Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора із власним значенням називається така ненульова функція , для якої виконується співвідношення
де це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора на його власну функцію зводиться до множення на число Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.
Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням , то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора належить до спектра , але взагалі спектр оператора містить також що не є власними числами.
Приклади Редагувати
1. Розглянемо зміну напрямку на числовій осі . Це — відображення до себе, що приводить до лінійного оператора що діє на функціях на за формулою
Власними функціями є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.
2. Для оператора похідної у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної , експоненціальна функція є власною функцією із власним значенням У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція ☃☃ що задовольняє
має вигляд тобто пропорційна Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція пропорційна комплексній експоненціальній функції
є власними функціями диференціального оператора
з власними значеннями Ці функції — скінченні у точках і будь-яка власна функція скінченна у пропорційна до певного