www.wikidata.uk-ua.nina.az

Стала Чіґера Ізопериметри чною ста лою Чі ґера компактного ріманового многовиду M displaystyle M називають додатне дійсн

Стала Чіґера

Ізопериметри́чною ста́лою Чі́ґера компактного ріманового многовиду називають додатне дійсне число , що визначається через найменшу площу гіперповерхні, яка ділить на дві частини рівного об'єму, що не перетинаються. 1970 року Джеф Чіґер довів нерівність, що пов'язує перше нетривіальне власне число оператора Лапласа — Бельтрамі на з числом . Це доведення дуже вплинуло на ріманову геометрію і сприяло створенню аналогічної концепції в теорії графів.

Визначення ред.

Нехай  — -вимірний замкнутий ріманів многовид. Позначимо через об'єм довільного -вимірного підмноговиду ; через позначимо -вимірний об'єм підмноговиду (зазвичай у цьому контексті його називають «площею»). Тоді ізопериметрична стала Чіґера многовиду визначається як

де інфімум береться за всіма гладкими -вимірними підмноговидами многовиду , які ділять його на два неперетинних підмноговиди і . Ізопериметричну сталу можна визначити і для некомпактних ріманових многовидів скінченного об'єму.

Нерівність Чіґера ред.

Стала Чіґера та найменше додатне власне число оператора Лапласа пов'язані такою фундаментальною нерівністю, яку довів Чіґер:

Ця нерівність оптимальна в такому сенсі: для будь-якого , натурального числа і існує двовимірний ріманів многовид з ізопериметричною сталою і такий, що -те власне число оператора Лапласа лежить на відстані не більше від межі Чіґера (Бузер, 1978).

Нерівність Бузера ред.

Пітер Бузер знайшов вираз для верхньої межі через ізопериметричну константу . Нехай  — -вимірний замкнутий ріманів многовид, кривина Річчі якого обмежена зверху числом де .

Тоді

Див. також ред.

Посилання ред.

  • Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 MR0683635
  • Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. MR0478248
  • Джеф Чіґер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 MR0402831
  • Олександр Любоцький[en], Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Izoperimetri chnoyu sta loyu Chi gera kompaktnogo rimanovogo mnogovidu M displaystyle M nazivayut dodatne dijsne chislo h M displaystyle h M sho viznachayetsya cherez najmenshu ploshu giperpoverhni yaka dilit M displaystyle M na dvi chastini rivnogo ob yemu sho ne peretinayutsya 1970 roku Dzhef Chiger doviv nerivnist sho pov yazuye pershe netrivialne vlasne chislo operatora Laplasa Beltrami na M displaystyle M z chislom h M displaystyle h M Ce dovedennya duzhe vplinulo na rimanovu geometriyu i spriyalo stvorennyu analogichnoyi koncepciyi v teoriyi grafiv Zmist 1 Viznachennya 2 Nerivnist Chigera 3 Nerivnist Buzera 4 Div takozh 5 PosilannyaViznachennya red Nehaj M displaystyle M nbsp n displaystyle n nbsp vimirnij zamknutij rimaniv mnogovid Poznachimo cherez V A displaystyle V A nbsp ob yem dovilnogo n displaystyle n nbsp vimirnogo pidmnogovidu A displaystyle A nbsp cherez S E displaystyle S E nbsp poznachimo n 1 displaystyle n 1 nbsp vimirnij ob yem pidmnogovidu E displaystyle E nbsp zazvichaj u comu konteksti jogo nazivayut plosheyu Todi izoperimetrichna stala Chigera mnogovidu M displaystyle M nbsp viznachayetsya yak h M inf E S E min V A V B displaystyle h M inf E frac S E min V A V B nbsp de infimum beretsya za vsima gladkimi n 1 displaystyle n 1 nbsp vimirnimi pidmnogovidami E displaystyle E nbsp mnogovidu M displaystyle M nbsp yaki dilyat jogo na dva neperetinnih pidmnogovidi A displaystyle A nbsp i B displaystyle B nbsp Izoperimetrichnu stalu mozhna viznachiti i dlya nekompaktnih rimanovih mnogovidiv skinchennogo ob yemu Nerivnist Chigera red Stala Chigera h M displaystyle h M nbsp ta najmenshe dodatne vlasne chislo operatora Laplasa l 1 M displaystyle lambda 1 M nbsp pov yazani takoyu fundamentalnoyu nerivnistyu yaku doviv Chiger l 1 M h 2 M 4 displaystyle lambda 1 M geq frac h 2 M 4 nbsp Cya nerivnist optimalna v takomu sensi dlya bud yakogo h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp naturalnogo chisla k displaystyle k nbsp i e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye dvovimirnij rimaniv mnogovid M displaystyle M nbsp z izoperimetrichnoyu staloyu h M h displaystyle h M h nbsp i takij sho k displaystyle k nbsp te vlasne chislo operatora Laplasa lezhit na vidstani ne bilshe e displaystyle varepsilon nbsp vid mezhi Chigera Buzer 1978 Nerivnist Buzera red Piter Buzer znajshov viraz dlya verhnoyi mezhi l 1 M displaystyle lambda 1 M nbsp cherez izoperimetrichnu konstantu h M displaystyle h M nbsp Nehaj M displaystyle M nbsp n displaystyle n nbsp vimirnij zamknutij rimaniv mnogovid krivina Richchi yakogo obmezhena zverhu chislom n 1 a 2 displaystyle n 1 a 2 nbsp de a 0 displaystyle a geq 0 nbsp Todi l 1 M 2 a n 1 h M 10 h 2 M displaystyle lambda 1 M leq 2a n 1 h M 10h 2 M nbsp Div takozh red Stala Chigera teoriya grafiv Izoperimetrichna nerivnistPosilannya red Peter Buser A note on the isoperimetric constant Ann Sci Ecole Norm Sup 4 15 1982 no 2 213 230 MR0683635 Peter Buser Uber eine Ungleichung von Cheeger Math Z 158 1978 no 3 245 252 MR0478248 Dzhef Chiger A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian Problems in analysis Papers dedicated to Salomon Bochner 1969 pp 195 199 Princeton Univ Press Princeton N J 1970 MR0402831 Oleksandr Lyubockij en Discrete groups expanding graphs and invariant measures Progress in Mathematics vol 125 Birkhauser Verlag Basel 1994 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stala Chigera amp oldid 36890106