d funkciya ce uzagalnena funkciya formalno viznachayetsya yak neperervnij linijnij funkcional u prostori diferencijovnih funkcij d funkciya ne ye funkciyeyu v klasichnomu rozuminni shematichne zobrazhennya delta funkciyi yak liniyi z yakoyi vistupaye strilka Visota strilki vidobrazhaye chislo yake mozhna rozcinyuvati yak ploshu pid grafikom funkciyi Delta funkciya Diraka yak granicya v sensi granici za rozpodilom poslidovnosti gausivskih funkcij rozpodilu d a x 1 a p e x 2 a 2 displaystyle delta a x frac 1 a sqrt pi mathrm e x 2 a 2 as a 0 displaystyle a to 0 Vvedena anglijskim fizikom Dirakom Dozvolyaye zapisati prostorovu gustinu fizichnoyi velichini masa elektrichnij zaryad intensivnist dzherela tepla sili tosho zoseredzhenoyu abo prikladenoyu v odnij tochci Napriklad gustina tochkovoyi masi m sho znahoditsya v tochci a displaystyle a evklidovogo prostoru R n displaystyle mathbb R n zapisuyetsya za dopomogoyu d funkciyi u viglyadi m d x a displaystyle m delta x a Zmist 1 Oznachennya 2 Vlastivosti 3 Integralne predstavlennya 4 Pohidna delta funkciyi 5 Peretvorennya Fur ye 6 Predstavlennya v riznih koordinatah i sistemah vidliku 7 Fizichna interpretaciya 7 1 Mittyeve priskorennya 7 2 Funkciya Grina 8 Div takozh 9 Literatura 10 PrimitkiOznachennya Redaguvatid funkciya viznachayetsya formalnim spivvidnoshennyam d f R n d x a f x d x f a displaystyle delta f int mathbb R n delta x a f x dx f a nbsp dlya bud yakoyi neperervnoyi funkciyi f x displaystyle f x nbsp Vlastivosti RedaguvatiDlya delta funkciyi odniyeyi zminnoyi spravedlivi taki rivnyannya d x 0 x 0 displaystyle delta x 0 qquad forall x not 0 nbsp d x d x 1 displaystyle int limits infty infty delta x dx 1 nbsp x d x d x displaystyle x delta prime x delta x nbsp d f x k d x x k f x k displaystyle delta f x sum k frac delta x x k f x k nbsp de x k displaystyle x k nbsp nuli funkciyi f x displaystyle f x nbsp Integralne predstavlennya RedaguvatiU bagatoh vipadkah zruchnim viyavlyayetsya take predstavlennya delta funkciyi Rozglyanemo integral I t e i w t d w displaystyle I t int limits infty infty e i omega t d omega nbsp 1 yakij mozhna interpretuvati yak granicyu I t lim N N N e i w t d w lim N 2 p N sin t N p t N displaystyle I t lim N infty int N N e i omega t d omega lim N infty 2 pi N frac sin tN pi tN nbsp 2 Vidomo sho sin t t d t p displaystyle int limits infty infty frac sin t t dt pi nbsp 3 Yak naslidok z 3 dlya bud yakogo N displaystyle N nbsp spravedliva rivnist 2 N sin t N t N d t 2 p displaystyle int limits infty infty 2N frac sin tN tN dt 2 pi nbsp 4 Mozhna pokazati sho pri neobmezhenomu zrostanni N displaystyle N nbsp viyavlyayutsya pravilnimi vsi vlastivosti delta funkciyi i funkciya 2 pryamuye do d t displaystyle delta t nbsp ce dozvolyaye zrobiti visnovok sho I t e i w t d w 2 p d t displaystyle I t int infty infty e i omega t d omega 2 pi delta t nbsp Pohidna delta funkciyi RedaguvatiFundamentalnij viraz sho opisuye pohidnu delta funkciyi d x displaystyle delta x nbsp f x d n x d x f x d n 1 x d x displaystyle int f x delta n x dx int frac partial f partial x delta n 1 x dx nbsp Pidstavivshi f x x g x displaystyle f x xg x nbsp oderzhimo viraz x g x d x d x d x x x g x d x displaystyle int xg x delta prime x dx int delta x frac partial partial x xg x dx nbsp Pislya peretvorennya mayemo d x g x x g x d x g x d x d x displaystyle int delta x g x xg prime x dx int g x delta x dx nbsp Oskilki x g x d x d x 0 displaystyle int xg prime x delta x dx 0 nbsp oderzhuyemo ostatochnij viraz x d x d x displaystyle x delta prime x delta x nbsp U zagalnomu viglyadi viraz pohidnoyi delta funkciyi zapisuyetsya tak x n f x d n x d x 1 n n x n f x x n d x d x displaystyle int x n f x delta n x dx 1 n int frac partial n x n f x partial x n delta x dx nbsp Dlya dovilnoyi delta funkciyi spravdzhuyutsya nastupni totozhnosti d x d x displaystyle delta prime x delta prime x nbsp f x d x a d x f a displaystyle int limits infty infty f x delta prime x a dx f prime a nbsp 1 1 d 1 x d x 0 displaystyle int limits 1 1 delta left frac 1 x right dx 0 nbsp Peretvorennya Fur ye RedaguvatiDo delta funkciyi x t d t displaystyle x t delta t nbsp mozhna zastosuvati peretvorennya Fur ye d t e i 2 p f t d t e i 2 p f 0 1 displaystyle int limits infty infty delta t cdot e i2 pi ft dt e i2 pi f cdot 0 1 nbsp v rezultati oderzhuyemo sho spektr d funkciyi ye konstantoyu F d 1 displaystyle F delta 1 nbsp Dovedeno sho pohidna funkciyi Gevisajda dorivnyuye delta funkciyi Tobto Funkciya Gevisajda pervisna delta funkciyi H x x d t d t displaystyle H x int limits infty x delta t dt nbsp Otzhe zastosuvavshi peretvorennya Fur ye do pervisnoyi delta funkciyi 2 p H t displaystyle sqrt 2 pi H t nbsp oderzhimo yiyi obraz u viglyadi 1 i w p d t displaystyle frac 1 i omega pi delta t nbsp Predstavlennya v riznih koordinatah i sistemah vidliku RedaguvatiU dvovimirnomu prostori d 2 x y d x d y 1 displaystyle iint limits infty infty delta 2 x y dx dy 1 nbsp d a x b y 1 a b d 2 x y displaystyle delta ax by frac 1 left ab right delta 2 x y nbsp d 2 x y d x d y displaystyle delta 2 x y delta x delta y nbsp U polyarnih koordinatah d 2 x y d r p r displaystyle delta 2 x y frac delta r pi left r right nbsp U trivimirnomu prostori d 3 x y z d x d y d z 1 displaystyle iiint limits infty infty delta 3 x y z dx dy dz 1 nbsp d 3 x y z d x d y d z displaystyle delta 3 x y z delta x delta y delta z nbsp U cilindrichnij sistemi d 3 r 8 z d r d z p r displaystyle delta 3 r theta z frac delta r delta z pi r nbsp U sferichnij sistemi vidliku d 3 r 8 ϕ d r 2 p r 2 displaystyle delta 3 r theta phi frac delta r 2 pi r 2 nbsp Fizichna interpretaciya Redaguvati nbsp Grafik funkciyi Gevisajda pohidna vid yakoyi delta funkciya nbsp Grafik delta funkciyiMittyeve priskorennya Redaguvati Prikladom zastosuvannya delta funkciyi Diraka mozhe sluzhiti zadacha pro zitknennya dvoh til Yaksho na neporushne tilo nalitaye inshe to obidva tila otrimuyut priskorennya i zminyuyut svoyu shvidkist Yak rozrahuvati priskorennya ranishe neruhomogo tila Pobuduyemo grafik shvidkosti vid chasu Grafik bude mati viglyad pokazanij na verhnomu risunku pravoruch Na nizhnomu risunku privedenij grafik delta funkciyi z odinichnoyu amplitudoyu vin vidobrazhaye mittyevij proces naboru shvidkosti tilom Beruchi do uvagi te sho model rozglyadayetsya v evklidovomu prostori mozhna zapisati nastupne rivnyannya a t n d t t a displaystyle a t nu delta t t a nbsp Funkciya Grina Redaguvati Rozglyanemo inshi prikladi Delta funkciya zastosovuyetsya u matematichnij fizici pri rozv yazku zadach U yaki vhodyat zoseredzheni velichini V kvaziklasichnomu nablizhenni h 0 displaystyle h rightarrow 0 nbsp hvilovi funkciyi lokalizuyutsya v delta funkciyi a centri yih zoseredzhennya ruhayutsya po klasichnih trayektoriyah za rivnyannyami Nyutona Cherez delta funkciyu takozh zapisuyetsya funkciya Grina linijnogo operatora L displaystyle L nbsp sho diye na uzagalneni funkciyi nad mnogovidom M displaystyle M nbsp v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Rivnyannya maye viglyad 2 f x d x x 0 displaystyle nabla 2 f x delta x x 0 nbsp de 2 displaystyle nabla 2 nbsp operator Laplasa Vazhlivo vidmititi nastupnu formulu 2 G 4 p d displaystyle nabla 2 G 4 pi delta nbsp de G 1 r displaystyle G frac 1 r nbsp funkciya Grina Cej viraz viplivaye z togo sho 2 1 r displaystyle nabla 2 left frac 1 r right nbsp vede sebe podibno do delta funkciyi 1 Ce tverdzhennya vikoristovuyetsya dlya dovedennya togo sho viraz dlya skalyarnogo potenciala F x ϱ x x x d 3 x displaystyle Phi x int varrho x prime over left x x prime right d 3 x prime nbsp zadovolnyaye rivnyannyu Puasona 2 F 4 p ϱ displaystyle nabla 2 Phi 4 pi varrho nbsp Takim chinom delta funkciya ye potuzhnim matematichnim aparatom dlya opisu skladnih fizichnih procesiv Div takozh RedaguvatiFunkciya GevisajdaLiteratura RedaguvatiKudryavcev L D Kratkij kurs matematicheskogo analiza tom 2 ISBN 5 9221 0185 4 Kucheruk I M Gorbachuk I T Lucik P P Zagalnij kurs fiziki navch posibnik u 3 h t Kiyiv Tehnika 2006 T 2 Elektrika i magnetizm Primitki Redaguvati Dovedennya vlastivostej funkciyi Grina dlya tochkovogo dzherela Arhiv originalu za 5 bereznya 2016 Procitovano 13 kvitnya 2008 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Delta funkciya Diraka amp oldid 34818876
