www.wikidata.uk-ua.nina.az

Когомологія груп когомологічна теорія що широко використовується у теорії груп і застосуваннях зокрема у алгебричній тео

Когомологія груп

Когомологія груп — когомологічна теорія, що широко використовується у теорії груп і застосуваннях, зокрема у алгебричній теорії чисел і алгебричній топології.

При цьому підході парі (G, A), де G — група, а A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем , зіставляється послідовність абелевих груп Hn(G, А), що називаються групами когомологій групи G з коефіцієнтами в А. Число n, що пробігає всі цілі невід'ємні значення, називається розмірністю групи Hn(G, А).

Групи когомологій є важливими інваріантами, що містять інформацію як про групу G, так і про модулі A.

Означення Редагувати

Формальне означення за допомогою похідного функтора Редагувати

Нехай G — деяка група і A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем Нехай AG — підмодуль G-інваріантних елементів у А, тобто множина таких елементів що для всіх елементів g у групі G виконується

Усі G-модулі утворюють категорію морфізмами в якій є гомоморфізми f для яких виконуються рівності f(ga) = g(fa) для всіх і Категорія G-модулів (тобто категорія -модулів) має достатньо ін'єктивних об'єктів, як і всі категорії модулів над кільцями.

Відображення A → AG є функтором із категорії G-модулів у категорію абелевих груп. Цей функтор є точним зліва але не справа, тобто для точної послідовності 0→A→B→C→0 точною є послідовність 0→AG →BG →CG.

Тому для функтора A → AG можна побудувати праві похідні функтори. Їх значеннями є абелеві групи, що позначаються Hn(G, А) і називаються n-ми когомологічними групами групи G із значеннями у A.

Означення за допомогою проєктивних резольвент Редагувати

Окрім означення за допомогою ін'єктивних резольвент визначення можна дати за допомогою проєктивних резольвент. Для початку є ізоморфізм де розглядається як G-модуль є з тривіальною дією.

Нехай

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля у категорії G-модулів, тобто точною послідовністю, в якій всі модулі Pi є проєктивними. Тоді Hn(G, А) є n-на група когомологій коланцюгового комплексу:

де відображення індуковані відображеннями тобто

Дане означення теж є за допомогою похідного функтора — функтора Ext. А саме

Стандартні резольвенти Редагувати

Для обчислення груп когомологій зазвичай використовують стандартну резольвенту тривіального G-модуля , в якій

Pn є вільним, а тому і проєктивним -модулем. Його базисом є, наприклад множина елементів виду де — довільні елементи групи G.

Для можна визначити граничний оператор як:

де знак означає, що член gi є відсутнім у виразі. Коланцюги з — функції такі, що

Роблячи заміну змінних за формулами можна перейти до неоднорідних коланцюгів Дія кограничного оператора на них задається як:

Наприклад одновимірний коцикл — функція така, що для а кограниця — функція виду f(g) = ga - a для деякого Одновимірний коцикл називається також схрещеним гомоморфізмом, а одновимірна кограниця — тривіальним схрещеним гомоморфізмом. У разі, коли G діє на А тривіально, схрещені гомоморфізми збігаються зі звичайними гомоморфізмами, а всі тривіальні схрещені гомоморфізми рівні 0, тобто в цьому випадку H1(G, А) = Hom(G, А).

Аксіоматичне означення Редагувати

Набір функторів є δ-функтором на категорії лівих G-модулів (як про це описано в статті Похідний функтор, оскільки когомології груп є похідними функторами).

Модуль виду де X — абелева група, a G діє на B за формулою

називається коіндукованим. Для ін'єктивних і коіндукованих модулів A: Hn(G, А) = 0 для n > 1. Будь-який модуль A є ізоморфним підмодулю деякого коіндукованого модуля B.

Точна когомологічна послідовність для послідовності

визначає ізоморфізми Hn(G, B/А) ~ Hn+1(G, А) і точну послідовність

Таким чином, обчислення n-1 -вимірної групи когомологій для модуля A зводиться до обчислення n-вимірної групи когомологій для модуля B/A. Цей метод називається зсувом розмірностей.

Зсув розмірностей дозволяє дати аксіоматичне означення груп когомологій, як послідовність функторів з категорії G-модулів в категорію абелевих груп, що утворюють δ-функтор і задовольняють умові Hn(G, А) = 0 при n > 1 для будь-якого коіндукованого модуля B.

Означення груп Hn(G, А) можна дати також за допомогою відношення еквівалентності на множині точних послідовностей G-модулів виду

Гомологія груп Редагувати

Групи гомології груп визначаються за допомогою двоїстої конструкції з заміною всюди функтора функтором.

Нехай знову ж

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля у категорії G-модулів.

Застосувавши до цієї послідовності коваріантний функтор одержується ланцюговий комплекс:

Гомологічні групи цього комплексу називаються гомологічними групами групи G із значеннями у A і позначається Hn(G, А).

Зважаючи на означення функтора Tor, коротко можна записати:

Гомологічні групи малої розмірності Редагувати

Елементи групи H1(G, А) можна інтерпретувати як класи автоморфізмів групи F, що міститься в точній послідовності тотожні на A і на G по модулю спряжень елементами

Елементи групи H2(G, А) інтерпретуються як класи розширень групи A за допомогою G.

Група H3(G, А) допускає інтерпретацію як перешкода для розширень неабелевої групи H з центром A за допомогою G.

Властивості Редагувати

  • Якщо E — підгрупа групи G, то обмеження коциклів з G на H визначає для всіх n функторіальні гомоморфізми обмеження
При n = 0 гомоморфізм res збігається з вкладенням .
  • Якщо G/E — фактор-група групи G, то підняття коциклів з G/E на G індукує функторіальні гомоморфізми інфляції
  • Нехай — деякий гомоморфізм. Тоді будь-який G-модуль A можна перетворити в G' -модуль, вважаючи для що Поєднуючи відображення res і inf, одержується відображення У цьому сенсі є контраваріантним функтором по G.
  • Нехай E — підгрупа групи G скінченного індексу. Тоді відображення норми NG/H: AE → AG (яке рівне за означенням ) дозволяє, за допомогою зсуву розмірностей, визначити для всіх n функторіальні гомоморфізми кообмеження cores: Hn(E, А) → Hn(G, А), що задовольняють співвідношенню cores(res) = (G:E).

Когомології скінченних груп Редагувати

  • Для скінченної групи G відображення норми NG: A → A (тобто відображення ) індукує відображення де і — ідеал кільця породжений всіма елементами виду g-1 для
  • Відображення дозволяє об'єднати точні послідовності когомологій і гомологій. А саме, можна визначити модифіковані групи когомологій — (які також називаються когомологіями Тейта) для всіх цілих n:
Для цих когомологій існує точна нескінченна в обидві сторони когомологічна послідовність.
  • G-модуль A називається когомологічно тривіальним, якщо для всіх n і будь-якої підгрупи E. Модуль A є когомологічно тривіальним тоді і тільки тоді, коли існує ціле число i для якого i для будь-якої підгрупи E. Будь-який модуль A є підмодулем або фактор-модулем когомологічно тривіального модуля, що дозволяє застосовувати зсув розмірностей як для підвищення, так і для пониження розмірності. Зокрема, зсув розмірностей дозволяє визначити відображення res і cores (але не inf) для всіх цілих чисел n.
  • Групи анулюються множенням на порядок групи G, а відображення індуковані обмеженнями, де Gp — деяка p-підгрупа Силова групи G є мономорфним. Це дозволяє зводити ряд питань про когомології скінченних груп до розгляду когомологій p-груп.
  • Когомології циклічної групи мають період 2, тобто для будь-якого n для циклічної групи
  • Теорема двоїстості для -добутку стверджує, що для будь-якої подільної абелевої групи C і G-модуля A -добуток
визначає ізоморфізм між групами і
-добуток є визначеним і для нескінченної групи G за умови, що n, m > 0.

Когомології проскінченних груп Редагувати

Багато задач призводять до необхідності розгляду когомологій топологічної групи G, що неперервно діє на топологічному модулі A. Зокрема, якщо G — проскінченна група (випадок найбільш близький до скінченних груп) і A — дискретна абелева група, що є неперервним G-модулем, то можна розглянути когомології групи G з коефіцієнтами в A, що обчислюються в термінах неперервних коланцюгів.

Ці групи можна визначити також як межі щодо відображень інфляції, де U пробігає всі відкриті нормальні підгрупи в G.

Ці когомології володіють усіма основними властивостями когомологій скінченних груп. Якщо G — проскінченна p-група, то розмірності над першої і другої її груп когомологій з коефіцієнтами в інтерпретуються як мінімальне число твірних елементів і співвідношень (між цими твірними) групи G.

Література Редагувати

  • Ari Babakhanian (1972). Cohomological Methods in Group Theory. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 11. M. Dekker. ISBN 9780824710316. 
  • David J. Benson. Representations and cohomology. II: Cohomology of groups and modules. Cambridge studies in advanced mathematics 31. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63652-3. 
  • Brown, Kenneth S. (1972). Cohomology of Groups. Graduate Texts in Mathematics 87. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90688-1. MR 0672956. 
  • Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, ред. (1967). Algebraic Number Theory. Academic Press. Zbl 0153.07403. 
  • Evens, Leonard (1991). The Cohomology of Groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 9780198535805. 
  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001. 
  • Weibel, Charles A (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. 
  • Edwin Weiss (1969). Cohomology of Groups. Academic Press. ISBN 9780127427508. 

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kogomologiya grup kogomologichna teoriya sho shiroko vikoristovuyetsya u teoriyi grup i zastosuvannyah zokrema u algebrichnij teoriyi chisel i algebrichnij topologiyi Pri comu pidhodi pari G A de G grupa a A livij G modul tobto modul nad cilochiselnim grupovim kilcem Z G displaystyle mathbb Z G zistavlyayetsya poslidovnist abelevih grup Hn G A sho nazivayutsya grupami kogomologij grupi G z koeficiyentami v A Chislo n sho probigaye vsi cili nevid yemni znachennya nazivayetsya rozmirnistyu grupi Hn G A Grupi kogomologij ye vazhlivimi invariantami sho mistyat informaciyu yak pro grupu G tak i pro moduli A Zmist 1 Oznachennya 1 1 Formalne oznachennya za dopomogoyu pohidnogo funktora 1 2 Oznachennya za dopomogoyu proyektivnih rezolvent 1 3 Standartni rezolventi 1 4 Aksiomatichne oznachennya 1 5 Gomologiya grup 2 Gomologichni grupi maloyi rozmirnosti 3 Vlastivosti 4 Kogomologiyi skinchennih grup 5 Kogomologiyi proskinchennih grup 6 Literatura 7 Div takozhOznachennya RedaguvatiFormalne oznachennya za dopomogoyu pohidnogo funktora Redaguvati Nehaj G deyaka grupa i A livij G modul tobto modul nad cilochiselnim grupovim kilcem Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Nehaj AG pidmodul G invariantnih elementiv u A tobto mnozhina takih elementiv a A displaystyle a in A nbsp sho dlya vsih elementiv g u grupi G vikonuyetsya g a a displaystyle ga a nbsp Usi G moduli utvoryuyut kategoriyu morfizmami v yakij ye gomomorfizmi f dlya yakih vikonuyutsya rivnosti f ga g fa dlya vsih g G displaystyle g in G nbsp i a A displaystyle a in A nbsp Kategoriya G moduliv tobto kategoriya Z G displaystyle mathbb Z G nbsp moduliv maye dostatno in yektivnih ob yektiv yak i vsi kategoriyi moduliv nad kilcyami Vidobrazhennya A AG ye funktorom iz kategoriyi G moduliv u kategoriyu abelevih grup Cej funktor ye tochnim zliva ale ne sprava tobto dlya tochnoyi poslidovnosti 0 A B C 0 tochnoyu ye poslidovnist 0 AG BG CG Tomu dlya funktora A AG mozhna pobuduvati pravi pohidni funktori Yih znachennyami ye abelevi grupi sho poznachayutsya Hn G A i nazivayutsya n mi kogomologichnimi grupami grupi G iz znachennyami u A Oznachennya za dopomogoyu proyektivnih rezolvent Redaguvati Okrim oznachennya za dopomogoyu in yektivnih rezolvent viznachennya mozhna dati za dopomogoyu proyektivnih rezolvent Dlya pochatku ye izomorfizm Hom G Z A A G displaystyle operatorname Hom G mathbb Z A cong A G nbsp de Z displaystyle mathbb Z nbsp rozglyadayetsya yak G modul ye z trivialnoyu diyeyu Nehaj d n P n d n 1 P n 1 P 0 Z 0 displaystyle cdots xrightarrow d n P n xrightarrow d n 1 P n 1 to cdots to P 0 to mathbb Z to 0 nbsp ye deyakoyu proyektivnoyu rezolventoyu trivialnogo G modulya Z displaystyle mathbb Z nbsp u kategoriyi G moduliv tobto tochnoyu poslidovnistyu v yakij vsi moduli Pi ye proyektivnimi Todi Hn G A ye n na grupa kogomologij kolancyugovogo kompleksu d n Hom G P n A d n 1 Hom G P n 1 A d n 2 d 0 Hom G P 0 A 0 displaystyle cdots xleftarrow d n operatorname Hom G P n A xleftarrow d n 1 operatorname Hom G P n 1 A xleftarrow d n 2 dots xleftarrow d 0 operatorname Hom G P 0 A leftarrow 0 nbsp de vidobrazhennya d n displaystyle d n nbsp indukovani vidobrazhennyami d n displaystyle d n nbsp tobto H n G A Ker d n lm d n 1 displaystyle H n G A operatorname Ker d n operatorname lm d n 1 nbsp Dane oznachennya tezh ye za dopomogoyu pohidnogo funktora funktora Ext A same H n G A Ext Z G n Z A displaystyle H n G A operatorname Ext mathbb Z G n mathbb Z A nbsp Standartni rezolventi Redaguvati Dlya obchislennya grup kogomologij zazvichaj vikoristovuyut standartnu rezolventu trivialnogo G modulya Z displaystyle mathbb Z nbsp v yakij P n Z G n 1 displaystyle P n mathbb Z G n 1 nbsp Pn ye vilnim a tomu i proyektivnim Z G displaystyle mathbb Z G nbsp modulem Jogo bazisom ye napriklad mnozhina elementiv vidu 1 g 1 g n displaystyle 1 g 1 ldots g n nbsp de g 1 g n displaystyle g 1 ldots g n nbsp dovilni elementi grupi G Dlya g 0 g k G n 1 displaystyle g 0 ldots g k in G n 1 nbsp mozhna viznachiti granichnij operator yak d n g 0 g 1 g n i 0 n 1 i g 0 g i g n displaystyle d n g 0 g 1 ldots g n sum i 0 n 1 i left g 0 ldots widehat g i dots g n right nbsp de znak displaystyle widehat cdot nbsp oznachaye sho chlen gi ye vidsutnim u virazi Kolancyugi z H o m G P n A displaystyle Hom G P n A nbsp funkciyi f g 0 g 1 g n displaystyle f g 0 g 1 ldots g n nbsp taki sho g f g 0 g 1 g n f g g 0 g g 1 g g n displaystyle gf g 0 g 1 ldots g n f gg 0 gg 1 ldots gg n nbsp Roblyachi zaminu zminnih za formulami g 0 1 g 1 h 1 g 2 h 1 h 2 g n h 1 h 2 h n displaystyle g 0 1 g 1 h 1 g 2 h 1 h 2 g n h 1 h 2 h n nbsp mozhna perejti do neodnoridnih kolancyugiv f h 1 h n displaystyle f h 1 ldots h n nbsp Diya kogranichnogo operatora na nih zadayetsya yak d n 1 f h 1 h n 1 h 1 f h 2 h n 1 i 1 n 1 i f h 1 h i 1 h i h i 1 h n 1 1 n 1 f h 1 h n displaystyle left d n 1 f right h 1 ldots h n 1 h 1 f h 2 dots h n 1 sum i 1 n 1 i f left h 1 ldots h i 1 h i h i 1 ldots h n 1 right 1 n 1 f h 1 ldots h n nbsp Napriklad odnovimirnij kocikl funkciya f G A displaystyle f G to A nbsp taka sho f g 1 g 2 g 1 f g 2 f g 1 displaystyle f g 1 g 2 g 1 f g 2 f g 1 nbsp dlya g 1 g 2 G displaystyle g 1 g 2 in G nbsp a kogranicya funkciya vidu f g ga a dlya deyakogo a A displaystyle a in A nbsp Odnovimirnij kocikl nazivayetsya takozh shreshenim gomomorfizmom a odnovimirna kogranicya trivialnim shreshenim gomomorfizmom U razi koli G diye na A trivialno shresheni gomomorfizmi zbigayutsya zi zvichajnimi gomomorfizmami a vsi trivialni shresheni gomomorfizmi rivni 0 tobto v comu vipadku H1 G A Hom G A Aksiomatichne oznachennya Redaguvati Nabir funktoriv A H n G A n 0 1 displaystyle A to H n G A n 0 1 nbsp ye d funktorom na kategoriyi livih G moduliv yak pro ce opisano v statti Pohidnij funktor oskilki kogomologiyi grup ye pohidnimi funktorami Modul vidu B Hom Z G X displaystyle B operatorname Hom mathbb Z G X nbsp de X abeleva grupa a G diye na B za formuloyu g ϕ t ϕ t g ϕ B t Z G displaystyle g phi t phi tg forall phi in B t in mathbb Z G nbsp nazivayetsya koindukovanim Dlya in yektivnih i koindukovanih moduliv A Hn G A 0 dlya n gt 1 Bud yakij modul A ye izomorfnim pidmodulyu deyakogo koindukovanogo modulya B Tochna kogomologichna poslidovnist dlya poslidovnosti 0 A B B A 0 displaystyle 0 to A to B to B A to 0 nbsp viznachaye izomorfizmi Hn G B A Hn 1 G A i tochnu poslidovnist B G B A G H 1 G A 0 displaystyle B G to B A G to H 1 G A to 0 nbsp Takim chinom obchislennya n 1 vimirnoyi grupi kogomologij dlya modulya A zvoditsya do obchislennya n vimirnoyi grupi kogomologij dlya modulya B A Cej metod nazivayetsya zsuvom rozmirnostej Zsuv rozmirnostej dozvolyaye dati aksiomatichne oznachennya grup kogomologij yak poslidovnist funktoriv A H n G A displaystyle A to H n G A nbsp z kategoriyi G moduliv v kategoriyu abelevih grup sho utvoryuyut d funktor i zadovolnyayut umovi Hn G A 0 pri n gt 1 dlya bud yakogo koindukovanogo modulya B Oznachennya grup Hn G A mozhna dati takozh za dopomogoyu vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini tochnih poslidovnostej G moduliv vidu 0 A M 1 M n Z 0 displaystyle 0 to A to M 1 to ldots to M n to mathbb Z to 0 nbsp Gomologiya grup Redaguvati Grupi gomologiyi grup viznachayutsya za dopomogoyu dvoyistoyi konstrukciyi z zaminoyu vsyudi funktora Hom G displaystyle operatorname Hom G nbsp funktorom G displaystyle otimes G nbsp Nehaj znovu zh d n P n d n 1 P n 1 P 0 Z 0 displaystyle cdots xrightarrow d n P n xrightarrow d n 1 P n 1 to cdots to P 0 to mathbb Z to 0 nbsp ye deyakoyu proyektivnoyu rezolventoyu trivialnogo G modulya Z displaystyle mathbb Z nbsp u kategoriyi G moduliv Zastosuvavshi do ciyeyi poslidovnosti kovariantnij funktor Z G A displaystyle cdot otimes mathbb Z G A nbsp oderzhuyetsya lancyugovij kompleks F n Z G A F n 1 Z G A F 0 Z G A Z Z G A displaystyle cdots to F n otimes mathbb Z G A to F n 1 otimes mathbb Z G A to cdots to F 0 otimes mathbb Z G A to mathbb Z otimes mathbb Z G A nbsp Gomologichni grupi cogo kompleksu nazivayutsya gomologichnimi grupami grupi G iz znachennyami u A i poznachayetsya Hn G A Zvazhayuchi na oznachennya funktora Tor korotko mozhna zapisati H n G A Tor n Z G Z A displaystyle H n G A operatorname Tor n mathbb Z G mathbb Z A nbsp Gomologichni grupi maloyi rozmirnosti RedaguvatiElementi grupi H1 G A mozhna interpretuvati yak klasi avtomorfizmiv grupi F sho mistitsya v tochnij poslidovnosti 1 A F G 1 displaystyle 1 to A to F to G to 1 nbsp totozhni na A i na G po modulyu spryazhen elementami a A displaystyle a in A nbsp Elementi grupi H2 G A interpretuyutsya yak klasi rozshiren grupi A za dopomogoyu G Grupa H3 G A dopuskaye interpretaciyu yak pereshkoda dlya rozshiren neabelevoyi grupi H z centrom A za dopomogoyu G Vlastivosti RedaguvatiYaksho E pidgrupa grupi G to obmezhennya kocikliv z G na H viznachaye dlya vsih n funktorialni gomomorfizmi obmezhennyares H n G A H n E A displaystyle operatorname res H n G A to H n E A nbsp dd Pri n 0 gomomorfizm res zbigayetsya z vkladennyam A G A H displaystyle A G subset A H nbsp Yaksho G E faktor grupa grupi G to pidnyattya kocikliv z G E na G indukuye funktorialni gomomorfizmi inflyaciyiinf H n G E A H H n G A displaystyle operatorname inf H n G E A H to H n G A nbsp dd Nehaj ϕ G G displaystyle phi G to G nbsp deyakij gomomorfizm Todi bud yakij G modul A mozhna peretvoriti v G modul vvazhayuchi dlya g G displaystyle g in G nbsp sho g a ϕ g a displaystyle g a phi g a nbsp Poyednuyuchi vidobrazhennya res i inf oderzhuyetsya vidobrazhennya H n G A H n G A displaystyle H n G A to H n G A nbsp U comu sensi H G A displaystyle H G A nbsp ye kontravariantnim funktorom po G Yaksho P displaystyle Pi nbsp deyaka grupa avtomorfizmiv grupi G to grupi Hn G A mozhna peretvoriti v P displaystyle Pi nbsp moduli Napriklad yaksho E normalna pidgrupa grupi G to grupam Hn E A mozhna nadati prirodnu strukturu G E moduliv Ce mozhlivo zavdyaki tomu sho vnutrishni avtomorfizmi grupi G indukuyut totozhni vidobrazhennya na grupah Hn G A Nehaj E pidgrupa grupi G skinchennogo indeksu Todi vidobrazhennya normi NG H AE AG yake rivne za oznachennyam a g G E g a displaystyle a mapsto sum g in G E ga nbsp dozvolyaye za dopomogoyu zsuvu rozmirnostej viznachiti dlya vsih n funktorialni gomomorfizmi koobmezhennya cores Hn E A Hn G A sho zadovolnyayut spivvidnoshennyu cores res G E Kogomologiyi skinchennih grup RedaguvatiDlya skinchennoyi grupi G vidobrazhennya normi NG A A tobto vidobrazhennya a g G g a displaystyle a mapsto sum g in G ga nbsp indukuye vidobrazhennya N G H 0 G A H 0 G A displaystyle hat N G H 0 G A to H 0 G A nbsp de H 0 G A A J G A displaystyle H 0 G A A J G A nbsp i J G displaystyle J G nbsp ideal kilcya Z G displaystyle mathbb Z G nbsp porodzhenij vsima elementami vidu g 1 dlya g G displaystyle g in G nbsp Vidobrazhennya N G displaystyle N G nbsp dozvolyaye ob yednati tochni poslidovnosti kogomologij i gomologij A same mozhna viznachiti modifikovani grupi kogomologij H n G A displaystyle hat H n G A nbsp yaki takozh nazivayutsya kogomologiyami Tejta dlya vsih cilih n H n G A H n G A n 1 coker N n 0 ker N n 1 H n 1 G A n 2 displaystyle widehat H n G A begin cases H n G A amp n geqslant 1 operatorname coker hat N amp n 0 ker hat N amp n 1 H n 1 G A amp n leqslant 2 end cases nbsp dd Dlya cih kogomologij isnuye tochna neskinchenna v obidvi storoni kogomologichna poslidovnist G modul A nazivayetsya kogomologichno trivialnim yaksho H n E A 0 displaystyle widehat H n E A 0 nbsp dlya vsih n i bud yakoyi pidgrupi E Modul A ye kogomologichno trivialnim todi i tilki todi koli isnuye cile chislo i dlya yakogo H i E A 0 displaystyle widehat H i E A 0 nbsp i H i 1 E A 0 displaystyle widehat H i 1 E A 0 nbsp dlya bud yakoyi pidgrupi E Bud yakij modul A ye pidmodulem abo faktor modulem kogomologichno trivialnogo modulya sho dozvolyaye zastosovuvati zsuv rozmirnostej yak dlya pidvishennya tak i dlya ponizhennya rozmirnosti Zokrema zsuv rozmirnostej dozvolyaye viznachiti vidobrazhennya res i cores ale ne inf dlya vsih cilih chisel n Dlya skinchennoporodzhenogo G modulya A grupi H n G A displaystyle widehat H n G A nbsp ye skinchennimi Grupi H n G A displaystyle widehat H n G A nbsp anulyuyutsya mnozhennyam na poryadok grupi G a vidobrazhennya H n G A p H n G p A displaystyle widehat H n G A to oplus p H n G p A nbsp indukovani obmezhennyami de Gp deyaka p pidgrupa Silova grupi G ye monomorfnim Ce dozvolyaye zvoditi ryad pitan pro kogomologiyi skinchennih grup do rozglyadu kogomologij p grup Kogomologiyi ciklichnoyi grupi mayut period 2 tobto dlya bud yakogo n dlya ciklichnoyi grupi H n G A H n 2 G A displaystyle widehat H n G A cong widehat H n 2 G A nbsp Dlya bud yakih cilih n displaystyle n nbsp i m displaystyle m nbsp viznacheno vidobrazhennya sho nazivayetsya displaystyle smile nbsp dobutkom de tenzornij dobutok grup A i B rozglyadayetsya yak G modul V okremomu vipadku koli A kilce i operaciyi z grupi G ye avtomorfizm to displaystyle smile nbsp dobutok peretvoryuye grupu n H n G A displaystyle oplus n widehat H n G A nbsp v gradujovane kilce Teorema dvoyistosti dlya displaystyle smile nbsp dobutku stverdzhuye sho dlya bud yakoyi podilnoyi abelevoyi grupi C i G modulya A displaystyle smile nbsp dobutokH n G A H n 1 G Hom A C H 1 G C displaystyle widehat H n G A otimes widehat H n 1 G operatorname Hom A C to widehat H 1 G C nbsp dd viznachaye izomorfizm mizh grupami H n G A displaystyle widehat H n G A nbsp i Hom H n 1 G Hom A C H 1 G C displaystyle operatorname Hom left widehat H n 1 G operatorname Hom A C widehat H 1 G C right nbsp displaystyle smile nbsp dobutok ye viznachenim i dlya neskinchennoyi grupi G za umovi sho n m gt 0 Kogomologiyi proskinchennih grup RedaguvatiBagato zadach prizvodyat do neobhidnosti rozglyadu kogomologij topologichnoyi grupi G sho neperervno diye na topologichnomu moduli A Zokrema yaksho G proskinchenna grupa vipadok najbilsh blizkij do skinchennih grup i A diskretna abeleva grupa sho ye neperervnim G modulem to mozhna rozglyanuti kogomologiyi grupi G z koeficiyentami v A sho obchislyuyutsya v terminah neperervnih kolancyugiv Ci grupi mozhna viznachiti takozh yak mezhi lim H n G U A U displaystyle lim to H n G U A U nbsp shodo vidobrazhen inflyaciyi de U probigaye vsi vidkriti normalni pidgrupi v G Ci kogomologiyi volodiyut usima osnovnimi vlastivostyami kogomologij skinchennih grup Yaksho G proskinchenna p grupa to rozmirnosti nad Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp pershoyi i drugoyi yiyi grup kogomologij z koeficiyentami v Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp interpretuyutsya yak minimalne chislo tvirnih elementiv i spivvidnoshen mizh cimi tvirnimi grupi G Literatura RedaguvatiAri Babakhanian 1972 Cohomological Methods in Group Theory Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 11 M Dekker ISBN 9780824710316 David J Benson Representations and cohomology II Cohomology of groups and modules Cambridge studies in advanced mathematics 31 Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 63652 3 Brown Kenneth S 1972 Cohomology of Groups Graduate Texts in Mathematics 87 Springer Verlag ISBN 978 0 387 90688 1 MR 0672956 Cassels J W S Frohlich Albrecht red 1967 Algebraic Number Theory Academic Press Zbl 0153 07403 Evens Leonard 1991 The Cohomology of Groups Oxford Mathematical Monographs Oxford University Press ISBN 9780198535805 Gille Philippe Szamuely Tamas 2006 Central simple algebras and Galois cohomology Cambridge Studies in Advanced Mathematics 101 Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 86103 9 Zbl 1137 12001 Weibel Charles A 1994 An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4 MR 1269324 Edwin Weiss 1969 Cohomology of Groups Academic Press ISBN 9780127427508 Div takozh RedaguvatiGomologiya matematika Lancyugovij kompleks Pohidnij funktor Funktor Ext Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kogomologiya grup amp oldid 37922567