Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.
Нехай A — оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор , що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини — спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині
В спектрі оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:
- дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A;
- неперервним спектром називається множина значень , при яких резольвента визначена на всюду щільній множині в E, але не є неперервною;
- залишковим спектром називається множина точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин.
Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через . При цьому виконується рівність
Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці .
Джерела Редагувати
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)