www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебрична структура алгебрична система в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень

Алгебрична структура

Алгебрична структура (алгебрична система) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системи аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.

Формально: об'єкт де:

Множина називається носієм алгебричної системи. Множини називається сигнатурою алгебричної системи.

Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури .

Для алгебричних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебричну систему називають топологічною алгебричною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебричні операції ред.

-арна операція на — це відображення прямого добутку екземплярів множини в саму множину . За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебричних систем ред.

M = магма, Q = квазігрупа, S = напівгрупа,
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого
  • Множина може вважатись виродженою алгебричною системою з порожньою сигнатурою.

Групо-подібні (одна бінарна операція) ред.

Кільцеподібні (дві бінарні операції узгоджені дистрибутивністю) ред.

  • Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
  • Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева група по додаванню, моноїд по множенню,

Модулі (множення тільки на скаляр) ред.

Алгебри (додавання, множення на скаляр, множення) ред.

  • Алгебра над операдою — одна з найзагальніших алгебричних систем. Сама операда грає роль сигнатури алгебри.

Решітки ред.

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503.  (укр.)
  • I. N. Herstein. Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — ISBN 978-0471010906. (англ.)
  • Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — ISBN 978-1470415549. (англ.)
  • Thomas W. Hungerford. Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — ISBN 978-0387905181. (англ.)
  • Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebrichna struktura algebrichna sistema v matematici ce neporozhnya mnozhina z zadanim na nij naborom operacij ta vidnoshen sho zadovilnyayut deyakij sistemi aksiom Osnovnim zavdannyam abstraktnoyi algebri ye vivchennya vlastivostej aksiomatichno zadanih algebrichnih sistem Formalno ob yekt A W F W R displaystyle langle A Omega F Omega R rangle de A displaystyle A neporozhnya mnozhina W F displaystyle Omega F mnozhina algebrichnih operacij viznachenih na A displaystyle A W R displaystyle Omega R mnozhina vidnoshen viznachenih na A displaystyle A Mnozhina A displaystyle A nazivayetsya nosiyem algebrichnoyi sistemi Mnozhini W F W R displaystyle Omega F Omega R nazivayetsya signaturoyu algebrichnoyi sistemi Yaksho algebrichna sistema ne mistit operacij vona nazivayetsya modellyu yaksho ne mistit vidnoshen to algebroyu Yaksho ne rozglyadayut niyakih aksiom yakim mayut zadovilnyati operaciyi to algebrichna sistema nazivayetsya universalnoyu algebroyu zadanoyi signaturi W F displaystyle Omega F Dlya algebrichnih struktur viznachayut morfizmi yak vidobrazhennya sho zberigayut operaciyi divis gomomorfizm Takim chinom viznachayut kategoriyi Yaksho mnozhina maye vlastivosti topologichnogo prostoru i operaciyi ye neperervnimi to taku algebrichnu sistemu nazivayut topologichnoyu algebrichnoyu sistemoyu napriklad topologichna grupa Ne vsi algebrichni konstrukciyi opisuyutsya algebrichnimi sistemami ye she koalgebri bialgebri algebri Hopfa i komoduli nad nimi i t d Zmist 1 Algebrichni operaciyi 2 Spisok algebrichnih sistem 2 1 Grupo podibni odna binarna operaciya 2 2 Kilcepodibni dvi binarni operaciyi uzgodzheni distributivnistyu 2 3 Moduli mnozhennya tilki na skalyar 2 4 Algebri dodavannya mnozhennya na skalyar mnozhennya 2 5 Reshitki 3 Div takozh 4 DzherelaAlgebrichni operaciyi red Dokladnishe Algebrichna operaciya n displaystyle n nbsp arna operaciya f displaystyle f nbsp na A displaystyle A nbsp ce vidobrazhennya pryamogo dobutku n displaystyle n nbsp ekzemplyariv mnozhini v samu mnozhinu f A n A displaystyle f A n to A nbsp Za viznachennyam nul arna operaciya ce prosto vidilenij element mnozhini Najchastishe rozglyadayut unarni i binarni operaciyi yak najprostishi Ale dlya potreb topologiyi algebri kombinatoriki vivchayut operaciyi bilshoyi arnosti napriklad teoriya operad i algebr nad nimi multioperatornih algebr Spisok algebrichnih sistem red nbsp M magma Q kvazigrupa S napivgrupa L Lupa N monoyid G grupa d dilennya a asociativnist e z odiniceyu i isnuvannya obernenogoMnozhina mozhe vvazhatis virodzhenoyu algebrichnoyu sistemoyu z porozhnoyu signaturoyu Grupo podibni odna binarna operaciya red Magma grupoyid mnozhina z odniyeyu binarnoyu operaciyeyu displaystyle cdot nbsp zazvichaj yiyi nazivayut mnozhennyam Prava kvazigrupa magma v yakomu mozhlive prave dilennya tobto rivnyannya x a b displaystyle x cdot a b nbsp zavzhdi maye yedinij roz vyazok a b A displaystyle forall a b in A nbsp dd Kvazigrupa odnochasno prava i liva kvazigrupi Lupa Petlya kvazigrupa z odiniceyu unitarna kvazigrupa e A a e e a a displaystyle exists e in A a cdot e e cdot a a nbsp Napivgrupa asociativna magma a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c nbsp Monoyid napivgrupa z odiniceyu unitarna napivgrupa Grupa monoyid z dilennyam chi asociativna lupa a a 1 a a 1 a 1 a e displaystyle forall a exists a 1 a cdot a 1 a 1 cdot a e nbsp Abeleva grupa komutativna grupa a b b a displaystyle a cdot b b cdot a nbsp Operaciyu v abelevij grupi chasto nazivayut dodavannyam a nejtralnij element nulem dd Kilcepodibni dvi binarni operaciyi uzgodzheni distributivnistyu red Pivkilce podibne do kilcya ale bez obernenosti dodavannya komutativnij monoyid po dodavannyu i monoyid po mnozhennyu Kilce struktura s dvoma binarnimi operaciyami abeleva grupa po dodavannyu monoyid po mnozhennyu vikonuyetsya distributivnij zakon a b c a b a c a b c a c b c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c quad a b cdot c a cdot c b cdot c nbsp dd Komutativne kilce kilce z komutativnim mnozhennyam Cilisne kilce komutativne kilce bez dilnikiv nulya dobutok dvoh nenulovih elementiv ne rivnij nulyu Buleve kilce kilce vsi elementi yakogo ye idempotentami Vono ye komutativnim ta nemaye dilnikiv nulya Kilce z dilennyam chi Tilo kilce de nenulovi elementi utvoryuyut grupu po mnozhennyu Pole komutativne kilce z dilennyam Moduli mnozhennya tilki na skalyar red Modul nad kilcem abeleva grupa po dodavannyu z distributivnoyu unarnoyu operaciyeyu mnozhennya na skalyar z kilcya Vektornij prostir modul nad polem Algebri dodavannya mnozhennya na skalyar mnozhennya red Algebra nad kilcem algebra modul nad komutativnim kilcem sho utvoryuye kilce z bilinijnim mnozhennyam Algebra nad polem vektornij prostir s bilinijnoyu distributivnoyu operaciyeyu mnozhennya Komutativna algebra algebra z komutativnim mnozhennyam Asociativna algebra algebra z asociativnim mnozhennyam Alternativna algebra algebra z totozhnistyu alternativnosti dlya mnozhennya x x y x x y y x x y x x displaystyle xx y x xy quad y xx yx x nbsp Algebra termiv Gradujovana algebra Algebra Li algebra z antikomutativnim mnozhennyam poznachayemim a b displaystyle a b nbsp sho zadovilnyaye totozhnist Yakobi a b c b c a c a b 0 displaystyle a b c b c a c a b 0 nbsp Algebra Jordana komutativna algebra z totozhnistyu slaboyi asociativnosti x 2 y x x 2 y x displaystyle x 2 yx x 2 y x nbsp Algebra Malceva antikomutativna algebra z totozhnistyu x y x z y x z x x z x y x y z x y z x x z x y x displaystyle xy xz y xz x xz x y xy z x yz x x zx y x nbsp Algebra nad operadoyu odna z najzagalnishih algebrichnih sistem Sama operada graye rol signaturi algebri Reshitki red Napivgratka Gratka Reshitka struktura s dvoma binarnimi operaciyami i sho ye komutativnimi asociativnimi i zadovilnyayut zakon poglinannya a a b a a a b a Algebra Gejtinga Distributivna gratka Buleva algebra dopovnena distributivna gratka Algebra logiki Div takozh red IkosianiDzherela red Zavalo S T 1985 Kurs algebri Kiyiv Visha shkola s 503 ukr I N Herstein Topics in Algebra 2 John Wiley amp Sons 1975 388 s ISBN 978 0471010906 angl Joseph J Rotman Advanced Modern Algebra 3 Graduate Studies in Mathematics AMS 2015 709 s ISBN 978 1470415549 angl Thomas W Hungerford Algebra 8th Edition Graduate Studies in Mathematics Springer 2003 T 73 504 s ISBN 978 0387905181 angl Kurosh A G Obshaya algebra M Mir 1970 162 s ros Kon P Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros Malcev A I Algebraicheskie sistemy Moskva Nauka 1970 392 s ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichna struktura amp oldid 38091771