www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійна форма лінійний функціонал 1 форма коваріантний вектор або ковектор англ linear form linear functional one form c

Лінійна форма

Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (англ. linear form, linear functional, one-form, covector) в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У , якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо є векторним простором над полем , то лінійний функціонал є функцією з простору в поле , яка є лінійною:

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору в поле (позначається як ) утворює векторний простір над полем з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору , або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як , або , якщо поле зафіксовано.

Формальне означення Редагувати

Нехай — векторний простір над полем . Відображення називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

  • однорідним,
  • адитивним,

Еквівалентною умовою є виконання рівності

Неперервні лінійні функціонали Редагувати

Див. також: Лінійний неперервний оператор

Якщо  — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо  — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних форм Редагувати

Приклади Редагувати

  • , що рівна
  • , що рівна

Простір лінійних функціоналів Редагувати

Множина всіх лінійних форм утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм , і множення на скаляр , що визначені поточково, тобто

і

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору і позначається

Приклади і застосування Редагувати

Лінійні функціонали в Редагувати

Нехай вектори дійсного простору представлені у вигляді вектор-стовпців

Для будь-якого вектор-рядка існує лінійний функціонал , визначений наступним чином:

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка і вектора-стовпця

Інтегрування Редагувати

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій[en]. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

є лінійним функціоналом з векторного простору неперервних на відрізку функцій у простір дійсних чисел. Лінійність випливає із стандартних властивостей інтегралу:

Оцінка Редагувати

Нехай  — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня визначених на відрізку . Якщо , тоді відображення називається функціоналом оцінки

Відображення лінійне, оскільки

Якщо  — різних точок відрізку , то функціонали оцінки , утворюють базис спряженого до простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванні Редагувати

Функціонал визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі многочленів степеня . Якщо  — це різних точок у , тоді є коефіцієнти для яких

для всіх . Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали утворюють базис спряженого до простору.

Лінійні функціонали в квантовій механіці Редагувати

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

Розподіли Редагувати

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналів Редагувати

  • Будь-який лінійний функціонал є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ при відображені теж буде підпростором.
  • Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.
  • Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
  • Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналів Редагувати

Геометрична інтерпретація 1-форми як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина      проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).

Спряжені вектори та білінійні форми Редагувати

Лінійні функціонали (1-форми) , та їх сума та вектори , , , в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі породжує ізоморфізм  : такий, що

де білінійна форма на позначається як (наприклад, в евклідовому просторі  — скалярний добуток і ).

Оберненим ізоморфізмом є , де єдиний елемент такий, що

Базис у скінченних розмірностях Редагувати

Базис спряженого простору в скінченних розмірностях Редагувати

Нехай векторний простір має базис , необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір має базис , який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

Або, більш коротко,

де  — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал , що належить спряженому простору , можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) ,

Тоді, застосувавши функціонал до базисного вектора , отримаємо

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добуток Редагувати

Якщо у просторі визначено скалярний добуток[en], то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай  — базис простору (необов'язково ортогональний). Для розмірності три спряжений базис можна записати у явному вигляді:

для , де  — символ Леві-Чівіта і  — скалярний добуток у просторі .

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

де  — оператор зірки Ходжа.


Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. (Lax, 1996)
  2. (Rudin, 1991, Theorem 1.18)

Література Редагувати

  • Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980). Chapter 4. Tensor Analysis on Manifolds. Dover Publications. ISBN 0-486-64039-6. 
  • Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
  • Lax, Peter (1996). Linear algebra. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-11111-5. 
  • Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 
  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Schutz, Bernard (1985). Chapter 3. A first course in general relativity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27703-5. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Linijna forma linijnij funkcional 1 forma kovariantnij vektor abo kovektor angl linear form linear functional one form covector v linijnij algebri linijne vidobrazhennya zadanogo vektornogo prostoru v pole skalyariv nad yakim viznacheno danij prostir Takozh ponyattya mozhna vvesti dlya moduliv nad kilcyami U R n displaystyle mathbb R n yaksho vektori predstavleni u viglyadi vektor stovpciv to linijni funkcionali predstavlyayutsya u viglyadi vektor ryadkiv a yih diya nad vektorami zadayetsya dobutkom matrici na vektor ryadok zliva ta na vektor stovpec sprava U zagalnomu vipadku yaksho V displaystyle V ye vektornim prostorom nad polem k displaystyle k to linijnij funkcional f displaystyle f ye funkciyeyu z prostoru V displaystyle V v pole k displaystyle k yaka ye linijnoyu f v w f v f w displaystyle f vec v vec w f vec v f vec w dlya vsih v w V displaystyle vec v vec w in V f a v a f v displaystyle f a vec v af vec v dlya vsih v V displaystyle vec v in V a k displaystyle a in k Sukupnist usih linijnih funkcionaliv z prostoru V displaystyle V v pole k displaystyle k poznachayetsya yak H o m k V k displaystyle rm Hom k V k utvoryuye vektornij prostir nad polem k displaystyle k z operaciyami dodavannya ta skalyarnogo mnozhennya sho viznacheni potochkovo Cej prostir nazivayut spryazhenim prostorom prostoru V displaystyle V abo inodi algebrayichnim spryazhenim prostorom shob vidrizniti jogo vid neperervnogo spryazhenogo prostoru Chasto jogo poznachayut yak V displaystyle V V displaystyle V abo V displaystyle V vee yaksho pole k displaystyle k zafiksovano Zmist 1 Formalne oznachennya 2 Neperervni linijni funkcionali 3 Vlastivosti linijnih form 4 Prikladi 5 Prostir linijnih funkcionaliv 6 Prikladi i zastosuvannya 6 1 Linijni funkcionali v UNIQ postMath 00000029 QINU 6 2 Integruvannya 6 3 Ocinka 6 4 Zastosuvannya v integruvanni 6 5 Linijni funkcionali v kvantovij mehanici 6 6 Rozpodili 6 7 Vlastivosti linijnih funkcionaliv 6 8 Zobrazhennya linijnih funkcionaliv 6 9 Spryazheni vektori ta bilinijni formi 7 Bazis u skinchennih rozmirnostyah 7 1 Bazis spryazhenogo prostoru v skinchennih rozmirnostyah 8 Spryazhenij bazis ta skalyarnij dobutok 9 Div takozh 10 Primitki 11 LiteraturaFormalne oznachennya RedaguvatiNehaj V displaystyle V nbsp vektornij prostir nad polem k displaystyle k nbsp Vidobrazhennya f V K displaystyle varphi colon V to K nbsp nazivayetsya linijnoyu formoyu abo linijnim funkcionalom yaksho vono ye odnoridnim c k x V f c x c f x displaystyle forall c in k quad forall mathbf x in V quad varphi c mathbf x c varphi mathbf x nbsp aditivnim x y V f x y f x f y displaystyle forall mathbf x mathbf y in V quad varphi mathbf x mathbf y varphi mathbf x varphi mathbf y nbsp Ekvivalentnoyu umovoyu ye vikonannya rivnosti c d k x y V f c x d y c f x d f y displaystyle forall c d in k quad forall mathbf x mathbf y in V quad varphi c mathbf x d mathbf y c varphi mathbf x d varphi mathbf y nbsp Neperervni linijni funkcionali RedaguvatiDiv takozh Linijnij neperervnij operator Yaksho V displaystyle V nbsp topologichnij vektornij prostir to prostir neperervnih linijnih funkcionaliv neperervnih spryazhenih chasto prosto nazivayut spryazhenim prostorom Yaksho V displaystyle V nbsp banahiv prostir to takim ye i jogo neperervno spryazhenij Shob vidrizniti zvichajnij spryazhenij prostir vid neperervnogo spryazhenogo prostoru pershij inodi nazivayut algebrayichnim spryazhenim prostorom Dlya skinchennih rozmirnostej kozhen linijnij funkcional ye neperervnim tomu neperervno spryazhenij zbigayetsya z algebrayichno spryazhenim ale u neskinchennih rozmirnostyah neperervno spryazhenij ye vidpovidnim pidprostorom algebrayichno spryazhenogo Vlastivosti linijnih form RedaguvatiKozhna linijna forma ye abo trivialnoyu rivnoyu nulyu dlya kozhnogo vektora abo syur yektivnoyu Linijna forma ye neperervnoyu todi i tilki todi koli yiyi yadro ye zamknutoyu pidmnozhinoyu Absolyutne znachennya dovilnoyi linijnoyi formi nad polem dijsnih chi kompleksnih chisel ye napivnormoyu na linijnomu prostori na yakomu vona viznachena Prikladi Redaguvatif R 3 R displaystyle f colon mathbb R 3 to mathbb R nbsp sho rivna f x y z x 2 y 3 z displaystyle f x y z x 2y 3z nbsp I C a b R displaystyle I colon C a b to mathbb R nbsp sho rivna I f a b f x d x displaystyle I f int limits a b f x mathrm d x nbsp Prostir linijnih funkcionaliv RedaguvatiMnozhina H o m k V k displaystyle rm Hom k V k nbsp vsih linijnih form V K displaystyle V rightarrow K nbsp utvoryuye vektornij prostir z operaciyami dodavannya linijnih form f ps displaystyle varphi psi nbsp i mnozhennya na skalyar c f displaystyle c varphi nbsp sho viznacheni potochkovo tobto f ps x f x ps x displaystyle varphi psi mathbf x varphi mathbf x psi mathbf x nbsp i c f x c f x displaystyle c varphi mathbf x c varphi mathbf x nbsp Danij prostir nazivayetsya spryazhenim abo dvoyistim do prostoru V displaystyle V nbsp i poznachayetsya V displaystyle V star nbsp Prikladi i zastosuvannya RedaguvatiLinijni funkcionali v R n displaystyle mathbb R n nbsp Redaguvati Nehaj vektori dijsnogo prostoru R n displaystyle mathbb R n nbsp predstavleni u viglyadi vektor stovpciv x x 1 x n displaystyle vec x begin bmatrix x 1 vdots x n end bmatrix nbsp Dlya bud yakogo vektor ryadka a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp isnuye linijnij funkcional f displaystyle f nbsp viznachenij nastupnim chinom f x a 1 x 1 a n x n displaystyle f vec x a 1 x 1 cdots a n x n nbsp i bud yakij linijnij funkcional mozhe buti predstavlenij u takij formi Ce mozhna prointerpretuvati abo yak matrichnij abo skalyarnij dobutok vektora ryadka a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp i vektora stovpcya x displaystyle vec x nbsp f x a 1 a n x 1 x n displaystyle f vec x left a 1 dots a n right begin bmatrix x 1 vdots x n end bmatrix nbsp Integruvannya Redaguvati Linijni funkcionali vpershe z yavilisya u funkcionalnomu analizi pri vivchenni vektornih prostoriv funkcij en Tipovim prikladom linijnogo funkcionalu ye integruvannya linijne peretvorennya viznachene integralom Rimana I f a b f x d x displaystyle I f int a b f x dx nbsp ye linijnim funkcionalom z vektornogo prostoru C a b displaystyle C a b nbsp neperervnih na vidrizku a b displaystyle a b nbsp funkcij u prostir dijsnih chisel Linijnist I displaystyle I nbsp viplivaye iz standartnih vlastivostej integralu I f g a b f x g x d x a b f x d x a b g x d x I f I g I a f a b a f x d x a a b f x d x a I f displaystyle begin aligned I f g amp int a b f x g x rm d x int a b f x rm d x int a b g x rm d x I f I g I alpha f amp int a b alpha f x rm d x alpha int a b f x rm d x alpha I f end aligned nbsp Ocinka Redaguvati Nehaj P n displaystyle P n nbsp vektornij prostir dijsnoznachnih polinomialnih funkcij stepenya n displaystyle leq n nbsp viznachenih na vidrizku a b displaystyle a b nbsp Yaksho c a b displaystyle c in a b nbsp todi vidobrazhennya ev c P n R displaystyle operatorname ev c colon P n rightarrow mathbb R nbsp nazivayetsya funkcionalom ocinki ev c f f c displaystyle operatorname ev c f f c nbsp Vidobrazhennya f f c displaystyle f rightarrow f c nbsp linijne oskilki f g c f c g c a f c a f c displaystyle begin aligned f g c amp f c g c alpha f c amp alpha f c end aligned nbsp Yaksho x 0 x n displaystyle x 0 dots x n nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp riznih tochok vidrizku a b displaystyle a b nbsp to funkcionali ocinki ev x i i 0 1 n displaystyle operatorname ev x i i 0 1 dots n nbsp utvoryuyut bazis spryazhenogo do P n displaystyle P n nbsp prostoru Laks 1996 dovodit ce vikoristovuyuchi interpolyaciyu Lagranzha Zastosuvannya v integruvanni Redaguvati Funkcional I displaystyle I nbsp viznachenij vishe viznachaye linijnij funkcional na pidprostori P n displaystyle P n nbsp mnogochleniv stepenya n displaystyle leq n nbsp Yaksho x 0 x n displaystyle x 0 dots x n nbsp ce n 1 displaystyle n 1 nbsp riznih tochok u a b displaystyle a b nbsp todi ye koeficiyenti a 0 a n displaystyle a 0 dots a n nbsp dlya yakih I f a 0 f x 0 a 1 f x 1 a n f x n displaystyle I f a 0 f x 0 a 1 f x 1 dots a n f x n nbsp dlya vsih f P n displaystyle f in P n nbsp Ce skladaye osnovu teoriyi chiselnogo integruvannya Ce viplivaye z togo sho viznacheni vishe linijni funkcionali ev x i f f x i displaystyle operatorname ev x i colon f rightarrow f x i nbsp utvoryuyut bazis spryazhenogo do P n displaystyle P n nbsp prostoru 1 Linijni funkcionali v kvantovij mehanici Redaguvati Linijni funkcionali osoblivo vazhlivi v kvantovij mehanici Kvantovi mehanichni sistemi predstavleni prostorami Gilberta yaki ye antiizomorfnimi yih vlasnim spryazhenim prostoram Stan kvantovoyi mehanichnoyi sistemi mozhna ototozhniti z linijnim funkcionalom Dlya otrimannya dodatkovoyi informaciyi div bra ket poznachennya Rozpodili Redaguvati U teoriyi uzagalnenih funkcij deyaki vidi uzagalnenih funkcij yaki nazivayutsya rozpodilami mozhna predstaviti u viglyadi linijnih funkcionaliv na prostorah testovih funkcij Vlastivosti linijnih funkcionaliv Redaguvati Bud yakij linijnij funkcional L displaystyle L nbsp ye abo trivialnim vsyudi dorivnyuye 0 abo syur yektivnim nad skalyarnim polem Dijsno ce viplivaye z togo sho obraz vektornogo pidprostoru pri linijnomu peretvorenni ye pidprostorom tomu i obraz V displaystyle V nbsp pri vidobrazheni L displaystyle L nbsp tezh bude pidprostorom Linijnij funkcional ye neperervnim lishe todi koli jogo yadro ye zamknenim 2 Linijni funkcionali z odnakovimi yadrami ye proporcijnimi Absolyutne znachennya bud yakogo linijnogo funkcionalu ye napivnormoyu na jogo vektornomu prostori Zobrazhennya linijnih funkcionaliv Redaguvati nbsp Geometrichna interpretaciya 1 formi a displaystyle alpha nbsp yak stek giperploshin postijnogo znachennya kozhna z yakih vidpovidaye tim vektoram yaki a displaystyle alpha nbsp vidobrazhaye u zadane skalyarne znachennya pokazane poruch iz neyu u poryadku zbilshennya znachen Nulova ploshina prohodit cherez pochatok koordinat U skinchenih rozmirnostyah linijnij funkcional mozhna vizualizuvati u terminah mnozhin rivniv mnozhina vektoriv yaki vidobrazhayutsya u zadane znachennya Dlya rozmirnosti tri mnozhini rivniv linijnogo funkcionalu ce simejstvo vzayemno paralelnih ploshin dlya vishih rozmirnostej voni ye paralelnimi giperploshinami Cej metod vizualizaciyi linijnih funkcionaliv inodi vikoristovuyetsya v tekstah u zagalnij teoriyi vidnosnosti napriklad Gravitaciya by Misner Thorne ta Wheeler 1973 Spryazheni vektori ta bilinijni formi Redaguvati nbsp Linijni funkcionali 1 formi a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp ta yih suma s displaystyle sigma nbsp ta vektori u displaystyle u nbsp v displaystyle v nbsp w displaystyle w nbsp v 3 vimirnomu evklidovomu prostori Kilkist 1 formi giperploshin sho peretinayutsya vektorom dorivnyuye skalyarnomu dobutku Kozhna nevirodzhena bilinijna forma u skinchenno vimirnomu vektornomu prostori V displaystyle V nbsp porodzhuye izomorfizm V V displaystyle V rightarrow V nbsp v v displaystyle v rightarrowtail v nbsp takij sho v w v w w V displaystyle displaystyle v w langle v w rangle quad forall w in V nbsp de bilinijna forma na V displaystyle V nbsp poznachayetsya yak displaystyle langle rangle nbsp napriklad v evklidovomu prostori v w v w displaystyle langle v w rangle v cdot w nbsp skalyarnij dobutok v displaystyle v nbsp i w displaystyle w nbsp Obernenim izomorfizmom ye V V v v displaystyle V rightarrow V colon v rightarrowtail v nbsp de v displaystyle v nbsp yedinij element V displaystyle V nbsp takij sho v w v w w V displaystyle langle v w rangle v w quad forall w in V nbsp Bazis u skinchennih rozmirnostyah RedaguvatiBazis spryazhenogo prostoru v skinchennih rozmirnostyah Redaguvati Nehaj vektornij prostir V displaystyle V nbsp maye bazis e 1 e 2 e n displaystyle vec e 1 vec e 2 dots vec e n nbsp neobov yazkovo ortogonalnij Todi spryazhenij prostir V displaystyle V nbsp maye bazis w 1 w 2 w n displaystyle tilde omega 1 tilde omega 2 dots tilde omega n nbsp yakij nazivayetsya spryazhenim bazisom viznachenim specialnoyu vlastivistyu w i e j 1 yaksho i j 0 yaksho i j displaystyle tilde omega i vec e j left begin matrix 1 amp mathrm text yaksho i j 0 amp mathrm text yaksho i not j end matrix right nbsp Abo bilsh korotko w i e j d j i displaystyle tilde omega i vec e j delta j i nbsp de d displaystyle delta nbsp simvol Kronekera Tut verhni indeksi bazisnih funkcionaliv ne stepeni a kontravariantni indeksi Linijnij funkcional u displaystyle tilde u nbsp sho nalezhit spryazhenomu prostoru V displaystyle tilde V nbsp mozhna predstaviti u viglyadi linijnoyi kombinaciyi bazisnih funkcionaliv z koeficiyentami komponentami u i displaystyle u i nbsp u i 1 n u i w i displaystyle tilde u sum i 1 n u i tilde omega i nbsp Todi zastosuvavshi funkcional u displaystyle tilde u nbsp do bazisnogo vektora e j displaystyle e j nbsp otrimayemo u e j i 1 n u i w i e j i u i w i e j displaystyle tilde u vec e j sum i 1 n left u i tilde omega i right vec e j sum i u i left tilde omega i left vec e j right right nbsp zavdyaki linijnosti skalyarnih mnozhnikiv funkcionaliv i tochkovoyi linijnosti sum funkcionaliv Todi u e j i u i w i e j i u i d i j u j displaystyle tilde u vec e j sum i u i left tilde omega i left vec e j right right sum i u i delta i j u j nbsp Otzhe kozhnu komponentu linijnogo funkcionalu mozhna otrimati zastosuvavshi funkcional do vidpovidnogo bazisnogo vektora Spryazhenij bazis ta skalyarnij dobutok RedaguvatiYaksho u prostori V displaystyle V nbsp viznacheno skalyarnij dobutok en to mozhna u yavnomu viglyadi napisati formulu dlya spryazhenogo bazisu cherez zadanij bazis Nehaj e 1 e n displaystyle vec e 1 dots vec e n nbsp bazis prostoru V displaystyle V nbsp neobov yazkovo ortogonalnij Dlya rozmirnosti tri n 3 displaystyle n 3 nbsp spryazhenij bazis mozhna zapisati u yavnomu viglyadi w i v 1 2 j 1 3 k 1 3 e i j k e j e k e 1 e 2 e 3 v displaystyle tilde omega i vec v 1 over 2 left langle sum limits j 1 3 sum limits k 1 3 varepsilon ijk vec e j times vec e k over vec e 1 cdot vec e 2 times vec e 3 vec v right rangle nbsp dlya i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 nbsp de e displaystyle varepsilon nbsp simvol Levi Chivita i displaystyle langle rangle nbsp skalyarnij dobutok u prostori V displaystyle V nbsp Dlya vishih rozmirnostej ce uzagalnyuyetsya nastupnim chinom w i v 1 i 2 lt i 3 lt lt i n n e i i 2 i n e i 2 e i n e 1 e n v displaystyle displaystyle tilde omega i vec v left langle frac underset 1 leq i 2 lt i 3 lt dots lt i n leq n sum varepsilon ii 2 dots i n star vec e i 2 wedge dots wedge vec e i n star vec e 1 wedge dots wedge vec e n vec v right rangle nbsp de displaystyle star nbsp operator zirki Hodzha Div takozh RedaguvatiLinijne vidobrazhennya Spryazhenij prostir Rozrivne linijne vidobrazhennya en Dodatnij linijnij funkcional en Polilinijna forma en Primitki Redaguvati Lax 1996 Rudin 1991 Theorem 1 18 Literatura RedaguvatiBishop Richard Goldberg Samuel 1980 Chapter 4 Tensor Analysis on Manifolds Dover Publications ISBN 0 486 64039 6 Halmos Paul 1974 Finite dimensional vector spaces Springer ISBN 0 387 90093 4 Lax Peter 1996 Linear algebra Wiley Interscience ISBN 978 0 471 11111 5 Misner Charles W Thorne Kip S Wheeler John A 1973 Gravitation W H Freeman ISBN 0 7167 0344 0 Rudin Walter 1991 Functional Analysis McGraw Hill Science Engineering Math ISBN 978 0 07 054236 5 Schutz Bernard 1985 Chapter 3 A first course in general relativity Cambridge UK Cambridge University Press ISBN 0 521 27703 5 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijna forma amp oldid 39744779