www.wikidata.uk-ua.nina.az

Вільна група В теорії груп група G називається вільною групою якщо існує підмножина S в G така що кожен елемент G запису

Вільна група

В теорії груп, група G називається вільною групою, якщо існує підмножина S в G, така що кожен елемент G записується єдиним чином як добуток скінченного числа елементів S і їх обернених елементів. (Єдиність розуміється з точністю до тривіальних комбінацій на зразок st = su-1ut.) Говорять, що G (вільно) породжена S і пишуть: FS або Fn, якщо S є множина з n елементів.

Граф Келі вільної групи породженої двома елементами a і b

Явна конструкція Редагувати

Для формального визначення поняття, яке обговорювалося вище, можна застосувати явну конструкцію (довівши тим самим існування вільних груп. Нехай маємо множину S елементи якої називатимемо символами і для кожного символу s з S введемо символ s-1; множину останніх позначимо S-1. Хай

Визначимо слово над S як скінченну послідовність не обов'язково різних символів з T, записаних один за одним. Разом з операцією конкатенації множина слів над S стає напівгрупою. Вважатимемо, що в множині слів є також порожнє слово , яке не містить жодних символів. Таким чином одержуємо моноїд слів над S.

Приклад. S = {а,b,c}. T = {а, а-1,b,b-1,c,c-1}. Два слова

Їх конкатенація:

Нагадаємо, що, наприклад

Введемо тепер правило редукції слів. Якщо в деякому слові за символом (символу) з S слідує (передує) відповідний йому символ з S-1, то видалення цієї пари символів назвемо редукцією. Слово називається зредукованим, якщо в ньому більше не можна провести редукцію. Повною редукцією називається послідовне застосування редукції до даному слову до тих пір, поки воно не стане зредукованим. Наприклад, із слова γ (див. приклад вище) після повної редукції виходить зредуковане слово: abc-1. Також для розвитку теорії слід довести, що зредуковане слово не залежить від порядку видалення підходящих пар.

Вільною групою FS, породженою множиною S, ( вільною групою над S) називається група зредукованих слів над S з операцією конкатенації (за якою слідує повна редукція результату при необхідності).

Властивості Редагувати

  • Всі вільні групи, породжені рівнопотужними множинами, ізоморфні. При цьому потужність множини, що породжує дану вільну групу, називається її рангом.
  • Вільна група Fn ізоморфна вільному добутку n копій .
  • Теорема Нільсена - Шрайера: будь-яка підгрупа вільної групи вільна.
  • Будь-яка група G є факторгрупа деякої вільної групи FS по деякій її підгрупі H. За S можуть бути узяті твірні G. Тоді існує природний епіморфізм . Ядро H цього епіморфізму є множиною співвідношень задання
  • Комутант вільної групи скінченного рангу має нескінченний ранг. Наприклад, комутант породженої двома елементами вільної групи F(а,b)  - це вільна група, породжена всіма комутаторами

Універсальність Редагувати

Вільна група FS  — це в деякому розумінні найзагальніша група, породжена множиною S. А саме, для будь-якої групи G і будь-якого відображення множин існує єдиний гомоморфізм груп , для якого наступна діаграма комутативна:

Таким чином, існує взаємно однозначна відповідність між множиною відображень і гомоморфізмів

Вказану вище властивість можна прийняти за визначення вільної групи, при цьому вона визначена лише з точністю до ізоморфізму, як і будь-який універсальний об'єкт. Ця властивість називається універсальністю вільних груп. Множину S називають базисом групи Fs. Одна і та ж вільна група може мати різні базиси.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V teoriyi grup grupa G nazivayetsya vilnoyu grupoyu yaksho isnuye pidmnozhina S v G taka sho kozhen element G zapisuyetsya yedinim chinom yak dobutok skinchennogo chisla elementiv S i yih obernenih elementiv Yedinist rozumiyetsya z tochnistyu do trivialnih kombinacij na zrazok st su 1ut Govoryat sho G vilno porodzhena S i pishut FS abo Fn yaksho S ye mnozhina z n elementiv Graf Keli vilnoyi grupi porodzhenoyi dvoma elementami a i b Zmist 1 Yavna konstrukciya 2 Vlastivosti 3 Universalnist 4 Div takozh 5 DzherelaYavna konstrukciya RedaguvatiDlya formalnogo viznachennya ponyattya yake obgovoryuvalosya vishe mozhna zastosuvati yavnu konstrukciyu dovivshi tim samim isnuvannya vilnih grup Nehaj mayemo mnozhinu S elementi yakoyi nazivatimemo simvolami i dlya kozhnogo simvolu s z S vvedemo simvol s 1 mnozhinu ostannih poznachimo S 1 Haj T S S 1 displaystyle T S cup S 1 nbsp Viznachimo slovo nad S yak skinchennu poslidovnist ne obov yazkovo riznih simvoliv z T zapisanih odin za odnim Razom z operaciyeyu konkatenaciyi mnozhina sliv nad S staye napivgrupoyu Vvazhatimemo sho v mnozhini sliv ye takozh porozhnye slovo e displaystyle varepsilon nbsp yake ne mistit zhodnih simvoliv Takim chinom oderzhuyemo monoyid sliv nad S Priklad S a b c T a a 1 b b 1 c c 1 Dva slova a a b c 1 a b b 1 b a 1 displaystyle scriptstyle alpha abc 1 a beta b 1 ba 1 nbsp Yih konkatenaciya g a b a b c 1 a b 1 b a 1 displaystyle scriptstyle gamma alpha beta abc 1 ab 1 ba 1 nbsp Nagadayemo sho napriklad a e a a b c 1 a displaystyle scriptstyle alpha varepsilon alpha abc 1 a nbsp Vvedemo teper pravilo redukciyi sliv Yaksho v deyakomu slovi za simvolom simvolu z S sliduye pereduye vidpovidnij jomu simvol z S 1 to vidalennya ciyeyi pari simvoliv nazvemo redukciyeyu Slovo nazivayetsya zredukovanim yaksho v nomu bilshe ne mozhna provesti redukciyu Povnoyu redukciyeyu nazivayetsya poslidovne zastosuvannya redukciyi do danomu slovu do tih pir poki vono ne stane zredukovanim Napriklad iz slova g div priklad vishe pislya povnoyi redukciyi vihodit zredukovane slovo abc 1 Takozh dlya rozvitku teoriyi slid dovesti sho zredukovane slovo ne zalezhit vid poryadku vidalennya pidhodyashih par Spravdi dane tverdzhennya ochevidno virne dlya sliv z dvoh simvoliv Tomu vikoristayemo metod matematichnoyi indukciyi Nehaj mayemo deyake slovo w uxx 1v Yaksho mi dovedemo sho bud yake zredukovane slovo z w mozhe buti otrimane yaksho spershu redukuvati rozglyanutu paru to mozhna vikoristati indukciyu dlya korotshogo slova uv Tomu pripustimo sho deyake redukovane slovo ne mozhna oderzhati podibnim chinom Todi pri oderzhanni cogo slova dana para vzagali ne skorochuyetsya inakshe pominyavshi miscyami redukciyi matimemo redukciyu danoyi pari xx 1 na pershomu misci Oskilki takozh dana para ne mozhe buti u zredukovanomu slovi mayemo dvi mozhlivosti u 1 x 1 x x 1 v 1 u 1 x 1 v 1 displaystyle u 1 x 1 underline xx 1 v 1 Rightarrow u 1 underline x 1 v 1 nbsp abo u 1 x x 1 x v 1 u 1 x v 1 displaystyle u 1 underline xx 1 xv 1 Rightarrow u 1 underline x v 1 nbsp de pidkresleni elementi z rozglyanutoyi pari Prote oba rezultati analogichni tim yaki mozhut buti oderzhani redukciyeyu nashoyi pari i mi prihodimo do poperednogo vipadku Vilnoyu grupoyu FS porodzhenoyu mnozhinoyu S vilnoyu grupoyu nad S nazivayetsya grupa zredukovanih sliv nad S z operaciyeyu konkatenaciyi za yakoyu sliduye povna redukciya rezultatu pri neobhidnosti Vlastivosti RedaguvatiVsi vilni grupi porodzheni rivnopotuzhnimi mnozhinami izomorfni Pri comu potuzhnist mnozhini sho porodzhuye danu vilnu grupu nazivayetsya yiyi rangom Vilna grupa Fn izomorfna vilnomu dobutku n kopij Z displaystyle mathbb Z nbsp Teorema Nilsena Shrajera bud yaka pidgrupa vilnoyi grupi vilna Bud yaka grupa G ye faktorgrupa deyakoyi vilnoyi grupi FS po deyakij yiyi pidgrupi H Za S mozhut buti uzyati tvirni G Todi isnuye prirodnij epimorfizm f F S G displaystyle f F S to G nbsp Yadro H cogo epimorfizmu ye mnozhinoyu spivvidnoshen zadannya G S H displaystyle G langle S H rangle nbsp Komutant vilnoyi grupi skinchennogo rangu maye neskinchennij rang Napriklad komutant porodzhenoyi dvoma elementami vilnoyi grupi F a b ce vilna grupa porodzhena vsima komutatorami a n b m m n 0 displaystyle a n b m m n neq 0 nbsp Universalnist RedaguvatiVilna grupa FS ce v deyakomu rozuminni najzagalnisha grupa porodzhena mnozhinoyu S A same dlya bud yakoyi grupi G i bud yakogo vidobrazhennya mnozhin f S G displaystyle f colon S to G nbsp isnuye yedinij gomomorfizm grup f F S G displaystyle varphi colon F S to G nbsp dlya yakogo nastupna diagrama komutativna nbsp Takim chinom isnuye vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh mnozhinoyu vidobrazhen S G displaystyle S to G nbsp i gomomorfizmiv F S G displaystyle F S to G nbsp Vkazanu vishe vlastivist mozhna prijnyati za viznachennya vilnoyi grupi pri comu vona viznachena lishe z tochnistyu do izomorfizmu yak i bud yakij universalnij ob yekt Cya vlastivist nazivayetsya universalnistyu vilnih grup Mnozhinu S nazivayut bazisom grupi Fs Odna i ta zh vilna grupa mozhe mati rizni bazisi Div takozh RedaguvatiZalishkovo skinchenna grupaDzherela RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vilna grupa amp oldid 32404039