www.wikidata.uk-ua.nina.az

Метричний простір Метри чний про стір це множина об єктів довільної природи для яких введено поняття відстані між елемен

Метричний простір

Метри́чний про́стір — це множина об'єктів довільної природи, для яких введено поняття відстані між елементами (числами, n-дійсними числами, n-вимірними векторами, функціями, наборами функцій, тощо).

Формальне визначення Редагувати

Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовольняє такі 3 аксіоми:

  1. (аксіома тотожності).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

Приклади метричних просторів Редагувати

  1. Простір ізольованих точок
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню

    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню

    позначимо простором .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:

    Цей простір в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір .
  6. Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню
  7. Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовольняють умові: , а відстань визначається формулою:
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:

    Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:
  10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    ,
    де  — будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо

Метричні простори та аксіоми зліченності Редагувати

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність Редагувати

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки метричного простору визначимо відкриту кулю радіуса з центром в точці , як множину . Такі відкриті кулі породжують топологію на , а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина метричного простору називається відкритою, якщо , такий що Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки називається будь-яка відкрита підмножина , що містить .

Послідовність метричного простору називається збіжною до границі тоді і тільки тоді, коли Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина метричного простору замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність збіжна в і має границю, що належить .

Гомеоморфізм. Ізоморфізм Редагувати

Якщо відображення взаємно однозначне, то існує обернене відображення простору на простір . Якщо відображення взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори та , між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція між метричними просторами і є ізометрією, якщо . Простори і , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторів Редагувати

Повні простори Редагувати

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору: .

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо повна підмножина метричного простору , то є замкненим в . Дійсно, простір є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі .

Якщо  — повний метричний простір, то є множиною другої категорії (Теорема Бера про категорії).

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1. 
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Metri chnij pro stir ce mnozhina ob yektiv dovilnoyi prirodi dlya yakih vvedeno ponyattya vidstani mizh elementami chislami n dijsnimi chislami n vimirnimi vektorami funkciyami naborami funkcij tosho Zmist 1 Formalne viznachennya 2 Prikladi metrichnih prostoriv 3 Metrichni prostori ta aksiomi zlichennosti 4 Vidkriti i zamknuti mnozhini topologiya i zbizhnist 5 Gomeomorfizm Izomorfizm 6 Tipi metrichnih prostoriv 6 1 Povni prostori 7 Div takozh 8 LiteraturaFormalne viznachennya RedaguvatiMetrichnim prostorom nazivayetsya para X d displaystyle X d nbsp yaka skladayetsya z deyakoyi mnozhini elementiv X displaystyle X nbsp i vidstani d X X R displaystyle d colon X times X to mathbb R nbsp a same odnoznachnoyi nevid yemnoyi dijsnoyi funkciyi d x y displaystyle d x y nbsp viznachenoyi dlya x y X displaystyle forall x y in X nbsp yaka zadovolnyaye taki 3 aksiomi d x y 0 x y displaystyle d x y 0 Leftrightarrow x y nbsp aksioma totozhnosti d x y d y x displaystyle d x y d y x nbsp aksioma simetriyi d x z d x y d y z displaystyle d x z leqslant d x y d y z nbsp nerivnist trikutnika Nevid yemnist dovoditsya za dopomogoyu takih mirkuvan 0 d x x d x y d y x 2 d x y displaystyle 0 d x x leqslant d x y d y x 2d x y nbsp Prikladi metrichnih prostoriv RedaguvatiProstir izolovanih tochok d x y 0 x y 1 x y displaystyle d x y begin cases 0 amp x y 1 amp x neq y end cases nbsp Mnozhina dijsnih chisel utvoryuye metrichnij prostir R 1 displaystyle mathbb R 1 nbsp d x y x y displaystyle d x y x y nbsp Mnozhina vporyadkovanih grup z n dijsnih chisel x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 ldots x n nbsp z vidstannyu d x y k 1 n y k x k 2 displaystyle d x y sqrt sum k 1 n y k x k 2 nbsp nazivayetsya n vimirnim arifmetichnim evklidovim prostorom R n displaystyle mathbb R n nbsp Tu samu mnozhinu vporyadkovanih grup z n dijsnih chisel x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 ldots x n nbsp ale z vidstannyu d 1 x y k 1 n y k x k displaystyle d 1 x y sum k 1 n y k x k nbsp poznachimo prostorom R 1 n displaystyle mathbb R 1 n nbsp Znovu vizmemo tu samu mnozhinu sho v prikladah 3 i 4 i viznachimo vidstan mizh jogo elementami formuloyu d x y max 1 k n y k x k displaystyle d infty x y max 1 leqslant k leqslant n y k x k nbsp Cej prostir R n displaystyle mathbb R infty n nbsp v bagatoh pitannyah analizu ne mensh zruchnij nizh evklidiv prostir R n displaystyle mathbb R n nbsp Mnozhina C a b displaystyle C a b nbsp vsih neperervnih dijsnih funkcij viznachenih na promizhku a b displaystyle a b nbsp z vidstannyu d f g max a t b g t f t displaystyle d f g max a leqslant t leqslant b g t f t nbsp Poznachimo cherez l 2 displaystyle mathit l 2 nbsp metrichnij prostir tochkami yakogo sluguyut vsi mozhlivi poslidovnosti x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 ldots x n ldots nbsp dijsnih chisel sho zadovolnyayut umovi k 1 x k 2 lt displaystyle sum k 1 infty x k 2 lt infty nbsp a vidstan viznachayetsya formuloyu d x y k 1 y k x k 2 displaystyle d x y sqrt sum k 1 infty y k x k 2 nbsp Rozglyanemo yak i v prikladi 6 sukupnist usih funkcij neperervnih na vidrizku a b displaystyle a b nbsp ale vidstan viznachimo po inshomu a same d x y a b x t y t 2 1 2 displaystyle d x y left int a b x t y t 2 right 1 2 nbsp Takij metrichnij prostir poznachimo C 2 a b displaystyle C 2 a b nbsp i budemo nazivati prostorom neperervnih funkcij z kvadratichnoyu metrikoyu Rozglyanuvshi mnozhinu usih obmezhenih poslidovnostej x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 ldots x n ldots nbsp dijsnih chisel otrimayemo prostir m displaystyle mathit m nbsp z metrikoyu d x y sup k y k x k displaystyle d x y sup k y k x k nbsp Mnozhina vporyadkovanih grup z n dijsnih chisel z vidstannyu d x y k 1 n y k x k p 1 p displaystyle d x y sum k 1 n y k x k p 1 p nbsp de p displaystyle p nbsp bud yake fiksovane chislo 1 displaystyle geqslant 1 nbsp Cej prostir poznachimo R p n displaystyle mathbb R p n nbsp Metrichni prostori ta aksiomi zlichennosti Redaguvati1 Bud yakij metrichnij prostir zadovolnyaye pershu aksiomu zlichennosti Dovedennya Nehaj a displaystyle a nbsp dovilna tochka metrichnogo prostoru X displaystyle X nbsp todi yak zlichennu viznachalnu sistemu okoliv mozhna vzyati kuli U a 1 n x X d a x lt 1 n n N displaystyle U left a 1 over n right equiv left x in X d a x lt frac 1 n right n in mathbb N nbsp Todi dlya kozhnoyi granichnoyi tochki znajdetsya zbizhna poslidovnist tochok iz ciyeyi mnozhini 2 Yaksho metrichnij prostir separabelnij to vin zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti Dovedennya Zlichennu bazu topologiyi takogo prostoru utvoryuyut napriklad taki vidkriti kuli U x n 1 m n m N displaystyle U left x n frac 1 m right n m in mathbb N nbsp de x n displaystyle x n nbsp zlichenna skriz shilna mnozhina a zminni m n displaystyle m n nbsp probigayut vsi naturalni chisla nezalezhno odna vid odnoyi Vidkriti i zamknuti mnozhini topologiya i zbizhnist RedaguvatiBud yakij metrichnij prostir ye topologichnim prostorom tomu vsi viznachennya i teoremi sho stosuyutsya topologichnih prostoriv mozhna prirodnim chinom poshiriti na metrichni prostori Dlya bud yakoyi tochki x displaystyle x nbsp metrichnogo prostoru X displaystyle X nbsp viznachimo vidkritu kulyu radiusa r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp z centrom v tochci x displaystyle x nbsp yak mnozhinu B x r y X d x y lt r displaystyle B x r equiv y in X d x y lt r nbsp Taki vidkriti kuli porodzhuyut topologiyu na X displaystyle X nbsp a otzhe j topologichnij prostir Porodzhena topologiya zadovolnyaye bagatom umovam napriklad vsim aksiomam viddilnosti Pidmnozhina U displaystyle U nbsp metrichnogo prostoru X displaystyle X nbsp nazivayetsya vidkritoyu yaksho x U r gt 0 displaystyle forall x in U exists r gt 0 nbsp takij sho B x r U displaystyle B x r subset U nbsp Dopovnennyam do vidkritoyi mnozhini nazivayetsya zamknuta mnozhina Okolom tochki x X displaystyle x in X nbsp nazivayetsya bud yaka vidkrita pidmnozhina X displaystyle X nbsp sho mistit x displaystyle x nbsp Poslidovnist x n displaystyle x n nbsp metrichnogo prostoru X displaystyle X nbsp nazivayetsya zbizhnoyu do granici x X displaystyle x in X nbsp todi i tilki todi koli ϵ gt 0 N N n gt N d x n x lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists N in mathbb N forall n gt N d x n x lt epsilon nbsp Takozh mozhna vikoristovuvati zagalne oznachennya zbizhnosti dlya topologichnogo prostoru Pidmnozhina A displaystyle A nbsp metrichnogo prostoru X displaystyle X nbsp zamknena todi i tilki todi koli bud yaka poslidovnist A displaystyle A nbsp zbizhna v X displaystyle X nbsp i maye granicyu sho nalezhit A displaystyle A nbsp Gomeomorfizm Izomorfizm RedaguvatiYaksho vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y nbsp vzayemno odnoznachne to isnuye obernene vidobrazhennya x f 1 y displaystyle x f 1 y nbsp prostoru Y displaystyle Y nbsp na prostir X displaystyle X nbsp Yaksho vidobrazhennya f displaystyle f nbsp vzayemno odnoznachne i vzayemno neperervne to vono nazivayetsya gomeomorfnim vidobrazhennyam abo gomeomorfizmom a sami prostori X displaystyle X nbsp ta Y displaystyle Y nbsp mizh yakimi mozhna vstanoviti gomeomorfizm nazivayutsya gomeomorfnimi mizh soboyu Vazhlivim okremim vipadkom gomeomorfizmu ye tak zvane izometrichne vidobrazhennya Kazhut sho biyekciya f displaystyle f nbsp mizh metrichnimi prostorami X d 1 displaystyle X d 1 nbsp i Y d 2 displaystyle Y d 2 nbsp ye izometriyeyu yaksho d 1 x 1 x 2 d 2 f x 1 f x 2 x 1 x 2 R displaystyle d 1 x 1 x 2 d 2 f x 1 f x 2 forall x 1 x 2 in mathbb R nbsp Prostori X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp mizh yakimi mozhna vstanoviti izometrichne spivvidnoshennya nazivayutsya izometrichnimi Izometriya prostoriv oznachaye sho metrichni zv yazki mizh yihnimi elementami odni i ti zh sami riznoyu mozhe buti lishe priroda yihnih elementiv sho z tochki zoru teoriyi metrichnih prostoriv nesuttyevo Izometrichni mizh soboyu prostori mozhna rozglyadati yak totozhni Tipi metrichnih prostoriv RedaguvatiPovni prostori Redaguvati Metrichnij prostir nazivayetsya povnim yaksho u nomu bud yaka fundamentalna poslidovnist ye zbizhnoyu do elementa cogo prostoru e gt 0 N N n gt N m gt N d x n x m lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists N in mathbb N forall n gt N forall m gt N d x n x m lt varepsilon nbsp Bud yakij evklidiv prostir yak i bud yaka zamknena mnozhina ye povnim metrichnim prostorom Bud yakij metrichnij prostir maye yedine z tochnistyu do izometriyi popovnennya sho skladayetsya z povnogo metrichnogo prostoru yakij mistit danij prostir u viglyadi shilnoyi pidmnozhini Yaksho X displaystyle X nbsp povna pidmnozhina metrichnogo prostoru M displaystyle M nbsp to X displaystyle X nbsp ye zamknenim v M displaystyle M nbsp Dijsno prostir X M displaystyle X subset M nbsp ye povnim todi i tilki todi koli vin ye zamknenim u povnomu metrichnomu prostori M displaystyle M nbsp Yaksho X d displaystyle X d nbsp povnij metrichnij prostir to X displaystyle X nbsp ye mnozhinoyu drugoyi kategoriyi Teorema Bera pro kategoriyi Div takozh RedaguvatiPovnij metrichnij prostir Kategoriya metrichnih prostoriv Normovanij prostir Nearhimedova metrika Vidstan Gausdorfa Skinchennij topologichnij prostirLiteratura RedaguvatiS T Zavalo 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola P I Golod A U Klimik 1992 Matematichni osnovi teoriyi simetrij ukrayinska Kiyiv Naukova Dumka ISBN 5 12 002743 1 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Metrichnij prostir amp oldid 37967848