Категорія у математиці — це алгебраїчна структура подібна до (групи), але від якої не вимагається властивість (обернення) або замикання. Вона містить «об'єкти», що сполучаються «стрілками». Категорія має дві основні властивості: можливість компонувати стрілки асоціативним чином і існування стрілки тотожності для кожного об'єкта. Простим прикладом категорії для множин, об'єктами якої є множини, а стрілки позначають функції.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlptTDBOaGRHVm5iM0o1WDFOV1J5NXpkbWN2TWpJd2NIZ3RRMkYwWldkdmNubGZVMVpITG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Теорія категорій — це гілка математики, яка досліджує і узагальнює усю математику в термінах категорій, незалежно від того що собою представляють стрілки. Практично кожну галузь сучасної математики можна описати в термінах категорій, і часто це дозволяє виявити глибокі закономірності і подібність між, з першого погляду різними, галузями математики. Як така, теорія категорій утворює в математиці альтернативну основу для теорії множин та інших аксіоматично побудованих основ. В загальному випадку, об'єкти і стрілки можуть бути будь-якими абстрактними поняттями, і така нотація категорій дозволяє мати фундаментальний абстрактний спосіб описати математичні сутності і їх зв'язки.
Крім математики, теорія категорій використовується для формалізації багато інших систем в комп'ютерних науках, наприклад для описання (семантики мов програмування).
Дві категорії є однаковими якщо вони мають однакову колекцію об'єктів, однакову колекцію стрілок, і однаковий асоціативний метод утворення будь-якої пари стрілок. Дві різні категорії також можуть бути («еквівалентними») в рамках теорії категорій, навіть якщо вони не мають точно однакової структури.
Існує ряд добре відомих категорій, які можуть мати загальні назви і скорочення описанні жирним шрифтом: наприклад (Set) — категорія множин і функцій; [en] — категорія кілець і (їх гомоморфізмів); і [en] — категорія топологічних просторів і (неперервних відображень). Всі наведені категорії мають (тотожне відображення), що є стрілкою тотожності і (композицію), що є асоціативною операцією над стрілками.
Будь-який (моноїд) можна розуміти як особливий вид категорій (з одним єдиним об'єктом чиї самоморфізми представлені елементами моноїда), що може мати будь-який (передпорядок).
Історія
Теорія категорій вперше з'явилася в статі під назвою «General Theory of Natural Equivalences», написаній [en] та [en] в 1945.
Визначення
Існує декілька еквівалентних визначень поняття категорії. Одним із найчастіше вживаних визначень є наступне. Категорія C складається з
- (класу) об'єктів ob(C)
- класу hom(C) морфізмів, або стрілок, або функцій відображення, між об'єктами. Кожен морфізм f має вхідний об'єкт a і вихідний об'єкт b де a і b знаходяться в класі ob(C). Прийнято записувати f: a → b, що озвучують як, те що «f є морфізмом із a у b». Прийнято записувати hom(a, b) (або homC(a, b) якщо може бути неоднозначність щодо того, до якої категорії відноситься hom(a, b)) аби позначити hom-class всіх морфізмів із a у b. (Деякі автори позначають як Mor(a, b) або просто C(a, b).)
- для будь-яких трьох об'єктів a, b і c, бінарна операція hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) називається композицією морфізмів; композиція із f : a → b і g : b → c буде записуватися як g ∘ f або gf.
такі, для яких виконуються наступні аксіоми:
- (Асоціативність) якщо f : a → b, g : b → c і h : c → d тоді h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, і
- ((Тотожність)) для кожного об'єкту x, існує морфізм 1x : x → x (іноді позначають як idx), що називається морфізмом тотожності для x, такий що для кожного морфізму f : a → x і кожного морфізму g : x → b, ми матимемо 1x ∘ f = f і g ∘ 1x = g.
Великі і малі категорії
Категорія C називається малою, якщо ob(C) і hom(C) насправді є множинами, а не (класами), а великі навпаки.
Примітки
- S. Eilenberg and S. Mac Lane «General Theory of Natural Equivalences», Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. DOI:10.2307/1990284
- Barr & Wells, Chapter 1.
Література
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), (PDF), John Wiley & Sons, ISBN , архів оригіналу (PDF) за 21 квітня 2015, процитовано 7 лютого 2018 (now free on-line edition, (GNU FDL)).
- Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures (PDF), MIT Press, ISBN .
- Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides, т. 49, Oxford University Press, ISBN .
- ; (2005), , Reprints in Theory and Applications of Categories, т. 12 (вид. revised), (MR) 2178101, архів оригіналу за 7 лютого 2018, процитовано 7 лютого 2018.
- Borceux, Francis (1994), Handbook of Categorical Algebra, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, т. 50—52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN .
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Category, (Математична енциклопедія), , ISBN
- Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag.
- (2009), Basic algebra (вид. 2nd), Dover, ISBN .
- ; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN .
- (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN .
- Marquis, Jean-Pierre (2006), , у Zalta, Edward N. (ред.), (Stanford Encyclopedia of Philosophy), архів оригіналу за 21 листопада 2021, процитовано 7 лютого 2018.
- Sica, Giandomenico (2006), What is category theory?, Advanced studies in mathematics and logic, т. 3, Polimetrica, ISBN .
В іншому мовному розділі є повніша стаття Category (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет