Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт через множину однотипних об'єктів які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень , . Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:
Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.
Означення Редагувати
Алгебричні структури Редагувати
Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай — частково впорядкована множина (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента задана деяка алгебрична система з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі , такій що , — гомоморфізм , причому — тотожні відображення для будь-якого і для будь-яких з . Тоді проєктивна границя є за означенням підсистемою прямого добутку виду:
Існують канонічні проєкції , які вибирають -у компоненту прямого добутку для кожного . Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.
Загальний випадок Редагувати
У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді називається проєктивною границею системи , або , якщо виконані наступні умови:
- Існує таке сімейство відображень , що для будь-яких ;
- Для будь-якого сімейства відображень , довільної множини , для якої виконані рівності для будь-яких , існує єдине відображення , для якого , для всіх .
Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи .
Приклади Редагувати
- Цілі -адичні числа є проєктивною границею послідовності з природними відображеннями виду отримання залишку при .
- Кільце формальних степеневих рядів над комутативним кільцем є проєктивною границею кілець , індексованих натуральними числами, з природними проєкціями .
- Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
- В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I. Springer. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 40551484.
- Bourbaki, Nicolas (1989). General topology: Chapters 1-4. Springer. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 40551485.
- Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (вид. 2nd). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)