www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіперболічна група У теорії груп точніше в геометричній теорії груп гіперболічна група також відома як словникова гіперб

Гіперболічна група

У теорії груп, точніше в геометричній теорії груп, гіперболічна група, також відома як словникова гіперболічна група або гіперболічна група Громова, — скінченнопороджена група зі словниковою метрикою, що задовольняє певним властивостям, абстрагованим від класичної гіперболічної геометрії.

Поняття гіперболічної групи було введено та досліджено Михайлом Громовим (1987).

Дослідження Громова опиралися на безліч існуючих математичних теорій: гіперболічну геометрію, а також низькорозмірну топологію (зокрема на результати Макса Дена щодо фундаментальної групи гіперболічної поверхні Рімана і набагато складніші поняття топології) і комбінаторну теорію груп.

У визначній (близько 1000 цитувань) роботі 1987 року Громов запропонував далекосяжну дослідницьку програму.

Ідеї та фундаментальні поняття у теорії гіперболічних груп також беруть свій початок із робіт Джорджа Мостоу[en], Вільяма Терстона, Джеймса В. Канона[en], Еліяха Ріпса та багатьох інших.

Означення ред.

Нехай  — скінченнопороджена група, а  — граф Келі відносно деякої скінченної множини генераторів . Множина з метрикою графа (в якому ребра мають одиничну довжину, а відстань між двома вершинами — мінімальна кількість ребер на шляху, що їх з'єднує), що перетворює її в простір довжини. Тоді група називається гіперболічною, якщо  — гіперболічний простір у сенсі Громова. Коротко це означає, що існує таке, що будь-який геодезичний трикутник в множині належить -трубці, як це продемонстровано на рисунку (простір тоді називається -гіперболічним).

-трубка для трикутної умови

Здається, що це означення залежить від вибору скінченнопороджуючої множини . Що це не так, випливає з двох наступних фактів:

  • графи Келі, що відповідають двом породжуючим множини груп, завжди квазіізометричні один одному;
  • будь-який геодезичний простір, який є квазіізометричним геодезичному гіперболічному простору Громова, сам є гіперболічним простором Громова.


Таким чином, можна правомірно говорити про скінченнопороджену групу , як про гіперболічну групу без посилання на породжуючу множину. З іншого боку, простір, який є квазіізометричним -гіперболічному простору, є сам -гіперболічним для деякого , але останнє залежить як від початкового , так і від квазіізометрії, таким чином, нема необхідності говорити, що група є -гіперболічною.

Зауваження ред.

Лема Шварца–Мільнора стверджує, що якщо група діє цілком розривно та компактно факторизована (така дія зазвичай називається геометричною) на просторі власної довжини , тоді ця група є скінченнопородженою, і будь-який граф Келі групи є квазіізометричним простору . Отже, група є (скінченнопородженою і) гіперболічною, тоді й лише тоді, коли вона має геометричну дію на власному гіперболічному просторі.

Якщо є підгрупою скінченного індексу (тобто множина  — скінченна), тоді включення індукує квазіізометрію на вершинах будь-якого локально-скінченного графа Келі в будь-який локальний скінченний граф Келі . Таким чином, підгрупа є гіперболічною тоді й лише тоді, якщо група сама є гіперболічною. Більше того, якщо дві групи є співвимірними[en], то одна є гіперболічною тоді й лише тоді, коли друга також є гіперболічною.

Приклади ред.

Елементарні гіперболічні групи ред.

Найпростішими прикладами гіперболічних груп є скінченні групи (графи Келі яких мають скінченний діаметр, а тому є -гіперболічними з , що дорівнює діаметру).

Іншим простим прикладом є скінченна циклічна група : граф Келі для відносно породжучої множини є прямою такою, що всі трикутники є відрізками прямих і граф є -гіперболічним. З цього випливає, що довільна майже циклічна група (містить копію групи скінченного індексу) також є гіперболічною, наприклад, нескінченна діедральна група[en].

Члени такого класу груп часто називаються елементарними гіперболічними групами (назва адаптована з термінології дій на гіперболічній площині).

Вільні групи і групи, що діють на деревах ред.

Нехай  — скінченна множина і  — вільна група з породжуючою множиною . Тоді граф Келі групи відносно множини  — локально скінченне дерево і, отже,  — гіперболічний простір. Таким чином,  — гіперболічна група.

У більш загальному випадку, будь-яка група , яка діє цілком розривно на локально скінченному дереві (в даному контексті це означає, що стабілізатори групи у вершинах є скінченними), є гіперболічною. Дійсно, це випливає з факту, що група має інваріантне піддерево, на якому група діє з компактним впорядкуванням, і леми Шварца–Мільнора. Такі групи насправді майже вільні (тобто, містять скінченно породжену вільну підгрупу скінченного індексу), що і дає інше доведення їх гіперболічності.

Цікавим прикладом є модулярна група : вона діє на дерево, яке задане 1-комплексом пов'язаної мозаїки гіперболічної площини, і вільну підгрупу (на двох генераторах) скінченного індексу 6 (наприклад, такою підгрупою є множина матриць в групі , які зводяться до одиничної за модулем 2). Звернемо увагу на особливість цього прикладу: група діє цілком розривно на гіперболічний простір (гіперболічну площину), проте дія не є кокомпактною (і дійсно група не є квазіізометричною до гіперболічної площини).

Групи Фукса ред.

Основна стаття: Група Фукса

Група Фукса, яка узагальнює приклад модулярної групи, — група, що допускає цілком розривну дію на гіперболічній площині (еквівалентно, дискретна підгрупа групи ). Гіперболічна площина є -гіперболічним простором і, отже, згідно леми Шварца–Мільнора, кокомпактні групи Фукса є гіперболічними.

Прикладами таких гіперболічних груп є фундаментальні групи замкнених поверхонь від'ємної характеристики Ейлера. Насправді, ці поверхні можна отримати як фактор-структури гіперболічної площини, що випливає з теореми уніформізації Пуанкаре–Кебе.

Інша сім'я прикладів кокомпактних груп Фукса — групи трикутника[en]: усі, окрім деякої скінченної кількості, є гіперболічними.

Від'ємна кривина ред.

Узагальнюючи приклад замкнутих поверхонь, фундаментальні групи компактних ріманових многовидів зі строго від'ємними кривинами у двовимірному напрямку є гіперболічними. Наприклад, кокомпактні ґратки[en] в ортогональній або унітарній групі з сигнатурою є гіперболічними.

Подальше узагальнення визначається групами, які допускають геометричну дію на CAT(k) просторі[en]. Існують приклади, які неспіввимірні з жодною з попередніх конструкцій (наприклад, групи, що діють геометрично на гіперболічних конструкціях[en]).

Групи малого скорочення ред.

Основна стаття: Теорія малого скорочення[en]

Групи, що мають представлення, які задовольняють умовам малих скорочень[en]  — гіперболічні. Це дає джерело прикладів, які не мають геометричного походження, як ті, що були наведені вище. Насправді одним із стимулів для початкового розвитку гіперболічних груп було надати більше геометричних інтерпретацій малого скорочення.

Випадкові групи ред.

Основна стаття: Випадкова група[en]

У деякому сенсі "більшість" скінченно представлених груп з великими визначальними співвідношеннями є гіперболічними. Для кількісного означення того, що це означає, див. Випадкова група[en].

Приклади негіперболічних груп ред.

  • У загальному випадку, будь-яка група, що містить як підгрупу, не є гіперболічною. Зокрема, ґратки[en] напівпростих груп Лі вищого рангу та фундаментальні групи нетривіальних доповнень вузла потрапляють до цієї категорії і тому не є гіперболічними. Це також буде у випадку відображення класів груп[en] замкнених гіперболічних поверхонь.
  • Групи Баумслага–Солітара і будь-яка група, що містить підгрупу ізоморфну деякій групі , не є гіперболічними (оскільки , то це є узагальненням попереднього прикладу).
  • Нерівномірна ґратка в простій групі Лі рангу 1 є гіперболічною тоді й лише тоді, коли група ізогенна групі (або еквівалентно, асоційований симетричний простір є гіперболічною площиною). Прикладом цього є гіперболічні груп вузлів. Іншим прикладом є групи Бьянкі[en], наприклад, група .

Властивості ред.

Алгебраїчні властивості ред.

  • Гіперболічні групи задовольняють альтернативу Тітса: вони, або майже розв'язні (цю можливість задовольняють лише елементарні гіперболічні групи), або вони мають підгрупу ізоморфну неабелевій вільній групі.
  • Неелементарні гіперболічні групи не є простими в дуже сильному сенсі: якщо група  — неелементарна гіперболічна, то існує нескінченна підгрупа така, що і є нескінченними.
  • Невідомо чи існують гіперболічні групи, які не є залишково скінченними.

Геометричні властивості ред.

Гомологічні властивості ред.

  • Гіперболічні групи є завжди скінченно представленими. У дійсності, можна явно побудувати комплекс комплекс Ріпа[en], який є стяжним і на який група діє геометрично, тому це комплекс типу [en]. Якщо група є беззакрутовою і з вільною дією, то це показує, що група має скінченну комогомологічну розмірність[en].
  • У 2002, І. Мінеєв довів, що гіперболічні групи — це в точності ті скінченно породженні групи, для яких відображення порівняння між обмеженою когомологією та звичайною когомологією є сюр'єктивним для всіх степенів або еквівалентно для степеня 2.

Алгоритмічні властивості ред.

  • Гіперболічні групи мають розв'язну проблему еквівалентності[en]. Вони бувають двоавтоматичними[en] та автоматичними[en]. Насправді, вони є сильно геодезично автоматичні[en], тобто на групі є автоматична структура, де мова прийнята акцептором слів, є сукупністю всіх геодезичних слів.
  • У 2010 році було показано, що гіперболічні групи мають алгоритмічно розв'язну проблему маркованого ізоморфізму. Слід відмітити, що це означає, що проблема ізоморфізму, проблеми орбіти (зокрема проблема спряженості) і проблема Уайтхеда є алгоритмічно розв'язними.
  • Каннон і Свенсон показали, що гіперболічні групи з 2-сферою на нескінченності мають природне правило підрозділення[en]. Це пов'язано з гіпотезою Кеннона[en].

Узагальнення ред.

Відносно гіперболічні групи ред.

Основна стаття: Відносно гіперболічні групи[en]

Відносно гіперболічні групи[en] — це клас узагальнених гіперболічних груп. Грубо кажучи, група є гіперболічною відносно набору підгруп , якщо вона допускає (не обов'язково кокомпактну) цілком розривну дію на власному гіперболічному просторі , який є гарним на межі простору і таким, що стабілізатори в групі в точках на межі є підгрупами . Це є цікавим, якщо простір і дія групи на просторі не є елементарними (зокрема, якщо  — нескінченний простір: наприклад, будь-яка група є гіперболічною відносно самої себе через її дію на одну точку!).

Цікавими прикладами у цьому класі є, зокрема, нерівномірні ґратки на напівпростих групах Лі рангу 1, наприклад, фундаментальні групи некомпактних гіперболічних многовидів скінченного об'єму. Прикладами не будуть ґратки на групах Лі вищого рангу та групах класів відображень.

Ациліндрично гіперболічні групи ред.

Ще більш загальним є поняття ациліндрично гіперболічної групи. Ациліндричність дії групи на метричному просторі є послабненням цілком розривної дії.

Група називається ациліндрично гіперболічною, якщо вона допускає неелементарну ациліндричну дію на (не обов'язково власний) гіперболічний простір Громова. Це поняття включає відображення груп класів через їхні дії на комплекси кривих[en]. Ґратки на групах Лі вищого рангу (все ще!) не є ациліндрично гіперболічними.

CAT(0) групи ред.

В іншому напрямку можна послабити припущення про кривину у вище наведених прикладах: група CAT(0) — це група, яка допускає геометричну дію на просторі CAT(0)[en]. Це включає евклідові кристалографічні групи та однорідні ґратки на групах Лі вищого рангу.

Невідомо чи існує гіперболічна група, яка не є CAT(0) групою.


Примітки ред.

  1. Gromov, Mikhail (1987). . У Gersten, S.M. Essays in Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol 8. New York, NY: Springer. с. 75–263. Архів оригіналу за 22 квітня 2017. Процитовано 8 червня 2022. 
  2. Bowditch та 2006, Theorem 3.6.
  3. for a proof that this includes the previous examples see: https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/ [ 31 березня 2022 у Wayback Machine.]
  4. Ghys та de la Harpe, 1990, Ch. 8, Th. 37.
  5. Bridson та Haefliger, 1999, Chapter 3.Γ, Corollary 3.10..
  6. Bowditch, 2006, (F4) in paragraph 6.11.2.
  7. Ghys та de la Harpe, 1990, Chapitre 4.
  8. Mineyev, 2002.
  9. Charney, 1992.
  10. Dahmani та Guirardel, 2011.
  11. Cannon та Swenson, 1998.
  12. Bowditch, 2012.
  13. Osin, 2016.
  14. Детальніше: для будь-якого існують такі, що для будь-яких двох точок , які знаходяться на відстані не менше одна від одної, існує не більше елементів , які задовольняють нерівності та .
  15. Are all -hyperbolic groups CAT(0)?. Stack Exchange. 10 лютого 2015. 


Література ред.

  • Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 319. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9. MR 1744486. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U teoriyi grup tochnishe v geometrichnij teoriyi grup giperbolichna grupa takozh vidoma yak slovnikova giperbolichna grupa abo giperbolichna grupa Gromova skinchennoporodzhena grupa zi slovnikovoyu metrikoyu sho zadovolnyaye pevnim vlastivostyam abstragovanim vid klasichnoyi giperbolichnoyi geometriyi Ponyattya giperbolichnoyi grupi bulo vvedeno ta doslidzheno Mihajlom Gromovim 1987 Doslidzhennya Gromova opiralisya na bezlich isnuyuchih matematichnih teorij giperbolichnu geometriyu a takozh nizkorozmirnu topologiyu zokrema na rezultati Maksa Dena shodo fundamentalnoyi grupi giperbolichnoyi poverhni Rimana i nabagato skladnishi ponyattya topologiyi i kombinatornu teoriyu grup U viznachnij blizko 1000 cituvan 1 roboti 1987 roku Gromov zaproponuvav dalekosyazhnu doslidnicku programu Ideyi ta fundamentalni ponyattya u teoriyi giperbolichnih grup takozh berut svij pochatok iz robit Dzhordzha Mostou en Vilyama Terstona Dzhejmsa V Kanona en Eliyaha Ripsa ta bagatoh inshih Zmist 1 Oznachennya 2 Zauvazhennya 3 Prikladi 3 1 Elementarni giperbolichni grupi 3 2 Vilni grupi i grupi sho diyut na derevah 3 3 Grupi Fuksa 3 4 Vid yemna krivina 3 5 Grupi malogo skorochennya 3 6 Vipadkovi grupi 3 7 Prikladi negiperbolichnih grup 4 Vlastivosti 4 1 Algebrayichni vlastivosti 4 2 Geometrichni vlastivosti 4 3 Gomologichni vlastivosti 4 4 Algoritmichni vlastivosti 5 Uzagalnennya 5 1 Vidnosno giperbolichni grupi 5 2 Acilindrichno giperbolichni grupi 5 3 CAT 0 grupi 6 Primitki 7 LiteraturaOznachennya red Nehaj G displaystyle G nbsp skinchennoporodzhena grupa a X displaystyle X nbsp graf Keli vidnosno deyakoyi skinchennoyi mnozhini generatoriv S displaystyle S nbsp Mnozhina X displaystyle X nbsp z metrikoyu grafa v yakomu rebra mayut odinichnu dovzhinu a vidstan mizh dvoma vershinami minimalna kilkist reber na shlyahu sho yih z yednuye sho peretvoryuye yiyi v prostir dovzhini Todi grupa G displaystyle G nbsp nazivayetsya giperbolichnoyu yaksho X displaystyle X nbsp giperbolichnij prostir u sensi Gromova Korotko ce oznachaye sho isnuye d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp take sho bud yakij geodezichnij trikutnik v mnozhini X displaystyle X nbsp nalezhit d displaystyle delta nbsp trubci yak ce prodemonstrovano na risunku prostir todi nazivayetsya d displaystyle delta nbsp giperbolichnim nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp B d x y displaystyle B delta x y nbsp B d z x displaystyle B delta z x nbsp B d y z displaystyle B delta y z nbsp nbsp d displaystyle delta nbsp trubka dlya trikutnoyi umovi Zdayetsya sho ce oznachennya zalezhit vid viboru skinchennoporodzhuyuchoyi mnozhini S displaystyle S nbsp Sho ce ne tak viplivaye z dvoh nastupnih faktiv grafi Keli sho vidpovidayut dvom porodzhuyuchim mnozhini grup zavzhdi kvaziizometrichni odin odnomu bud yakij geodezichnij prostir yakij ye kvaziizometrichnim geodezichnomu giperbolichnomu prostoru Gromova sam ye giperbolichnim prostorom Gromova Takim chinom mozhna pravomirno govoriti pro skinchennoporodzhenu grupu G displaystyle G nbsp yak pro giperbolichnu grupu bez posilannya na porodzhuyuchu mnozhinu Z inshogo boku prostir yakij ye kvaziizometrichnim d displaystyle delta nbsp giperbolichnomu prostoru ye sam d displaystyle delta nbsp giperbolichnim dlya deyakogo d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp ale ostannye zalezhit yak vid pochatkovogo d displaystyle delta nbsp tak i vid kvaziizometriyi takim chinom nema neobhidnosti govoriti sho grupa G displaystyle G nbsp ye d displaystyle delta nbsp giperbolichnoyu Zauvazhennya red Lema Shvarca Milnora 2 stverdzhuye sho yaksho grupa G displaystyle G nbsp diye cilkom rozrivno ta kompaktno faktorizovana taka diya zazvichaj nazivayetsya geometrichnoyu na prostori vlasnoyi dovzhini Y displaystyle Y nbsp todi cya grupa ye skinchennoporodzhenoyu i bud yakij graf Keli grupi G displaystyle G nbsp ye kvaziizometrichnim prostoru Y displaystyle Y nbsp Otzhe grupa ye skinchennoporodzhenoyu i giperbolichnoyu todi j lishe todi koli vona maye geometrichnu diyu na vlasnomu giperbolichnomu prostori Yaksho G G displaystyle G subset G nbsp ye pidgrupoyu skinchennogo indeksu tobto mnozhina G G displaystyle G G nbsp skinchenna todi vklyuchennya indukuye kvaziizometriyu na vershinah bud yakogo lokalno skinchennogo grafa Keli G displaystyle G nbsp v bud yakij lokalnij skinchennij graf Keli G displaystyle G nbsp Takim chinom pidgrupa G displaystyle G nbsp ye giperbolichnoyu todi j lishe todi yaksho grupa G displaystyle G nbsp sama ye giperbolichnoyu Bilshe togo yaksho dvi grupi ye spivvimirnimi en to odna ye giperbolichnoyu todi j lishe todi koli druga takozh ye giperbolichnoyu Prikladi red Elementarni giperbolichni grupi red Najprostishimi prikladami giperbolichnih grup ye skinchenni grupi grafi Keli yakih mayut skinchennij diametr a tomu ye d displaystyle delta nbsp giperbolichnimi z d displaystyle delta nbsp sho dorivnyuye diametru Inshim prostim prikladom ye skinchenna ciklichna grupa Z displaystyle mathbb Z nbsp graf Keli dlya Z displaystyle mathbb Z nbsp vidnosno porodzhuchoyi mnozhini 1 displaystyle pm 1 nbsp ye pryamoyu takoyu sho vsi trikutniki ye vidrizkami pryamih i graf ye 0 displaystyle 0 nbsp giperbolichnim Z cogo viplivaye sho dovilna majzhe ciklichna grupa mistit kopiyu grupi Z displaystyle mathbb Z nbsp skinchennogo indeksu takozh ye giperbolichnoyu napriklad neskinchenna diedralna grupa en Chleni takogo klasu grup chasto nazivayutsya elementarnimi giperbolichnimi grupami nazva adaptovana z terminologiyi dij na giperbolichnij ploshini Vilni grupi i grupi sho diyut na derevah red Nehaj S a 1 a n displaystyle S a 1 ldots a n nbsp skinchenna mnozhina i F displaystyle F nbsp vilna grupa z porodzhuyuchoyu mnozhinoyu S displaystyle S nbsp Todi graf Keli grupi F displaystyle F nbsp vidnosno mnozhini S displaystyle S nbsp lokalno skinchenne derevo i otzhe 0 displaystyle 0 nbsp giperbolichnij prostir Takim chinom F displaystyle F nbsp giperbolichna grupa U bilsh zagalnomu vipadku bud yaka grupa G displaystyle G nbsp yaka diye cilkom rozrivno na lokalno skinchennomu derevi v danomu konteksti ce oznachaye sho stabilizatori grupi G displaystyle G nbsp u vershinah ye skinchennimi ye giperbolichnoyu Dijsno ce viplivaye z faktu sho grupa G displaystyle G nbsp maye invariantne pidderevo na yakomu grupa diye z kompaktnim vporyadkuvannyam i lemi Shvarca Milnora Taki grupi naspravdi majzhe vilni tobto mistyat skinchenno porodzhenu vilnu pidgrupu skinchennogo indeksu sho i daye inshe dovedennya yih giperbolichnosti Cikavim prikladom ye modulyarna grupa G S L 2 Z displaystyle G rm SL 2 mathbb Z nbsp vona diye na derevo yake zadane 1 kompleksom pov yazanoyi mozayiki giperbolichnoyi ploshini i vilnu pidgrupu na dvoh generatorah skinchennogo indeksu 6 napriklad takoyu pidgrupoyu ye mnozhina matric v grupi G displaystyle G nbsp yaki zvodyatsya do odinichnoyi za modulem 2 Zvernemo uvagu na osoblivist cogo prikladu grupa diye cilkom rozrivno na giperbolichnij prostir giperbolichnu ploshinu prote diya ne ye kokompaktnoyu i dijsno grupa G displaystyle G nbsp ne ye kvaziizometrichnoyu do giperbolichnoyi ploshini Grupi Fuksa red Osnovna stattya Grupa FuksaGrupa Fuksa yaka uzagalnyuye priklad modulyarnoyi grupi grupa sho dopuskaye cilkom rozrivnu diyu na giperbolichnij ploshini ekvivalentno diskretna pidgrupa grupi S L 2 R displaystyle mathrm SL 2 mathbb R nbsp Giperbolichna ploshina ye d displaystyle delta nbsp giperbolichnim prostorom i otzhe zgidno lemi Shvarca Milnora kokompaktni grupi Fuksa ye giperbolichnimi Prikladami takih giperbolichnih grup ye fundamentalni grupi zamknenih poverhon vid yemnoyi harakteristiki Ejlera Naspravdi ci poverhni mozhna otrimati yak faktor strukturi giperbolichnoyi ploshini sho viplivaye z teoremi uniformizaciyi Puankare Kebe Insha sim ya prikladiv kokompaktnih grup Fuksa grupi trikutnika en usi okrim deyakoyi skinchennoyi kilkosti ye giperbolichnimi Vid yemna krivina red Uzagalnyuyuchi priklad zamknutih poverhon fundamentalni grupi kompaktnih rimanovih mnogovidiv zi strogo vid yemnimi krivinami u dvovimirnomu napryamku ye giperbolichnimi Napriklad kokompaktni gratki en v ortogonalnij abo unitarnij grupi z signaturoyu n 1 displaystyle n 1 nbsp ye giperbolichnimi Podalshe uzagalnennya viznachayetsya grupami yaki dopuskayut geometrichnu diyu na CAT k prostori en 3 Isnuyut prikladi yaki nespivvimirni z zhodnoyu z poperednih konstrukcij napriklad grupi sho diyut geometrichno na giperbolichnih konstrukciyah en Grupi malogo skorochennya red Osnovna stattya Teoriya malogo skorochennya en Grupi sho mayut predstavlennya yaki zadovolnyayut umovam malih skorochen en giperbolichni Ce daye dzherelo prikladiv yaki ne mayut geometrichnogo pohodzhennya yak ti sho buli navedeni vishe Naspravdi odnim iz stimuliv dlya pochatkovogo rozvitku giperbolichnih grup bulo nadati bilshe geometrichnih interpretacij malogo skorochennya Vipadkovi grupi red Osnovna stattya Vipadkova grupa en U deyakomu sensi bilshist skinchenno predstavlenih grup z velikimi viznachalnimi spivvidnoshennyami ye giperbolichnimi Dlya kilkisnogo oznachennya togo sho ce oznachaye div Vipadkova grupa en Prikladi negiperbolichnih grup red Najprostishim prikladom grupi yaka ne ye giperbolichnoyu ye vilna abeleva grupa rangu 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Naspravdi cya grupa ye kvaziizometrichna do evklidovogo prostoru yakij ochevidno ne ye giperbolichnoyu oskilki napriklad isnuyut gomotetiyi U zagalnomu vipadku bud yaka grupa sho mistit Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp yak pidgrupu ne ye giperbolichnoyu 4 5 Zokrema gratki en napivprostih grup Li vishogo rangu ta fundamentalni grupi p 1 S 3 K displaystyle pi 1 S 3 setminus K nbsp netrivialnih dopovnen vuzla potraplyayut do ciyeyi kategoriyi i tomu ne ye giperbolichnimi Ce takozh bude u vipadku vidobrazhennya klasiv grup en zamknenih giperbolichnih poverhon Grupi Baumslaga Solitara B m n displaystyle B m n nbsp i bud yaka grupa sho mistit pidgrupu izomorfnu deyakij grupi B m n displaystyle B m n nbsp ne ye giperbolichnimi oskilki B 1 1 Z 2 displaystyle B 1 1 mathbb Z 2 nbsp to ce ye uzagalnennyam poperednogo prikladu Nerivnomirna gratka v prostij grupi Li rangu 1 ye giperbolichnoyu todi j lishe todi koli grupa izogenna grupi S L 2 R displaystyle rm SL 2 mathbb R nbsp abo ekvivalentno asocijovanij simetrichnij prostir ye giperbolichnoyu ploshinoyu Prikladom cogo ye giperbolichni grup vuzliv Inshim prikladom ye grupi Byanki en napriklad grupa S L 2 1 displaystyle mathrm SL 2 sqrt 1 nbsp Vlastivosti red Algebrayichni vlastivosti red Giperbolichni grupi zadovolnyayut alternativu Titsa voni abo majzhe rozv yazni cyu mozhlivist zadovolnyayut lishe elementarni giperbolichni grupi abo voni mayut pidgrupu izomorfnu neabelevij vilnij grupi Neelementarni giperbolichni grupi ne ye prostimi v duzhe silnomu sensi yaksho grupa G displaystyle G nbsp neelementarna giperbolichna to isnuye neskinchenna pidgrupa H G displaystyle H triangleleft G nbsp taka sho H displaystyle H nbsp i G H displaystyle G H nbsp ye neskinchennimi Nevidomo chi isnuyut giperbolichni grupi yaki ne ye zalishkovo skinchennimi Geometrichni vlastivosti red Neelementarni neskinchenni i ne majzhe ciklichni giperbolichni grupi mayut zavzhdi eksponencijnu shvidkist zrostannya ce naslidok alternativi Titsa Giperbolichni grupi zadovolnyayut linijnu izoperimetrichnu nerivnist 6 Gomologichni vlastivosti red Giperbolichni grupi ye zavzhdi skinchenno predstavlenimi U dijsnosti mozhna yavno pobuduvati kompleks kompleks Ripa en yakij ye styazhnim i na yakij grupa diye geometrichno 7 tomu ce kompleks tipu F displaystyle F infty nbsp en Yaksho grupa ye bezzakrutovoyu i z vilnoyu diyeyu to ce pokazuye sho grupa maye skinchennu komogomologichnu rozmirnist en U 2002 I Mineyev doviv sho giperbolichni grupi ce v tochnosti ti skinchenno porodzhenni grupi dlya yakih vidobrazhennya porivnyannya mizh obmezhenoyu kogomologiyeyu ta zvichajnoyu kogomologiyeyu ye syur yektivnim dlya vsih stepeniv abo ekvivalentno dlya stepenya 2 8 Algoritmichni vlastivosti red Giperbolichni grupi mayut rozv yaznu problemu ekvivalentnosti en Voni buvayut dvoavtomatichnimi en ta avtomatichnimi en 9 Naspravdi voni ye silno geodezichno avtomatichni en tobto na grupi ye avtomatichna struktura de mova prijnyata akceptorom sliv ye sukupnistyu vsih geodezichnih sliv U 2010 roci bulo pokazano sho giperbolichni grupi mayut algoritmichno rozv yaznu problemu markovanogo izomorfizmu 10 Slid vidmititi sho ce oznachaye sho problema izomorfizmu problemi orbiti zokrema problema spryazhenosti i problema Uajtheda ye algoritmichno rozv yaznimi Kannon i Svenson pokazali sho giperbolichni grupi z 2 sferoyu na neskinchennosti mayut prirodne pravilo pidrozdilennya en 11 Ce pov yazano z gipotezoyu Kennona en Uzagalnennya red Vidnosno giperbolichni grupi red Osnovna stattya Vidnosno giperbolichni grupi en Vidnosno giperbolichni grupi en ce klas uzagalnenih giperbolichnih grup Grubo kazhuchi 12 grupa G displaystyle G nbsp ye giperbolichnoyu vidnosno naboru pidgrup G displaystyle mathcal G nbsp yaksho vona dopuskaye ne obov yazkovo kokompaktnu cilkom rozrivnu diyu na vlasnomu giperbolichnomu prostori X displaystyle X nbsp yakij ye garnim na mezhi prostoru X displaystyle X nbsp i takim sho stabilizatori v grupi G displaystyle G nbsp v tochkah na mezhi ye pidgrupami G displaystyle mathcal G nbsp Ce ye cikavim yaksho prostir X displaystyle X nbsp i diya grupi G displaystyle G nbsp na prostori X displaystyle X nbsp ne ye elementarnimi zokrema yaksho X displaystyle X nbsp neskinchennij prostir napriklad bud yaka grupa ye giperbolichnoyu vidnosno samoyi sebe cherez yiyi diyu na odnu tochku Cikavimi prikladami u comu klasi ye zokrema nerivnomirni gratki na napivprostih grupah Li rangu 1 napriklad fundamentalni grupi nekompaktnih giperbolichnih mnogovidiv skinchennogo ob yemu Prikladami ne budut gratki na grupah Li vishogo rangu ta grupah klasiv vidobrazhen Acilindrichno giperbolichni grupi red She bilsh zagalnim ye ponyattya acilindrichno giperbolichnoyi grupi 13 Acilindrichnist diyi grupi G displaystyle G nbsp na metrichnomu prostori X displaystyle X nbsp ye poslabnennyam cilkom rozrivnoyi diyi 14 Grupa nazivayetsya acilindrichno giperbolichnoyu yaksho vona dopuskaye neelementarnu acilindrichnu diyu na ne obov yazkovo vlasnij giperbolichnij prostir Gromova Ce ponyattya vklyuchaye vidobrazhennya grup klasiv cherez yihni diyi na kompleksi krivih en Gratki na grupah Li vishogo rangu vse she ne ye acilindrichno giperbolichnimi CAT 0 grupi red V inshomu napryamku mozhna poslabiti pripushennya pro krivinu u vishe navedenih prikladah grupa CAT 0 ce grupa yaka dopuskaye geometrichnu diyu na prostori CAT 0 en Ce vklyuchaye evklidovi kristalografichni grupi ta odnoridni gratki na grupah Li vishogo rangu Nevidomo chi isnuye giperbolichna grupa yaka ne ye CAT 0 grupoyu 15 Primitki red Gromov Mikhail 1987 Hyperbolic Groups U Gersten S M Essays in Group Theory Mathematical Sciences Research Institute Publications vol 8 New York NY Springer s 75 263 Arhiv originalu za 22 kvitnya 2017 Procitovano 8 chervnya 2022 Bowditch ta 2006 Theorem 3 6 for a proof that this includes the previous examples see https lamington wordpress com 2012 10 17 upper curvature bounds and catk Arhivovano 31 bereznya 2022 u Wayback Machine Ghys ta de la Harpe 1990 Ch 8 Th 37 Bridson ta Haefliger 1999 Chapter 3 G Corollary 3 10 Bowditch 2006 F4 in paragraph 6 11 2 Ghys ta de la Harpe 1990 Chapitre 4 Mineyev 2002 Charney 1992 Dahmani ta Guirardel 2011 Cannon ta Swenson 1998 Bowditch 2012 Osin 2016 Detalnishe dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuyut R N gt 0 displaystyle R N gt 0 nbsp taki sho dlya bud yakih dvoh tochok x y X displaystyle x y in X nbsp yaki znahodyatsya na vidstani ne menshe R displaystyle R nbsp odna vid odnoyi isnuye ne bilshe N displaystyle N nbsp elementiv g G displaystyle g in G nbsp yaki zadovolnyayut nerivnosti d x g x lt e displaystyle d x gx lt varepsilon nbsp ta d y g y lt e displaystyle d y gy lt varepsilon nbsp Are all d displaystyle delta nbsp hyperbolic groups CAT 0 Stack Exchange 10 lyutogo 2015 Literatura red Bridson Martin R Haefliger Andre 1999 Metric spaces of non positive curvature Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Fundamental Principles of Mathematical Sciences 319 Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 64324 9 MR 1744486 doi 10 1007 978 3 662 12494 9 Bowditch Brian 2006 A course on geometric group theory MSJ Memoirs 16 Tokyo Mathematical Society of Japan ISBN 4 931469 35 3 MR 2243589 doi 10 1142 e003 Bowditch Brian 2012 Relatively hyperbolic groups International Journal of Algebra and Computation 22 3 1250016 66 pp MR 2922380 doi 10 1142 S0218196712500166 Arhiv originalu za 20 sichnya 2022 Procitovano 9 chervnya 2022 Cannon James W Swenson Eric L 1998 Recognizing constant curvature discrete groups in dimension 3 Transactions of the American Mathematical Society 350 2 809 849 MR 1458317 doi 10 1090 S0002 9947 98 02107 2 Charney Ruth 1992 Artin groups of finite type are biautomatic Mathematische Annalen 292 4 671 683 MR 1157320 doi 10 1007 BF01444642 Dahmani Francois Guirardel Vincent 2011 The isomorphism problem for all hyperbolic groups Geometric and Functional Analysis 21 2 223 300 arXiv 1002 2590 doi 10 1007 s00039 011 0120 0 Ghys Etienne de la Harpe Pierre red 1990 Sur les groupes hyperboliques d apres Mikhael Gromov Hyperbolic groups in the theory of Mikhael Gromov Progress in Mathematics fr 83 Boston MA Birkhauser Boston Inc ISBN 0 8176 3508 4 MR 1086648 doi 10 1007 978 1 4684 9167 8 Gromov Mikhail 1987 Hyperbolic groups U Gersten Steve M Essays in group theory Mathematical Sciences Research Institute Publications 8 New York Springer s 75 263 ISBN 0 387 96618 8 MR 919829 doi 10 1007 978 1 4613 9586 7 3 Mineyev Igor 2002 Bounded cohomology characterizes hyperbolic groups Quarterly Journal of Mathematics 53 1 59 73 MR 1887670 doi 10 1093 qjmath 53 1 59 Osin Denis 2016 Acylindrically hyperbolic groups Transactions of the American Mathematical Society 368 2 851 888 MR 3430352 arXiv 1304 1246 doi 10 1090 tran 6343 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Giperbolichna grupa amp oldid 39436142