www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії який вивчає ріманові многовиди гладкі многовиди з рімановою метр

Ріманова геометрія

Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії, який вивчає ріманові многовиди, гладкі многовиди з рімановою метрикою, тобто зі скалярним добутком на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття кута, довжини кривої, площі поверхні та об'єму. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтегрування локальних складових.

Ріманова геометрія виникла з бачення Бернгарда Рімана, викладеного в його інавгураційній лекції Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Про гіпотези, що лежать в основі геометрії). Це дуже широке і абстрактне узагальнення диференціальної геометрії поверхонь в R3. Розвиток ріманової геометрії є результатом синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінки геодезичних ліній на них, з методами, які можуть бути застосовані для вивчення диференційовних многовидів вищих розмірностей. Це уможливило загальну теорію відносності Ейнштейна, яка глибоко вплинула на теорію груп і теорію представлень, так само як і на аналіз[en], і стимулювала розвиток алгебричної і диференціальної топології.

Введення Редагувати

Бернгард Ріман

Ріманову геометрію вперше винесено на загал Бернгардом Ріманом у XIX столітті. Вона має справу з широким спектром геометрій, метричні властивості яких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів неевклідової геометрії.

На будь-якому гладкому многовиді можна ввести ріманову метрику, яка часто допомагає вирішити проблеми диференціальної топології. Вона також слугує початковим рівнем для більш складної структури — псевдоріманових многовидів, які (в чотирьох вимірах) є основними об'єктами загальної теорії відносності. Інші узагальнення ріманової геометрії включають фінслерову геометрію.

Існує близька аналогія диференціальної геометрії з математичними структурами дефектів у звичайних кристалах. Дислокації та дисклінації породжують кривину і скрут.

Наступні статті містять корисний вступний матеріал до ріманової геометрії:

Класичні теореми в рімановій геометрії Редагувати

Далі наведено неповний список найбільш класичних теорем в рімановій геометрії. Вибір зроблений залежно від її важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії Джеффа Чігера і Д. Ебіна (див. нижче).

Наведені формулювання далеко не самі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, кому відомі основні визначення і хоче знати, про що ці визначення.

Загальні теореми Редагувати

  1. Теорема Гауса — Бонне — інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді M дорівнює 2πχ(M) де χ(M) позначає Ейлерову характеристику M. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. узагальнену теорему Гауса-Бонне[en].
  2. Теорема Неша про регулярні вкладення[en], також її називають фундаментальною теоремою геометрії Рімана[en]. Вона стверджує, що кожен Ріманів многовид можна ізометрично вкласти в Евклідів простір Rn.

Геометрія в цілому Редагувати

У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

Затиснена секційна кривина Редагувати

  1. Теорема про сферу. Якщо M є компактний однозв'язний n-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то M дифеоморфний сфері.
  2. Теорема скінченності Чігера. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів) — компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною |K| ≤ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.
  3. Майже плоскі многовиди Громова[en]. Існує εn >0 таке, що якщо n-вимірний ріманів многовид має метрику з секційною кривиною |K| ≤ εn та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне нільмноговиду.

Секційні кривини обмежені знизу Редагувати

  1. Теорема душі[en] Чігера-Громолла. Якщо M є некомпактний повний n-вимірний ріманів многовид невід'ємної кривини, то M містить компактний, цілком геодезичний підмноговид S такий, що M дифеоморфне нормальному шаруванню S (S називається душею M.) Зокрема, якщо M має строго додатну кривину всюди, то воно дифеоморфне Rn. Г. Перельман в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: M дифеоморфне Rn якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
  2. Теорема Громова про число Бетті. Існує константа C = C(n) така, що якщо M є компактним зв'язним n-вимірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його чисел Бетті максимально C.
  3. Теорема обмеженості Грува-Петерсена. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число гомотопних типів компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною K ≥ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.

Секційні кривини обмежені зверху Редагувати

  1. Теорема Адамара — Картана стверджує, що повний однозв'язний Ріманів многовид M з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний Евклідовому простору Rn з n = dim M за допомогою експоненціального відображення в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною геодезичною кривою.
  2. Геодезичний потік будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною ергодичний.
  3. Якщо M є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою k то це CAT(k) простір[en]. Тому, його фундаментальна група Γ = π1(M) є гіперболічною групою Громова. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:

Кривина Річчі обмежена знизу Редагувати

  1. Теорема Маєрса. Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його фундаментальна група скінченна.
  2. Теорема розщеплення[en]. Якщо повний n-вимірний ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто геодезичну, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої та повного (n-1)-вимірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
  3. Нерівність Бішопа — Громова. Об'єм метричної кулі з радіусом r в повному n-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса r в Евклідовому просторі.
  4. Теорема Громова про компактність. Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше D є пред-компактом в метриці Громова — Гаусдорфа.

Від'ємна кривина Річчі Редагувати

  1. Ізометрична група компактного ріманового многовиду з від'ємною кривиною Річчі є дискретною.
  2. На будь-якому гладкому многовиду вимірності n≥3 можна ввести ріманову метрику з від'ємною кривиною Річчі (Це невірно для поверхонь.)

Додатна скалярна кривина Редагувати

  1. n-вимірний тор не допускає метрику з додатною скалярною кривиною.
  2. Якщо радіус ін'єктивності компактного n-вимірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує n(n-1).

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Кляйнерт Хаген. Gauge Fields in Condensed Matter Vol II. — 1989. — С. 743—1440.
  2. Кляйнерт Хаген. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation. — 2008. — С. 1-496.
  3. Йоахім Лоукамп показав (Annals of Mathematics, 1994), що будь-який многовид розмірності, більше двох допускає метрику від'ємної кривини Річчі.

Література Редагувати

  • Математики й містики // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 49-64.
  • Берже, Марсель (2000). Ріманова геометрія протягом другої половини ХХ століття. Цикл університетських лекцій 17. Род-Айленд: Американське математичне товариство. ISBN 0-8218-2052-4. . (Наводиться історичний огляд, в тому числі сотні посилань.)
  • Чігер, Джефф (2008). Теореми порівняння в рімановій геометрії. Провіденс: AMS Chelsea Publishing. ; Переглянутий передрук оригіналу 1975 року.
  • Галлот, Сильвестр; Халін, Домінік; Лафонтен, Жак (2004). Ріманова геометрія. Університетський текст (вид. третє). Берлін: Спрінгер-Верлаг. .
  • Йост, Юрген (2002). Ріманова геометрія і геометричний аналіз. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 3-540-42627-2. .
  • Петерсен, Пітер (2006). Ріманова геометрія. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 0-387-98212-4. 
  • Брендл, Саймон; Шоен, Річард М. (2007). Класифікація многовидів із слабкими 1/4-затисненими кривинами. arXiv:0705.3963. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rimanova geometriya ye rozdilom diferencialnoyi geometriyi yakij vivchaye rimanovi mnogovidi gladki mnogovidi z rimanovoyu metrikoyu tobto zi skalyarnim dobutkom na dotichnomu prostori v kozhnij tochci yaka zminyuyetsya plavno vid tochki do tochki Ce zokrema dozvolyaye vvesti lokalni ponyattya kuta dovzhini krivoyi ploshi poverhni ta ob yemu Z cih lokalnih globalni velichini mozhut buti otrimani shlyahom integruvannya lokalnih skladovih Rimanova geometriya vinikla z bachennya Berngarda Rimana vikladenogo v jogo inavguracijnij lekciyi Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen Pro gipotezi sho lezhat v osnovi geometriyi Ce duzhe shiroke i abstraktne uzagalnennya diferencialnoyi geometriyi poverhon v R3 Rozvitok rimanovoyi geometriyi ye rezultatom sintezu riznih rezultativ sho stosuyutsya geometriyi poverhon i povedinki geodezichnih linij na nih z metodami yaki mozhut buti zastosovani dlya vivchennya diferencijovnih mnogovidiv vishih rozmirnostej Ce umozhlivilo zagalnu teoriyu vidnosnosti Ejnshtejna yaka gliboko vplinula na teoriyu grup i teoriyu predstavlen tak samo yak i na analiz en i stimulyuvala rozvitok algebrichnoyi i diferencialnoyi topologiyi Zmist 1 Vvedennya 2 Klasichni teoremi v rimanovij geometriyi 2 1 Zagalni teoremi 2 2 Geometriya v cilomu 2 2 1 Zatisnena sekcijna krivina 2 2 2 Sekcijni krivini obmezheni znizu 2 2 3 Sekcijni krivini obmezheni zverhu 2 2 4 Krivina Richchi obmezhena znizu 2 2 5 Vid yemna krivina Richchi 2 2 6 Dodatna skalyarna krivina 3 Div takozh 4 Primitki 5 LiteraturaVvedennya Redaguvati nbsp Berngard RimanRimanovu geometriyu vpershe vineseno na zagal Berngardom Rimanom u XIX stolitti Vona maye spravu z shirokim spektrom geometrij metrichni vlastivosti yakih zminyuyutsya vid tochki do tochki v tomu chisli standartnih tipiv neevklidovoyi geometriyi Na bud yakomu gladkomu mnogovidi mozhna vvesti rimanovu metriku yaka chasto dopomagaye virishiti problemi diferencialnoyi topologiyi Vona takozh sluguye pochatkovim rivnem dlya bilsh skladnoyi strukturi psevdorimanovih mnogovidiv yaki v chotiroh vimirah ye osnovnimi ob yektami zagalnoyi teoriyi vidnosnosti Inshi uzagalnennya rimanovoyi geometriyi vklyuchayut finslerovu geometriyu Isnuye blizka analogiya diferencialnoyi geometriyi z matematichnimi strukturami defektiv u zvichajnih kristalah Dislokaciyi ta disklinaciyi porodzhuyut krivinu i skrut 1 2 Nastupni statti mistyat korisnij vstupnij material do rimanovoyi geometriyi Metrichnij tenzor Rimaniv mnogovid Krivina matematika Tenzor kriviniKlasichni teoremi v rimanovij geometriyi RedaguvatiDali navedeno nepovnij spisok najbilsh klasichnih teorem v rimanovij geometriyi Vibir zroblenij zalezhno vid yiyi vazhlivosti krasi i prostoti formulyuvannya Bilshist rezultativ mozhna znajti v klasichnij monografiyi Dzheffa Chigera i D Ebina div nizhche Navedeni formulyuvannya daleko ne sami tochni abo bilsh zagalni Cej spisok oriyentovanij na tih komu vidomi osnovni viznachennya i hoche znati pro sho ci viznachennya Zagalni teoremi Redaguvati Teorema Gausa Bonne integral vid Gausovoyi krivini na kompaktnomu 2 vimirnomu rimanovomu mnogovidi M dorivnyuye 2px M de x M poznachaye Ejlerovu harakteristiku M Cya teorema maye uzagalnennya na bud yakomu kompaktnomu parnomirnomu rimanovomu mnovidi div uzagalnenu teoremu Gausa Bonne en Teorema Nesha pro regulyarni vkladennya en takozh yiyi nazivayut fundamentalnoyu teoremoyu geometriyi Rimana en Vona stverdzhuye sho kozhen Rimaniv mnogovid mozhna izometrichno vklasti v Evklidiv prostir Rn Geometriya v cilomu Redaguvati U vsih nastupnih teoremah mi pripuskayemo deyaku lokalnu povedinku prostoru zazvichaj sformulovani pripushennyam pro krivinu shob otrimati deyaku informaciyu pro globalnu strukturu prostoru v tomu chisli bud yaku informaciyu pro topologichnij tip mnogovidu abo pro povedinku tochok na dostatno velikih vidstanyah Zatisnena sekcijna krivina Redaguvati Teorema pro sferu Yaksho M ye kompaktnij odnozv yaznij n vimirnij rimaniv mnogovid z sekcijnoyu krivinoyu zatisnutoyu mizh 1 4 i 1 to M difeomorfnij sferi Teorema skinchennosti Chigera Dlya zadanih konstant C D i V isnuye skinchenne chislo z tochnistyu do difeomorfizmiv kompaktnih n vimirnih rimanovih mnogovidiv z sekcijnoyu krivinoyu K C diametrom D ta ob yemom V Majzhe ploski mnogovidi Gromova en Isnuye en gt 0 take sho yaksho n vimirnij rimaniv mnogovid maye metriku z sekcijnoyu krivinoyu K en ta diametr 1 to jogo skinchenne pokrittya difeomorfne nilmnogovidu Sekcijni krivini obmezheni znizu Redaguvati Teorema dushi en Chigera Gromolla Yaksho M ye nekompaktnij povnij n vimirnij rimaniv mnogovid nevid yemnoyi krivini to M mistit kompaktnij cilkom geodezichnij pidmnogovid S takij sho M difeomorfne normalnomu sharuvannyu S S nazivayetsya dusheyu M Zokrema yaksho M maye strogo dodatnu krivinu vsyudi to vono difeomorfne Rn G Perelman v 1994 roci dav divno elegantnij korotkij dokaz gipotezi M difeomorfne Rn yaksho vono maye dodatnu krivinu hocha b v odnij tochci Teorema Gromova pro chislo Betti Isnuye konstanta C C n taka sho yaksho M ye kompaktnim zv yaznim n vimirnim rimanovim mnogovidom z dodatnoyu sekcijnoyu krivinoyu to suma jogo chisel Betti maksimalno C Teorema obmezhenosti Gruva Petersena Dlya zadanih konstant C D i V isnuye skinchenne chislo gomotopnih tipiv kompaktnih n vimirnih rimanovih mnogovidiv z sekcijnoyu krivinoyu K C diametrom D ta ob yemom V Sekcijni krivini obmezheni zverhu Redaguvati Teorema Adamara Kartana stverdzhuye sho povnij odnozv yaznij Rimaniv mnogovid M z vid yemnoyu sekcijnoyu krivinoyu difeomorfnij Evklidovomu prostoru Rn z n dim M za dopomogoyu eksponencialnogo vidobrazhennya v bud yakij tochci Ce oznachaye sho bud yaki dvi tochki odnozv yaznih povnih rimanovih mnogovidiv z vid yemnoyu sekcijnoyu krivinoyu z yednani yedinoyu geodezichnoyu krivoyu Geodezichnij potik bud yakogo kompaktnogo rimanovogo mnogovidu z vid yemnoyu sekcijnoyu krivinoyu ergodichnij Yaksho M ye povnim rimanovim mnogovidom z sekcijnoyu krivinoyu obmezhenoyu zverhu strogo vid yemnoyu konstantoyu k to ce CAT k prostir en Tomu jogo fundamentalna grupa G p1 M ye giperbolichnoyu grupoyu Gromova Ce maye bagato naslidkiv dlya strukturi fundamentalnoyi grupi vona skinchenno predstavlena problema totozhnosti en dlya G maye pozitivne rishennya grupa G maye skinchennu virtualnu kogomologichnu rozmirnist en vona mistit lishe skinchennu kilkist klasiv spryazhenosti elementiv skinchennogo poryadku Abelevi pidgrupi G ye faktichno ciklichnimi tak sho vona ne mistit pidgrupu izomorfichnu Z Z dd Krivina Richchi obmezhena znizu Redaguvati Teorema Mayersa Yaksho kompaktnij rimaniv mnogovid maye dodatnu krivinu Richchi to jogo fundamentalna grupa skinchenna Teorema rozsheplennya en Yaksho povnij n vimirnij rimaniv mnogovid maye nevid yemnu krivinu Richchi i pryamu liniyu tobto geodezichnu yaka minimizuye vidstan na kozhnomu vidrizku to vin izometrichnij pryamomu dobutku chislovoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R nbsp ta povnogo n 1 vimirnogo rimanovogo mnogovidu z nevid yemnoyu krivinoyu Richchi Nerivnist Bishopa Gromova Ob yem metrichnoyi kuli z radiusom r v povnomu n vimirnomu rimanovomu mnogovidi z dodatnoyu krivinoyu Richchi ne perevishuye ob yem kuli togo zh radiusa r v Evklidovomu prostori Teorema Gromova pro kompaktnist Mnozhina rimanovih mnogovidiv z dodatnimi krivinami Richchi diametrom ne bilshe D ye pred kompaktom v metrici Gromova Gausdorfa Vid yemna krivina Richchi Redaguvati Izometrichna grupa kompaktnogo rimanovogo mnogovidu z vid yemnoyu krivinoyu Richchi ye diskretnoyu Na bud yakomu gladkomu mnogovidu vimirnosti n 3 mozhna vvesti rimanovu metriku z vid yemnoyu krivinoyu Richchi 3 Ce nevirno dlya poverhon Dodatna skalyarna krivina Redaguvati n vimirnij tor ne dopuskaye metriku z dodatnoyu skalyarnoyu krivinoyu Yaksho radius in yektivnosti kompaktnogo n vimirnogo rimanovogo mnogovidu p todi serednya skalyarna krivina ne perevishuye n n 1 Div takozh RedaguvatiForma Vsesvitu Stala ChigeraPrimitki Redaguvati Klyajnert Hagen Gauge Fields in Condensed Matter Vol II 1989 S 743 1440 Klyajnert Hagen Multivalued Fields in Condensed Matter Electromagnetism and Gravitation 2008 S 1 496 Joahim Loukamp pokazav Annals of Mathematics 1994 sho bud yakij mnogovid rozmirnosti bilshe dvoh dopuskaye metriku vid yemnoyi krivini Richchi Literatura RedaguvatiMatematiki j mistiki Giperprostir Michio Kajku Per z anglijskoyi Anzhela Kam yanec Nauk red Ivan Vakarchuk Lviv Litopis 2019 S 49 64 Berzhe Marsel 2000 Rimanova geometriya protyagom drugoyi polovini HH stolittya Cikl universitetskih lekcij 17 Rod Ajlend Amerikanske matematichne tovaristvo ISBN 0 8218 2052 4 Navoditsya istorichnij oglyad v tomu chisli sotni posilan Chiger Dzheff 2008 Teoremi porivnyannya v rimanovij geometriyi Providens AMS Chelsea Publishing Pereglyanutij peredruk originalu 1975 roku Gallot Silvestr Halin Dominik Lafonten Zhak 2004 Rimanova geometriya Universitetskij tekst vid tretye Berlin Springer Verlag Jost Yurgen 2002 Rimanova geometriya i geometrichnij analiz Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 42627 2 Petersen Piter 2006 Rimanova geometriya Berlin Springer Verlag ISBN 0 387 98212 4 Brendl Sajmon Shoen Richard M 2007 Klasifikaciya mnogovidiv iz slabkimi 1 4 zatisnenimi krivinami arXiv 0705 3963 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rimanova geometriya amp oldid 38428873