Породжувальна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.
Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.
Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.
Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.
Вільна група Редагувати
Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.
Приклади Редагувати
Симетрична група Редагувати
При n ≥ 3 симетрична група Sn не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).
Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка та перестановка .
Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S3:
Знакозмінна група Редагувати
При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками ).
В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:
чи в циклічній нотації
При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).
Оскільки:
- m-цикл має (m - 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
- довільний 3-цикл є добутком m-циклів:
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
- Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)