www.wikidata.uk-ua.nina.az

Внутрішня метрика метрика простору що визначається за допомогою функціоналу довжини як інфімум довжин усіх шляхів кривих

Внутрішня метрика

Внутрішня метрика — метрика простору, що визначається за допомогою функціоналу довжини, як інфімум довжин усіх шляхів (кривих), що з'єднують дану пару точок.

Означення ред.

Нехай задано топологічний простір і обраний клас деяких допустимих шляхів , що міститься в множині всіх неперервних шляхів в .

  • На просторі заданий функціонал довжини, якщо на множині задана функція , що ставить у відповідність кожному значення (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху .
  • Метрика на просторі називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок відстань між ними визначається формулою , де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки .

Пов'язані означення ред.

  • Нехай  — дві довільні точки метричного простору і  — довільне додатнє число. Точка називається їх -серединою, якщо
  • Метричний простір називається геодезичним, якщо будь-які дві точки можна з'єднати найкоротшою.

Властивості ред.

  • Якщо  — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок і будь-якого існує їх -середина. У випадку, коли метричний простір повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок і будь-якого існує їх -середина, то ця метрика внутрішня.
  • Повний метричний простір з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок і знайдеться крива довжини що з'єднує точки і . Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
  • Теорема Хопфа — Рінова: Якщо  — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини є компактними).

Література ред.

  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vnutrishnya metrika metrika prostoru sho viznachayetsya za dopomogoyu funkcionalu dovzhini yak infimum dovzhin usih shlyahiv krivih sho z yednuyut danu paru tochok Zmist 1 Oznachennya 1 1 Pov yazani oznachennya 2 Vlastivosti 3 LiteraturaOznachennya red Nehaj zadano topologichnij prostir X displaystyle X nbsp i obranij klas deyakih dopustimih shlyahiv G displaystyle Gamma nbsp sho mistitsya v mnozhini vsih neperervnih shlyahiv v X displaystyle X nbsp Na prostori X displaystyle X nbsp zadanij funkcional dovzhini yaksho na mnozhini G displaystyle Gamma nbsp zadana funkciya L G R displaystyle L colon Gamma to mathbb R cup infty nbsp sho stavit u vidpovidnist kozhnomu g G displaystyle gamma in Gamma nbsp znachennya L g displaystyle L gamma nbsp nevid yemne chislo abo neskinchennist yake nazivayetsya dovzhinoyu shlyahu g displaystyle gamma nbsp Metrika r displaystyle rho nbsp na prostori X displaystyle X nbsp nazivayetsya vnutrishnoyu yaksho dlya bud yakih dvoh tochok x y X displaystyle x y in X nbsp vidstan mizh nimi viznachayetsya formuloyu r x y inf L g displaystyle rho x y inf L gamma nbsp de infimum beretsya po vsih dopustimih shlyahah sho z yednuyut tochki x y X displaystyle x y in X nbsp Pov yazani oznachennya red Nehaj x y X displaystyle x y in X nbsp dvi dovilni tochki metrichnogo prostoru r X displaystyle rho X nbsp i e displaystyle varepsilon nbsp dovilne dodatnye chislo Tochka z ϵ X displaystyle z epsilon in X nbsp nazivayetsya yih e displaystyle varepsilon nbsp seredinoyu yaksho r x z e r y z e lt 1 2 r x y e displaystyle rho x z varepsilon rho y z varepsilon lt tfrac 1 2 rho x y varepsilon nbsp Metrichnij prostir X r displaystyle X rho nbsp nazivayetsya geodezichnim yaksho bud yaki dvi tochki X displaystyle X nbsp mozhna z yednati najkorotshoyu Vlastivosti red Yaksho X r displaystyle X rho nbsp prostir z vnutrishnoyi metrikoyu to dlya bud yakih dvoh tochok x y X displaystyle x y in X nbsp i bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye yih e displaystyle varepsilon nbsp seredina U vipadku koli metrichnij prostir X r displaystyle X rho nbsp povnij maye misce i zvorotne tverdzhennya yaksho dlya bud yakih dvoh tochok x y X displaystyle x y in X nbsp i bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye yih e displaystyle varepsilon nbsp seredina to cya metrika vnutrishnya Povnij metrichnij prostir X r displaystyle X rho nbsp z vnutrishnoyi metrikoyu maye nastupnu vlastivist dlya bud yakih dvoh tochok x y X displaystyle x y in X nbsp i e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp znajdetsya kriva dovzhini lt r x y e displaystyle lt rho x y varepsilon nbsp sho z yednuye tochki x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp Krim togo v povnomu metrichnomu prostori z vnutrishnoyi metrikoyu dovzhina najkorotshoyi zbigayetsya z vidstannyu mizh yiyi kincyami Teorema Hopfa Rinova Yaksho X r displaystyle X rho nbsp lokalno kompaktnij povnij metrichnij prostir z vnutrishnoyi metrikoyu to bud yaki dvi tochki X displaystyle X nbsp mozhna z yednati najkorotshoyu Bilsh togo prostir X displaystyle X nbsp ye obmezheno kompaktnim tobto vsi obmezheni zamknuti pidmnozhini X displaystyle X nbsp ye kompaktnimi Literatura red Burago D Yu Burago Yu D Ivanov S V Kurs metricheskoj geometrii Moskva Izhevsk Institut kompyuternyh issledovanij 2004 ISBN 5 93972 300 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vnutrishnya metrika amp oldid 23602232