[] PS, int N) {  Complex S = new Complex();  Complex[] XC = new Complex[N];  int k, n;  for (k = 0; k < N; k++)  {  S.Re = 0.0;  S.Im = 0.0;  for (n = 0; n < N; n++)  {  S.Re += x[n] * Math.Cos(2 * Math.PI * k * n / N);  S.Im -= x[n] * Math.Sin(2 * Math.PI * k * n / N);  }  X[k].Re = S.Re;  X[k].Im = S.Im;  }  for (k = 0; k < N; k++)  {  AS[k] = Math.Sqrt(Sqr(X[k].Re) + Sqr(X[k].Im)) / (N / 2);  PS[k] = X[k].Re * X[k].Re + X[k].Im * X[k].Im;  if (Math.Abs(X[k].Re) < 1e-5)  {  if (X[k].Im > 1e-5)  FS[k] = 90;  if (Math.Abs(X[k].Im) < 1e-5)  FS[k] = 0;  if ((X[k].Im < 0) && (Math.Abs(X[k].Im) > 1e-5))  FS[k] = -90;  }  else  FS[k] = Math.Atan2(X[k].Im, X[k].Re) * 180.0 / Math.PI;  } }

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Ричард Лайонс. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Москва : Бином, 2006. — 656 с. — ISBN 5-9518-0149-4.
  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб : Питер, 2006. — 751 с. — ISBN 5-318-00666-3.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diskretne peretvorennya Fur ye DPF angl Discrete Fourier Transform ce matematichna procedura sho vikoristovuyetsya dlya viznachennya garmonichnogo abo chastotnogo skladu diskretnih signaliv DPF ye odniyeyu z najbilsh rozpovsyudzhenih i potuzhnih procedur cifrovoyi obrobki signaliv DPF dozvolyaye analizuvati peretvoryuvati i sintezuvati signali takimi sposobami yaki nemozhlivi pri neperervnij analogovij obrobci Zmist 1 Formuli peretvoren 2 Vlastivosti 3 Priklad obchislennya 4 Priklad programi 5 Div takozh 6 Dzherela 7 PosilannyaFormuli peretvoren RedaguvatiVitokom DPF ye neperervne peretvorennya Fur ye X f displaystyle X f nbsp yake viznachayetsya X f x t e j 2 p f t d t displaystyle X f int infty infty x t e j2 pi ft dt nbsp Eksponencialna forma X m n 0 N 1 x n e j 2 p n m N displaystyle X m sum n 0 N 1 x n e j2 pi nm N nbsp Trigonometrichna forma X m n 0 N 1 x n cos 2 p n m N j sin 2 p n m N displaystyle X m sum n 0 N 1 x n cos 2 pi nm N j sin 2 pi nm N nbsp Poznachennya X m displaystyle X m nbsp m displaystyle m nbsp ij komponent DPF tobto X 0 X 1 X 2 displaystyle X 0 X 1 X 2 nbsp m displaystyle m nbsp indeks DPF v chastotnij oblasti m 0 1 2 3 N 1 displaystyle m 0 1 2 3 N 1 nbsp x n displaystyle x n nbsp poslidovnist vhidnih vidlikiv x 0 x 1 x 2 displaystyle x 0 x 1 x 2 nbsp n displaystyle n nbsp chasovij indeks vhidnih vidlikiv n 0 1 2 3 N 1 displaystyle n 0 1 2 3 N 1 nbsp N displaystyle N nbsp kilkist vidlikiv vhidnoyi poslidovnosti i kilkist chastotnih vidlikiv rezultatu DPF Yaksho predstaviti dovilnij vidlik DPF X m displaystyle X m nbsp yak sumu dijsnih i uyavnih chastin X m X r e m j X i m m X m a g displaystyle X m X re m jX im m X mag nbsp z kutom X ϕ m displaystyle X phi m nbsp to amplituda X m displaystyle X m nbsp obchislyuyetsya X m a g m X m X r e m 2 X i m m 2 displaystyle X mag m X m sqrt X re m 2 X im m 2 nbsp Fazovij kut X m displaystyle X m nbsp X ϕ m displaystyle X phi m nbsp obchislyuyetsya tak X ϕ m tan 1 X i m m X m a g m displaystyle X phi m tan 1 X im m X mag m nbsp Potuzhnist vidlikiv X m displaystyle X m nbsp yaka nazivayetsya spektrom potuzhnosti yavlyaye soboyu amplitudu pidnesenu do kvadratu X P S m X m a g m 2 X r e m 2 X i m m 2 displaystyle X PS m X mag m 2 X re m 2 X im m 2 nbsp Vlastivosti RedaguvatiSimetriya X N m n 0 N 1 x n e j 2 p n m N displaystyle X N m sum n 0 N 1 x n e j2 pi nm N nbsp Linijnist Yaksho vhidna poslidovnist x 1 n displaystyle x 1 n nbsp maye DPF X 1 m displaystyle X 1 m nbsp a insha vhidna poslidovnist x 2 n displaystyle x 2 n nbsp maye DPF X 2 m displaystyle X 2 m nbsp to DPF sumi cih poslidovnostej x s u m n x 1 n x 2 n displaystyle x sum n x 1 n x 2 n nbsp rivna X s u m m X 1 m X 2 m displaystyle X sum m X 1 m X 2 m nbsp Zsuv v chasi X s h i f t e d m e j 2 p k m N X m displaystyle X shifted m e j2 pi km N X m nbsp Priklad obchislennya RedaguvatiU comu prikladi DPF zastosovuyetsya do poslidovnosti dovzhinoyu N 4 displaystyle N 4 nbsp a same do vhidnogo vektorax x 0 x 1 x 2 x 3 1 2 i i 1 2 i displaystyle mathbf x begin pmatrix x 0 x 1 x 2 x 3 end pmatrix begin pmatrix 1 2 i i 1 2i end pmatrix nbsp Obchislimo DPF x displaystyle mathbf x nbsp za dopomogoyu eksponencialnoyi formi X 0 e i 2 p 0 0 4 1 e i 2 p 0 1 4 2 i e i 2 p 0 2 4 i e i 2 p 0 3 4 1 2 i 2 displaystyle X 0 e i2 pi 0 cdot 0 4 cdot 1 e i2 pi 0 cdot 1 4 cdot 2 i e i2 pi 0 cdot 2 4 cdot i e i2 pi 0 cdot 3 4 cdot 1 2i 2 nbsp X 1 e i 2 p 1 0 4 1 e i 2 p 1 1 4 2 i e i 2 p 1 2 4 i e i 2 p 1 3 4 1 2 i 2 2 i displaystyle X 1 e i2 pi 1 cdot 0 4 cdot 1 e i2 pi 1 cdot 1 4 cdot 2 i e i2 pi 1 cdot 2 4 cdot i e i2 pi 1 cdot 3 4 cdot 1 2i 2 2i nbsp X 2 e i 2 p 2 0 4 1 e i 2 p 2 1 4 2 i e i 2 p 2 2 4 i e i 2 p 2 3 4 1 2 i 2 i displaystyle X 2 e i2 pi 2 cdot 0 4 cdot 1 e i2 pi 2 cdot 1 4 cdot 2 i e i2 pi 2 cdot 2 4 cdot i e i2 pi 2 cdot 3 4 cdot 1 2i 2i nbsp X 3 e i 2 p 3 0 4 1 e i 2 p 3 1 4 2 i e i 2 p 3 2 4 i e i 2 p 3 3 4 1 2 i 4 4 i displaystyle X 3 e i2 pi 3 cdot 0 4 cdot 1 e i2 pi 3 cdot 1 4 cdot 2 i e i2 pi 3 cdot 2 4 cdot i e i2 pi 3 cdot 3 4 cdot 1 2i 4 4i nbsp sho daye X X 0 X 1 X 2 X 3 2 2 2 i 2 i 4 4 i displaystyle mathbf X begin pmatrix X 0 X 1 X 2 X 3 end pmatrix begin pmatrix 2 2 2i 2i 4 4i end pmatrix nbsp Priklad programi RedaguvatiNizhche podano priklad funkciyi obchislennya DPF na movi programuvannya C Struktura komleksnih chisel public struct Complex public double Re public double Im public Complex double Re double Im this Re Re this Im Im public double Sqr double x return x x x poslidovnist vhidnih vidlikiv X poslidovnist vihidnih vidlikiv AS spektr amplitud FS spektr faz PS spektr potuzhnostej N kilkist vidlikiv public void DFT double x ref Complex X ref double AS ref double FS ref double PS int N Complex S new Complex Complex XC new Complex N int k n for k 0 k lt N k S Re 0 0 S Im 0 0 for n 0 n lt N n S Re x n Math Cos 2 Math PI k n N S Im x n Math Sin 2 Math PI k n N X k Re S Re X k Im S Im for k 0 k lt N k AS k Math Sqrt Sqr X k Re Sqr X k Im N 2 PS k X k Re X k Re X k Im X k Im if Math Abs X k Re lt 1e 5 if X k Im gt 1e 5 FS k 90 if Math Abs X k Im lt 1e 5 FS k 0 if X k Im lt 0 amp amp Math Abs X k Im gt 1e 5 FS k 90 else FS k Math Atan2 X k Im X k Re 180 0 Math PI Div takozh RedaguvatiRyad Fur ye Shvidke peretvorennya Fur yeDzherela RedaguvatiRichard Lajons Cifrovaya obrabotka signalov 2 e Moskva Binom 2006 656 s ISBN 5 9518 0149 4 Sergienko A B Cifrovaya obrabotka signalov 2 e Spb Piter 2006 751 s ISBN 5 318 00666 3 Posilannya RedaguvatiDiskretne peretvorennya Fur ye Arhivovano 24 chervnya 2012 u Wayback Machine ros Vlastivosti diskretnogo peretvorennya Fur ye Arhivovano 26 serpnya 2021 u Wayback Machine ros Realizaciya diskretnogo peretvorennya Fur ye na procesori TMS320C55x firmi Texas Instruments Arhivovano 1 travnya 2013 u Wayback Machine ukr Analiz spektru signaliv Arhivovano 8 lyutogo 2015 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diskretne peretvorennya Fur 27ye amp oldid 39421292