У теорії груп група є скінченно апроксимовна або залишково скінченною, якщо для кожного елемента , який не є одиницею в , існує гомоморфізм з у скінченну групу такий, що
Існує ряд еквівалентних означень:
- Група є скінченно апроксимовною, якщо для кожного неодиничного елемента групи існує нормальна підгрупа скінченного індексу, що не містить цей елемент.
- Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її підгруп скінченного індексу є тривіальним.
- Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її нормальних підгруп скінченного індексу є тривіальним.
- Група є скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли вона може бути вкладена всередину прямого добутку сім'ї скінченних груп.
Приклади Редагувати
Прикладами скінченно апроксимовних груп є скінченні групи, вільні групи, скінченно породжені нільпотентні групи, поліциклічні скінченні групи, скінченно породжені лінійні групи та фундаментальні групи компактних 3-вимірних многовидів[en]. Підгрупи скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовними, і прямі добутки скінченно апроксимовних груп також є скінченно апроксимовними. Будь-яка проєктивна границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною. Зокрема, усі проскінченні групи є скінченно апроксимовними.
Можна побудувати приклади груп, які не є скінченно апроксимовними, якщо використати факт, що всі скінченно породжені скінченно апроксимовні групи є групами Гопфа. Наприклад, група Баумслага — Солітера не є гопфівською, а отже, не скінченно апроксимовна.
Проскінченна топологія Редагувати
Будь-яку групу можна перетворити на топологічну групу, якщо взяти за базис відкриті околи одиниці, набір усіх нормальних підгруп скінченного індексу в групі Отримана топологія називається проскінченною топологією на групі . Група скінченно апроксимовна тоді й лише тоді, коли її проскінченна топологія ― гаусдорфова.
Група, циклічні підгрупи якої замкнуті в проскінченній топології, позначається як . Групи, в яких будь-яка скінченно породжена підгрупа є замкнутою в проскінченній топології, називаються підгруп сепарабельними (також ― локально розширеними скінченно апроксимовними). Група, в якій будь-який клас спряженості є замкненим у проскінченній топології, називається сепарабельно спряженою.
Многовиди скінченно апросимовних груп Редагувати
На питання «Які властивості многовиду всіх скінченно апроксимовних груп?» є дві відповіді:
- Будь-який многовид, що містить лише скінченно апроксимовні групи, породжується -групою[en].
- Якщо многовид включає лише скінченно апроксимовні групи, то цей многовид містить скінченну групу таку, що всі її члени вкладено в прямий добуток цієї скінченної групи.
Властивості Редагувати
- Теорема Мальцева. Будь-яка скінченно породжена підгрупа загальної лінійної групи є скінченно апроксимовною.
- Підгрупа скінченно апроксимовної групи є скінченно апроксимовною.
- Прямий добуток скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовним.
- Обернена границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною.
- Зокрема, проскінченні групи є скінченно апроксимовними.
- Будь-яка скінченно породжена скінченно апроксимовна група є гопфовою, тобто не має власних факторгруп, ізоморфних їй самій.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- A. I. Mal'cev, «On the faithful representation of infinite groups by matrices» Transl. Amer. Math. Soc. (2), 45 (1965) pp. 1–18
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |