Ікосіани — некомутативна алгебрична структура, яку 1856 року виявив ірландський математик . У сучасній термінології він знайшов задання [en] за допомогою (генераторів) та зв'язків.
Відкриття Гамільтона виникло з його спроб знайти алгебру («трійок» (3-кортежів)), які, як він вірив, відбиватимуть осі координат. Ікосіани можна ототожнити з переміщеннями по вершинах (додекаедра). Робота Гамільтона в цій галузі опосередковано призвела до (гамільтонових циклів) і (гамільтонових шляхів) у теорії графів. Для ілюстрування та популяризації свого відкриття він також винайшов (гру «Ікосіан»).
Неформальне визначення
Алгебра ґрунтується на трьох символах, які є (коренями з одиниці), так що послідовне застосування будь-якого з них через кілька кроків приводить до одиниці. Це:
Гамільтон також дав інший зв'язок між символами:
(В сучасних термінах це (2,3,5) .)
Операція асоціативна, але не (комутативна). Вона утворює групу 60-го порядку, ізоморфну групі обертань правильного (ікосаедра) або (додекаедра), а тому (знакозмінної групи) п'ятого степеня.
Хоча алгебра існує як цілком абстрактна побудова, її можна наочно подати в термінах операцій із вершинами додекаедра. Гамільтон сам використав плоске подання додекаедра як основу гри.
Уявімо жука, що повзе вздовж певного ребра додекаедра (з позначеними вершинами) у певному напрямку, скажімо, від до . Ми можемо подати це як орієнтовану дугу .
- Ікосіан прирівнюється до зміни напрямку будь-якого ребра, так що жук буде повзти від до (в напрямку дуги ).
- Ікосіан прирівнюється до обертання поточного напрямку жука проти годинникової стрілки навколо кінцевої вершини. У прикладі це означає зміна поточного напрями на .
- Ікосіан прирівнюється до правого повороту в кінцевій точці, тобто переході від до .
Спадщина
Ікосіани є одним із найраніших прикладів багатьох математичних ідей, зокрема:
- подання та вивчення груп за допомогою генераторів та зв'язків;
- , пізніше узагальненої (групи Коксетера);
- візуалізації групи за допомогою графа, що привела до (комбінаторної теорії груп), а пізніше — до (геометричної теорії груп);
- гамільтонових циклів та шляхів у теорії графів;
- [en].
Примітки
- Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // (Philosophical Magazine). — 1856. — Т. 12 (16 червня). — С. 446.
- Thomas L. Hankins. Sir William Rowan Hamilton. — Baltimore, 1980. — С. 474. — .
- Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson. Graph theory 1736—1936. — Oxford : Clarendon Press, 1976. — С. 239. — .
- Gareth Jones. Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups // . — 1995. — Т. B35d (16 червня). — С. 4. з джерела 8 квітня 2017.
- W. R. Hamilton. Mathematical papers, Vol. III, Algebra / H. Halberstam, R. E. Ingram. — Cambridge : Cambridge University Press, 1967. — С. 612—625.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет