У прикладній математиці тестові функції для оптимізації (штучні ландшафти) — нелінійні функції, які використовують для оцінки характеристик алгоритмів оптимізації, таких як: швидкість збіжності; точність; грубість; загальні характеристики.
Нижче наведені деякі функції тестування оптимізаційних алгоритмів, що дозволяють отримати уявлення про різні характерні ситуації, з якими стикаються алгоритми оптимізації при вирішенні задач такого роду. У першій частині наведені функції для тестування алгоритмів пошуку глобального мінімуму (максимуму). У другій частині функції з відповідними фронтами для алгоритмів багатокритеріальної оптимізації.
Штучні ландшафти, наведені для тестування оптимізаційних алгоритмів, взяті з декількох джерел (див. Посилання).
Загальний вигляд рівняння, графік цільової функції, межі змінних об'єкта і координати глобального мінімуму наведені в таблиці.
Функції для алгоритмів пошуку глобального мінімуму
Назва / Рисунок | Формула | Мінімум | Область пошуку |
---|---|---|---|
Ackley's function |
| ||
Sphere function | , | ||
Функція Розенброка | , | ||
Beale's function |
| ||
Goldstein–Price function |
| ||
Booth's function | |||
Bukin function N.6 | , | ||
Matyas function | |||
Lévi function N.13 |
| ||
Three-hump camel function | |||
Easom function |
| ||
Cross-in-tray function |
| ||
Eggholder function |
| ||
Hölder table function | |||
McCormick function | , | ||
Schaffer function N. 2 | |||
Schaffer function N. 4 | |||
Styblinski–Tang function |
| , . | |
Simionescu function | ,
|
Функції для алгоритмів багатокритеріальної оптимізації
Назва / Рисунок | Формула | Мінімум | Область пошуку |
---|---|---|---|
Binh and Korn function | , | ||
Chakong and Haimes function | |||
Fonseca and Fleming function | , | ||
Test function 4 | |||
Kursawe function | , . | ||
Schaffer function N. 1 | . Values of form to have been used successfully. Higher values of increase the difficulty of the problem. | ||
Schaffer function N. 2 | . | ||
Poloni's two objective function |
| ||
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 1 | , . | ||
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 2 | , . | ||
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 3 | , . | ||
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 4 | , , | ||
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 6 | , . | ||
Viennet function | . | ||
Osyczka and Kundu function |
| , , . | |
CTP1 function (2 variables) | . | ||
Constr-Ex problem | , |
Примітки
- Simionescu, P.A. (2014). Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users (вид. 1st). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN .
Посилання
- Optimization Test Problems (англ.)
- 3D Function Grapher (англ.)
Джерела
- Bäck, Thomas. Evolutionary algorithms in theory and practice: evolution strategies, evolutionary programming, genetic algorithms. Oxford: Oxford University Press. — 1995. p. 328. .
- Deb, Kalyanmoy (2002) Multiobjective optimization using evolutionary algorithms (Repr. ed.). Chichester [u.a.]: Wiley. .
- Binh T. and Korn U. MOBES: A Multiobjective Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems. In: Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Czech Republic. — 1997. pp. 176—182
- Binh T. A multiobjective evolutionary algorithm. The study cases. Technical report. Institute for Automation and Communication. Barleben, Germany. — 1999.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U prikladnij matematici testovi funkciyi dlya optimizaciyi shtuchni landshafti nelinijni funkciyi yaki vikoristovuyut dlya ocinki harakteristik algoritmiv optimizaciyi takih yak shvidkist zbizhnosti tochnist grubist zagalni harakteristiki Nizhche navedeni deyaki funkciyi testuvannya optimizacijnih algoritmiv sho dozvolyayut otrimati uyavlennya pro rizni harakterni situaciyi z yakimi stikayutsya algoritmi optimizaciyi pri virishenni zadach takogo rodu U pershij chastini navedeni funkciyi dlya testuvannya algoritmiv poshuku globalnogo minimumu maksimumu U drugij chastini funkciyi z vidpovidnimi frontami dlya algoritmiv bagatokriterialnoyi optimizaciyi Shtuchni landshafti navedeni dlya testuvannya optimizacijnih algoritmiv vzyati z dekilkoh dzherel div Posilannya Zagalnij viglyad rivnyannya grafik cilovoyi funkciyi mezhi zminnih ob yekta i koordinati globalnogo minimumu navedeni v tablici Funkciyi dlya algoritmiv poshuku globalnogo minimumuNazva Risunok Formula Minimum Oblast poshukuAckley s function f x y 20exp 0 20 5 x2 y2 displaystyle f x y 20 exp left 0 2 sqrt 0 5 left x 2 y 2 right right exp 0 5 cos 2px cos 2py e 20 displaystyle exp left 0 5 left cos left 2 pi x right cos left 2 pi y right right right e 20 f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 5 x y 5 displaystyle 5 leq x y leq 5 Sphere function f x i 1nxi2 displaystyle f boldsymbol x sum i 1 n x i 2 f 0 0 0 displaystyle f 0 dots 0 0 xi displaystyle infty leq x i leq infty 1 i n displaystyle 1 leq i leq n Funkciya Rozenbroka f x i 1n 1 100 xi 1 xi2 2 xi 1 2 displaystyle f boldsymbol x sum i 1 n 1 left 100 left x i 1 x i 2 right 2 left x i 1 right 2 right Min n 2 f 1 1 0 n 3 f 1 1 1 0 n gt 3 f 1 1 n times 0 displaystyle text Min begin cases n 2 amp rightarrow quad f 1 1 0 n 3 amp rightarrow quad f 1 1 1 0 n gt 3 amp rightarrow quad f left underbrace 1 dots 1 n text times right 0 end cases xi displaystyle infty leq x i leq infty 1 i n displaystyle 1 leq i leq n Beale s function f x y 1 5 x xy 2 2 25 x xy2 2 displaystyle f x y left 1 5 x xy right 2 left 2 25 x xy 2 right 2 2 625 x xy3 2 displaystyle left 2 625 x xy 3 right 2 f 3 0 5 0 displaystyle f 3 0 5 0 4 5 x y 4 5 displaystyle 4 5 leq x y leq 4 5 Goldstein Price function f x y displaystyle f x y 1 x y 1 2 19 14x 3x2 14y 6xy 3y2 displaystyle left 1 left x y 1 right 2 left 19 14x 3x 2 14y 6xy 3y 2 right right 30 2x 3y 2 18 32x 12x2 48y 36xy 27y2 displaystyle left 30 left 2x 3y right 2 left 18 32x 12x 2 48y 36xy 27y 2 right right f 0 1 3 displaystyle f 0 1 3 2 x y 2 displaystyle 2 leq x y leq 2 Booth s function f x y x 2y 7 2 2x y 5 2 displaystyle f x y left x 2y 7 right 2 left 2x y 5 right 2 f 1 3 0 displaystyle f 1 3 0 10 x y 10 displaystyle 10 leq x y leq 10 Bukin function N 6 f x y 100 y 0 01x2 0 01 x 10 displaystyle f x y 100 sqrt left y 0 01x 2 right 0 01 left x 10 right quad f 10 1 0 displaystyle f 10 1 0 15 x 5 displaystyle 15 leq x leq 5 3 y 3 displaystyle 3 leq y leq 3 Matyas function f x y 0 26 x2 y2 0 48xy displaystyle f x y 0 26 left x 2 y 2 right 0 48xy f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 10 x y 10 displaystyle 10 leq x y leq 10 Levi function N 13 f x y sin2 3px x 1 2 1 sin2 3py displaystyle f x y sin 2 left 3 pi x right left x 1 right 2 left 1 sin 2 left 3 pi y right right y 1 2 1 sin2 2py displaystyle left y 1 right 2 left 1 sin 2 left 2 pi y right right f 1 1 0 displaystyle f 1 1 0 10 x y 10 displaystyle 10 leq x y leq 10 Three hump camel function f x y 2x2 1 05x4 x66 xy y2 displaystyle f x y 2x 2 1 05x 4 frac x 6 6 xy y 2 f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 5 x y 5 displaystyle 5 leq x y leq 5 Easom function f x y cos x cos y displaystyle f x y cos left x right cos left y right exp x p 2 y p 2 displaystyle exp left left left x pi right 2 left y pi right 2 right right f p p 1 displaystyle f pi pi 1 100 x y 100 displaystyle 100 leq x y leq 100 Cross in tray function f x y 0 0001 displaystyle f x y 0 0001 sin x sin y exp 100 x2 y2p 1 0 1 displaystyle left left sin left x right sin left y right exp left left 100 frac sqrt x 2 y 2 pi right right right 1 right 0 1 Min f 1 34941 1 34941 2 06261f 1 34941 1 34941 2 06261f 1 34941 1 34941 2 06261f 1 34941 1 34941 2 06261 displaystyle text Min begin cases f left 1 34941 1 34941 right amp 2 06261 f left 1 34941 1 34941 right amp 2 06261 f left 1 34941 1 34941 right amp 2 06261 f left 1 34941 1 34941 right amp 2 06261 end cases 10 x y 10 displaystyle 10 leq x y leq 10 Eggholder function f x y y 47 sin x2 y 47 displaystyle f x y left y 47 right sin left sqrt left frac x 2 left y 47 right right right xsin x y 47 displaystyle x sin left sqrt left x left y 47 right right right f 512 404 2319 959 6407 displaystyle f 512 404 2319 959 6407 512 x y 512 displaystyle 512 leq x y leq 512 Holder table function f x y sin x cos y exp 1 x2 y2p displaystyle f x y left sin left x right cos left y right exp left left 1 frac sqrt x 2 y 2 pi right right right Min f 8 05502 9 66459 19 2085f 8 05502 9 66459 19 2085f 8 05502 9 66459 19 2085f 8 05502 9 66459 19 2085 displaystyle text Min begin cases f left 8 05502 9 66459 right amp 19 2085 f left 8 05502 9 66459 right amp 19 2085 f left 8 05502 9 66459 right amp 19 2085 f left 8 05502 9 66459 right amp 19 2085 end cases 10 x y 10 displaystyle 10 leq x y leq 10 McCormick function f x y sin x y x y 2 1 5x 2 5y 1 displaystyle f x y sin left x y right left x y right 2 1 5x 2 5y 1 f 0 54719 1 54719 1 9133 displaystyle f 0 54719 1 54719 1 9133 1 5 x 4 displaystyle 1 5 leq x leq 4 3 y 4 displaystyle 3 leq y leq 4 Schaffer function N 2 f x y 0 5 sin2 x2 y2 0 5 1 0 001 x2 y2 2 displaystyle f x y 0 5 frac sin 2 left x 2 y 2 right 0 5 left 1 0 001 left x 2 y 2 right right 2 f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 100 x y 100 displaystyle 100 leq x y leq 100 Schaffer function N 4 f x y 0 5 cos2 sin x2 y2 0 5 1 0 001 x2 y2 2 displaystyle f x y 0 5 frac cos 2 left sin left left x 2 y 2 right right right 0 5 left 1 0 001 left x 2 y 2 right right 2 f 0 1 25313 0 292579 displaystyle f 0 1 25313 0 292579 100 x y 100 displaystyle 100 leq x y leq 100 Styblinski Tang function f x i 1nxi4 16xi2 5xi2 displaystyle f boldsymbol x frac sum i 1 n x i 4 16x i 2 5x i 2 X 2 903534 2 903534 n times displaystyle X underbrace 2 903534 ldots 2 903534 n text times 39 16617n lt f X lt 39 16616n displaystyle 39 16617n lt f X lt 39 16616n 5 xi 5 displaystyle 5 leq x i leq 5 1 i n displaystyle 1 leq i leq n Simionescu function f x y 0 1xy displaystyle f x y 0 1xy subjected to x2 y2 rT rScos narctan xy 2 displaystyle text subjected to x 2 y 2 leq left r T r S cos left n arctan frac x y right right 2 where rT 1 rS 0 2 and n 8 displaystyle text where r T 1 r S 0 2 text and n 8 f 0 85586214 0 85586214 0 072625 displaystyle f pm 0 85586214 mp 0 85586214 0 072625 1 25 x y 1 25 displaystyle 1 25 leq x y leq 1 25 Funkciyi dlya algoritmiv bagatokriterialnoyi optimizaciyiNazva Risunok Formula Minimum Oblast poshukuBinh and Korn function Minimize f1 x y 4x2 4y2f2 x y x 5 2 y 5 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp 4x 2 4y 2 f 2 left x y right amp left x 5 right 2 left y 5 right 2 end cases s t g1 x y x 5 2 y2 25g2 x y x 8 2 y 3 2 7 7 displaystyle text s t begin cases g 1 left x y right amp left x 5 right 2 y 2 leq 25 g 2 left x y right amp left x 8 right 2 left y 3 right 2 geq 7 7 end cases 0 x 5 displaystyle 0 leq x leq 5 0 y 3 displaystyle 0 leq y leq 3 Chakong and Haimes function Minimize f1 x y 2 x 2 2 y 1 2f2 x y 9x y 1 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp 2 left x 2 right 2 left y 1 right 2 f 2 left x y right amp 9x left y 1 right 2 end cases s t g1 x y x2 y2 225g2 x y x 3y 10 0 displaystyle text s t begin cases g 1 left x y right amp x 2 y 2 leq 225 g 2 left x y right amp x 3y 10 leq 0 end cases 20 x y 20 displaystyle 20 leq x y leq 20 Fonseca and Fleming function Minimize f1 x 1 exp i 1n xi 1n 2 f2 x 1 exp i 1n xi 1n 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp 1 exp left sum i 1 n left x i frac 1 sqrt n right 2 right f 2 left boldsymbol x right amp 1 exp left sum i 1 n left x i frac 1 sqrt n right 2 right end cases 4 xi 4 displaystyle 4 leq x i leq 4 1 i n displaystyle 1 leq i leq n Test function 4 Minimize f1 x y x2 yf2 x y 0 5x y 1 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp x 2 y f 2 left x y right amp 0 5x y 1 end cases s t g1 x y 6 5 x6 y 0g2 x y 7 5 0 5x y 0g3 x y 30 5x y 0 displaystyle text s t begin cases g 1 left x y right amp 6 5 frac x 6 y geq 0 g 2 left x y right amp 7 5 0 5x y geq 0 g 3 left x y right amp 30 5x y geq 0 end cases 7 x y 4 displaystyle 7 leq x y leq 4 Kursawe function Minimize f1 x i 12 10exp 0 2xi2 xi 12 f2 x i 13 xi 0 8 5sin xi3 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp sum i 1 2 left 10 exp left 0 2 sqrt x i 2 x i 1 2 right right amp f 2 left boldsymbol x right amp sum i 1 3 left left x i right 0 8 5 sin left x i 3 right right end cases 5 xi 5 displaystyle 5 leq x i leq 5 1 i 3 displaystyle 1 leq i leq 3 Schaffer function N 1 Minimize f1 x x2f2 x x 2 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x right amp x 2 f 2 left x right amp left x 2 right 2 end cases A x A displaystyle A leq x leq A Values of A displaystyle A form 10 displaystyle 10 to 105 displaystyle 10 5 have been used successfully Higher values of A displaystyle A increase the difficulty of the problem Schaffer function N 2 Minimize f1 x x if x 1x 2 if 1 lt x 34 x if 3 lt x 4x 4 if x gt 4f2 x x 5 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x right amp begin cases x amp text if x leq 1 x 2 amp text if 1 lt x leq 3 4 x amp text if 3 lt x leq 4 x 4 amp text if x gt 4 end cases f 2 left x right amp left x 5 right 2 end cases 5 x 10 displaystyle 5 leq x leq 10 Poloni s two objective function Minimize f1 x y 1 A1 B1 x y 2 A2 B2 x y 2 f2 x y x 3 2 y 1 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp left 1 left A 1 B 1 left x y right right 2 left A 2 B 2 left x y right right 2 right f 2 left x y right amp left x 3 right 2 left y 1 right 2 end cases where A1 0 5sin 1 2cos 1 sin 2 1 5cos 2 A2 1 5sin 1 cos 1 2sin 2 0 5cos 2 B1 x y 0 5sin x 2cos x sin y 1 5cos y B2 x y 1 5sin x cos x 2sin y 0 5cos y displaystyle text where begin cases A 1 amp 0 5 sin left 1 right 2 cos left 1 right sin left 2 right 1 5 cos left 2 right A 2 amp 1 5 sin left 1 right cos left 1 right 2 sin left 2 right 0 5 cos left 2 right B 1 left x y right amp 0 5 sin left x right 2 cos left x right sin left y right 1 5 cos left y right B 2 left x y right amp 1 5 sin left x right cos left x right 2 sin left y right 0 5 cos left y right end cases p x y p displaystyle pi leq x y leq pi Zitzler Deb Thiele s function N 1 Minimize f1 x x1f2 x g x h f1 x g x g x 1 929 i 230xih f1 x g x 1 f1 x g x displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp x 1 f 2 left boldsymbol x right amp g left boldsymbol x right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right g left boldsymbol x right amp 1 frac 9 29 sum i 2 30 x i h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right amp 1 sqrt frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right end cases 0 xi 1 displaystyle 0 leq x i leq 1 1 i 30 displaystyle 1 leq i leq 30 Zitzler Deb Thiele s function N 2 Minimize f1 x x1f2 x g x h f1 x g x g x 1 929 i 230xih f1 x g x 1 f1 x g x 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp x 1 f 2 left boldsymbol x right amp g left boldsymbol x right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right g left boldsymbol x right amp 1 frac 9 29 sum i 2 30 x i h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right amp 1 left frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right 2 end cases 0 xi 1 displaystyle 0 leq x i leq 1 1 i 30 displaystyle 1 leq i leq 30 Zitzler Deb Thiele s function N 3 Minimize f1 x x1f2 x g x h f1 x g x g x 1 929 i 230xih f1 x g x 1 f1 x g x f1 x g x sin 10pf1 x displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp x 1 f 2 left boldsymbol x right amp g left boldsymbol x right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right g left boldsymbol x right amp 1 frac 9 29 sum i 2 30 x i h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right amp 1 sqrt frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right left frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right sin left 10 pi f 1 left boldsymbol x right right end cases 0 xi 1 displaystyle 0 leq x i leq 1 1 i 30 displaystyle 1 leq i leq 30 Zitzler Deb Thiele s function N 4 Minimize f1 x x1f2 x g x h f1 x g x g x 91 i 210 xi2 10cos 4pxi h f1 x g x 1 f1 x g x displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp x 1 f 2 left boldsymbol x right amp g left boldsymbol x right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right g left boldsymbol x right amp 91 sum i 2 10 left x i 2 10 cos left 4 pi x i right right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right amp 1 sqrt frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right end cases 0 x1 1 displaystyle 0 leq x 1 leq 1 5 xi 5 displaystyle 5 leq x i leq 5 2 i 10 displaystyle 2 leq i leq 10 Zitzler Deb Thiele s function N 6 Minimize f1 x 1 exp 4x1 sin6 6px1 f2 x g x h f1 x g x g x 1 9 i 210xi9 0 25h f1 x g x 1 f1 x g x 2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp 1 exp left 4x 1 right sin 6 left 6 pi x 1 right f 2 left boldsymbol x right amp g left boldsymbol x right h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right g left boldsymbol x right amp 1 9 left frac sum i 2 10 x i 9 right 0 25 h left f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right amp 1 left frac f 1 left boldsymbol x right g left boldsymbol x right right 2 end cases 0 xi 1 displaystyle 0 leq x i leq 1 1 i 10 displaystyle 1 leq i leq 10 Viennet function Minimize f1 x y 0 5 x2 y2 sin x2 y2 f2 x y 3x 2y 4 28 x y 1 227 15f3 x y 1x2 y2 1 1 1exp x2 y2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp 0 5 left x 2 y 2 right sin left x 2 y 2 right f 2 left x y right amp frac left 3x 2y 4 right 2 8 frac left x y 1 right 2 27 15 f 3 left x y right amp frac 1 x 2 y 2 1 1 1 exp left left x 2 y 2 right right end cases 3 x y 3 displaystyle 3 leq x y leq 3 Osyczka and Kundu function F1 x 25 x1 2 2 x2 2 2 displaystyle F 1 x 25 left x 1 2 right 2 left x 2 2 right 2 x3 1 2 x4 4 2 x5 1 2 displaystyle left x 3 1 right 2 left x 4 4 right 2 left x 5 1 right 2 Minimize f1 x F1 x f2 x i 16xi2 displaystyle text Minimize begin cases f 1 left boldsymbol x right amp F 1 x f 2 left boldsymbol x right amp sum i 1 6 x i 2 end cases s t g1 x x1 x2 2 0g2 x 6 x1 x2 0g3 x 2 x2 x1 0g4 x 2 x1 3x2 0g5 x 4 x3 3 2 x4 0g6 x x5 3 2 x6 4 0 displaystyle text s t begin cases g 1 left boldsymbol x right amp x 1 x 2 2 geq 0 g 2 left boldsymbol x right amp 6 x 1 x 2 geq 0 g 3 left boldsymbol x right amp 2 x 2 x 1 geq 0 g 4 left boldsymbol x right amp 2 x 1 3x 2 geq 0 g 5 left boldsymbol x right amp 4 left x 3 3 right 2 x 4 geq 0 g 6 left boldsymbol x right amp left x 5 3 right 2 x 6 4 geq 0 end cases 0 x1 x2 x6 10 displaystyle 0 leq x 1 x 2 x 6 leq 10 1 x3 x5 5 displaystyle 1 leq x 3 x 5 leq 5 0 x4 6 displaystyle 0 leq x 4 leq 6 CTP1 function 2 variables Minimize f1 x y xf2 x y 1 y exp x1 y displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp x f 2 left x y right amp left 1 y right exp left frac x 1 y right end cases s t g1 x y f2 x y 0 858exp 0 541f1 x y 1g1 x y f2 x y 0 728exp 0 295f1 x y 1 displaystyle text s t begin cases g 1 left x y right amp frac f 2 left x y right 0 858 exp left 0 541f 1 left x y right right geq 1 g 1 left x y right amp frac f 2 left x y right 0 728 exp left 0 295f 1 left x y right right geq 1 end cases 0 x y 1 displaystyle 0 leq x y leq 1 Constr Ex problem Minimize f1 x y xf2 x y 1 yx displaystyle text Minimize begin cases f 1 left x y right amp x f 2 left x y right amp frac 1 y x end cases s t g1 x y y 9x 6g1 x y y 9x 1 displaystyle text s t begin cases g 1 left x y right amp y 9x geq 6 g 1 left x y right amp y 9x geq 1 end cases 0 1 x 1 displaystyle 0 1 leq x leq 1 0 y 5 displaystyle 0 leq y leq 5 PrimitkiSimionescu P A 2014 Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users vid 1st Boca Raton FL CRC Press ISBN 9 781 48225290 3 PosilannyaOptimization Test Problems angl 3D Function Grapher angl DzherelaBack Thomas Evolutionary algorithms in theory and practice evolution strategies evolutionary programming genetic algorithms Oxford Oxford University Press 1995 p 328 ISBN 0 19 509971 0 Deb Kalyanmoy 2002 Multiobjective optimization using evolutionary algorithms Repr ed Chichester u a Wiley ISBN 0 471 87339 X Binh T and Korn U MOBES A Multiobjective Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems In Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms Czech Republic 1997 pp 176 182 Binh T A multiobjective evolutionary algorithm The study cases Technical report Institute for Automation and Communication Barleben Germany 1999